【學(xué)海導(dǎo)航】高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 2.5函數(shù)的奇偶性、周期性（第2課時(shí)）課件 理 （廣西專）

第講5函數(shù)的奇偶性、周期性（第二課時(shí)）第二章函數(shù)1

題型四：函數(shù)周期性的定義1.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)+f(x)=0，則f(x)的周期是()A.1B.2C.4D.62由已知，f(x+2)=-f(x)，所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，顯然，f(x)的周期為4，選C.點(diǎn)評：由本題可知，若定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足：f(x+a)=-f(x)(a>0)，則f(x)是周期為2a的周期函數(shù).相應(yīng)地還有：若或則f(x)是周期為2a的周期函數(shù).答案：C3已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：對任意實(shí)數(shù)x都有f(x+2)+f(x)=0，且當(dāng)x∈［0，1］時(shí)，f(x)=3x，則的值為()A.1B.-1C.D.4由已知f(x+2)=-f(x)f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)是周期為4的周期函數(shù).又f(x)為奇函數(shù)，所以故選B.5題型五：抽象函數(shù)奇偶性、周期性的判定與證明2.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)=f(4-x)且f(2-x)+f(x-2)=0.(1)證明：這個(gè)函數(shù)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)；(2)若f(-3)=1，求f(2011)的值.6(1)證明：因?yàn)閒(2-x)+f(x-2)=0，令t=x-2代入，有f(-t)+f(t)=0，所以f(x)為奇函數(shù).所以f(4-x)=-f(x-4)，即有f(x)=-f(x-4)，所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，故f(x)是周期為8的周期函數(shù).(2)f(2011)=f(251×8+3)=f(3)=-f(-3)=-1.7點(diǎn)評：處理抽象函數(shù)的奇偶性和周期性的關(guān)鍵是對其抽象性質(zhì)進(jìn)行變形、配湊，如本題中觀察到2-x與x-2是互為相反數(shù)，則可判斷其奇偶性，然后利用奇偶性將f(4-x)變換為-f(x-4).8已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a(a≠0，為常數(shù))對稱，證明：f(x)是周期函數(shù).9證明：由已知f(-x)=-f(x)，且f(a+x)=f(a-x)，所以f(2a+x)=f［a+(a+x)］=f［a-(a+x)］=f(-x)=-f(x)，所以f(4a+x)=-f(2a+x)=f(x)，所以f(x)是周期函數(shù)，且周期為4a.10題型型六六：：函函數(shù)數(shù)的的對對稱稱與與周周期期3.若y=f(2x)的圖圖象象關(guān)關(guān)于于直直線線和和對稱稱，，則則f(x)的一一個(gè)個(gè)周周期期為為()A.B.2(b-a)C.D.4(b-a)11因?yàn)闉閥=f(2x)關(guān)于于直直線線對對稱稱，，所以以f(a+2x)=f(a-2x)，所以f(2a-2x)=f[a+(a-2x)]=f[a-(a-2x)]=f(2x).同理，f(b+2x)=f(b-2x)，12所以f(2b-2x)=f(2x).所以f(2b-2a+2x)=f[2b-(2a-2x)]=f(2a-2x)=f(2x).所以f(2x)的一個(gè)周周期為2b-2a，故知f(x)的一個(gè)周周期為4(b-a).故選D.答案：D13點(diǎn)評：本題考查查函數(shù)的的對稱性性以及周周期性，，類比三三角函數(shù)數(shù)中的周周期變換換和對稱稱性的解解題規(guī)則則處理即即可.①若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)關(guān)于直線線x=a和x=b對稱(a≠b)，則這個(gè)個(gè)函數(shù)是是周期函函數(shù)，其其周期為為2(b-a)；②若函函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)關(guān)于直線線x=a和點(diǎn)(b,0)對稱(a≠b)，則這個(gè)個(gè)函數(shù)是是周期函函數(shù)，其其周期為為4(b-a);③若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)關(guān)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(b,0)對稱(a≠b)，則這個(gè)個(gè)函數(shù)是是周期函函數(shù)，其其周期為為2(b-a).14已知定義義在R上的函數(shù)數(shù)f(x)滿足f(x+4)=f(x)，且f(4-x)=f(x)，當(dāng)0≤x1<x2≤2時(shí)都有f(x1)<f(x2)，則下列列結(jié)論正正確的是是()A．f(6.5)>f(5)>f(15.5)B．f(5)>f(6.5)>f(15.5)C．f(5)<f(15.5)<f(6.5)D．f(15.5)>f(5)>f(6.5)C15由定義在在R上的函數(shù)數(shù)f(x)滿足f(x+4)=f(x)，且f(4-x)=f(x)，得函數(shù)數(shù)f(x)的圖象關(guān)關(guān)于直線線x=2對稱，且且周期是是4；又由當(dāng)當(dāng)0≤x1<x2≤2時(shí)，都有有f(x1)<f(x2)，得函數(shù)數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞遞增．所以，f(6.5)=f(2.5)=f(1.5)，f(5)=f(1)，f(15.5)=f(3.5)=f(0.5)．而0<0.5<1<1.5<2，所以f(0.5)<f(1)<f(1.5)，從而f(15.5)<f(5)<f(6.5)．故選A.16已知定義義在R上的偶函函數(shù)f(x)滿足:對任意實(shí)實(shí)數(shù)x都有f(x+2)=f(x)成立，且且當(dāng)x∈［2，3］時(shí)，f(x)=x，則當(dāng)x∈［-1，0］時(shí)，f(x)的解析式式為()A.x+4B.x-2C.3-|x+1|D.2+|x+1|

參考題17當(dāng)x∈［-1，0］時(shí)，2-x∈［2，3］.由已知f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x=3-|x+1|，故選C.答案：C181.證明抽象象函數(shù)的的周期性性，關(guān)鍵鍵是找出出其周期期，一般般通過嘗嘗試變形形或類比比三角函函數(shù)獲得得.2.求周期函函數(shù)在某某個(gè)區(qū)間間內(nèi)的解解析式，，先要在在該區(qū)間間內(nèi)選取取自變量量，再通通過周期期調(diào)節(jié)到到已知區(qū)區(qū)間，從從而將它它轉(zhuǎn)化為為已知區(qū)區(qū)間內(nèi)的的函數(shù)解解析式.193.求周期函函數(shù)的函函數(shù)值，，要通過過周期的的調(diào)節(jié)，，將它轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為已已知區(qū)間間內(nèi)的函函數(shù)值來來解決.4.函數(shù)的周周期性常常與函數(shù)數(shù)的奇偶偶性結(jié)合合在一起起，解題題中要充充分利用用f(-x)與f(x)的關(guān)系幫幫助變形形.2