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第講1映射與函數(shù)(第二課時)第二章函數(shù)1
題型四:函數(shù)的三要素1.試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)?(1)(2)2(3)(4)(5)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1.3(1)由于故它們的值域及對應法則都不相同,所以它們不是同一函數(shù);(2)由于函數(shù)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),而g(x)=1(x≥0)-1(x<0)的定義域為R,所以它們不是同一函數(shù);4(3)由于當n∈N*時,2n±1為奇數(shù),所以它們的定義域、值域及對應法則都相同,所以它們是同一函數(shù);(4)由于函數(shù)的定義域為{x|x≥0},而的定義域為{x|x≤-1或x≥0},它們的定義域不同,所以它們不是同一函數(shù);5(5)函數(shù)的定義域、值域和對應法則都相同,所以它們是同一函數(shù).點評:對于兩個函數(shù)y=f(x)和y=g(x),當且僅當它們的定義域、值域、對應法則都相同時,y=f(x)和y=g(x)才表示同一函數(shù).對于兩個函數(shù)來講,只要函數(shù)的三要素中有一要素不相同,則這兩個函數(shù)就不可能是同一函數(shù).若兩個函數(shù)表示同一函數(shù),則它們的圖象完全相同,反之亦然.第(5)小題易錯判斷成它們是不同的函數(shù),原因是對函數(shù)的概念理解不透.要知道,在函數(shù)的定義域及對應法則f不變的條件下,自變量變換字母,這對于函數(shù)本身并無影響,比如f(x)=x2+1,f(t)=t2+1,f(u+1)=(u+1)2+1都可視為同一函數(shù).6下列四組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的一組是()A.B.C.D.7選項C中,兩個函數(shù)的定義域均為x>-1,對應法則均為y=x+1,故選C.答案:C8
題型五:分段函數(shù)問題2.設函數(shù)若f(x0)<1,求x0的取值范圍.(1)當x0≥2時,log2(x0-1)<1
x0-1>0
x0-1<2x0≥22≤x0<3.9(2)當x0<2時,x0>-1
x0<2綜上所述,x0的取值范圍為(-1,3).點評:分段函數(shù)是在定義域的不同子集上對應法則不同,需要用幾個式子來表示函數(shù),解分段函數(shù)問題,必須分段處理,最后進行綜合.-1<x0<2.10已知知f(x)=x+3(x<0)x2+3(x≥0),則f[f(-2)]=.因為為f(-2)=-2+3=1,f(1)=4.故填填4.411題型型六六::函函數(shù)數(shù)的的解解析析式式3.在下下列列條條件件下下,,分分別別求求函函數(shù)數(shù)f(x)的解解析析式式.(1)(2)(3)f(x)是一一次次函函數(shù)數(shù),,且且滿滿足足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17.12(1)令則則x2+=(x-)2+2=t2+2,所以以f(t)=t2+2,故故f(x)=x2+2.(2)因為為f(x)-2f()=x,①①將x用代代替替,,得得f()-2f(x)=,②②聯(lián)立立①①、、②②消消去去f(),得13(3)設f(x)=ax+b(a≠0),則3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17,所以以a=2,b=7,所所以以f(x)=2x+7.14點評評::已知知f[g(x)]的的解解析析式式求求f(x)的解析式式,常用用的方法法有待定定系數(shù)法法、配湊湊法、換換元法、、消元法法(解函數(shù)方方程法)、賦值法法,等等等.如第(1)小題求解解析式用用的就是是換元法法,第(2)小題用的的是消元元法,第(3)小題用的的是待定定系數(shù)法法.15設f(x)是定義在在實數(shù)集集R上的函數(shù)數(shù),滿足足f(0)=1,且對任任意實數(shù)數(shù)a,b,有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1).求f(x).因為f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1)(a,b∈R),令a=b=x,則f(0)=f(x)-x(2x-x+1),又f(0)=1,所以f(x)=x2+x+1.161.已知函數(shù)數(shù)f(x)=2x-1,g(x)=x2(x≥0)-1(x<0),求f[g(x)]的解析析式.當x≥0,g(x)=x2時,f[g(x)]=2x2-1;當x<0,g(x)=-1時,f[g(x)]=-2-1=-3.所以f[g(x)]=2x2-1(x≥0)-3(x<0).
參考題172.對任意實實數(shù)x,y,均滿足足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠≠0,則f(2010)=.對任意實實數(shù)x,y有f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2.令x=y=0,得f(0+02)=f(0)+2[f(0)]2,故f(0)=0.令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2[f(1)]2.18因為f(1)≠≠0,所以令x=n,y=1,得f(n+1)=f(n)+2[f(1)]2=f(n)+,即f(n+1)-f(n)=,故,,得f(2010)=1005.191.深化對函函數(shù)的概概念的理理解,能能從函數(shù)數(shù)的三要要素(定義域、、值域與與對應法法則)整體上去去把握函函數(shù)的概概念.在函數(shù)的的三要素素中,定定義域是是函數(shù)
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