高考數(shù)學一輪知識點各個擊破第七章立體幾何課件文新人教A版

高考數(shù)學一輪知識點各個擊破第七章立體幾何課件文新人教A版第七章立體幾何[知識能否憶起]一、多面體的結(jié)構(gòu)特征多面體結(jié)構(gòu)特征棱柱有兩個面

，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個面的交線都___________棱錐有一個面是

，而其余各面都是有一個____

的三角形棱臺棱錐被平行于

的平面所截，

和

之間的部分互相平行平行且相等公共頂點底面截面底面多邊形二、旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形

所在的直線圓錐直角三角形

所在的直線圓臺直角梯形

所在的直線球半圓

所在的直線三、簡單組合體簡單組合體的構(gòu)成有兩種基本形式：一種是由簡單幾何體拼接而成；一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成，有多面體與多面體、多面體與旋轉(zhuǎn)體、旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體．任一邊一條直角邊垂直于底邊的腰直徑四、平行投影與直觀圖空間幾何體的直觀圖常用

畫法來畫，其規(guī)則是：

(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面

．

(2)原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍_________

．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度

，平行于y軸的線段長度在直觀圖中

．斜二測垂直平行于坐標軸不變變?yōu)樵瓉淼囊话胛?、三視圖［動漫演示更形象,見配套課件］幾何體的三視圖包括

、

、

，分別是從幾何體的

、

、

觀察幾何體畫出的輪廓線．正視圖側(cè)視圖俯視圖正前方正左方正上方超鏈接

[小題能否全取]1．(教材習題改編)以下關(guān)于幾何體的三視圖的論述中，正確的是 (

)A．球的三視圖總是三個全等的圓B．正方體的三視圖總是三個全等的正方形C．水平放置的正四面體的三視圖都是正三角形D．水平放置的圓臺的俯視圖是一個圓解析：B中正方體的放置方向不明，不正確．C中三視圖不全是正三角形．D中俯視圖是一個圓環(huán)．答案：A2．(2012·杭州模擬)用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是 (

)A．圓柱B．圓錐C．球體

D．圓柱、圓錐、球體的組合體解析：當用過高線的平面截圓柱和圓錐時，截面分別為矩形和三角形，只有球滿足任意截面都是圓面．答案：C3．下列三種敘述，其中正確的有 (

)①用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺；②兩個底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；③有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺．A．0個

B．1個C．2個

D．3個答案：A解析：①中的平面不一定平行于底面，故①錯．②③可用下圖反例檢驗，故②③不正確．4．(教材習題改編)利用斜二測畫法得到的：①正方形的直觀圖一定是菱形；②菱形的直觀圖一定是菱形；③三角形的直觀圖一定是三角形．以上結(jié)論正確的是________．解析：①中其直觀圖是一般的平行四邊形，②菱形的直觀圖不一定是菱形，③正確．答案：③5．一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的正視圖與側(cè)視圖分別如圖所示，則該幾何體的俯視圖為________．解析：由三視圖中的正、側(cè)視圖得到幾何體的直觀圖如圖所示，所以該幾何體的俯視圖為③.答案：③1.正棱柱與正棱錐

(1)底面是正多邊形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中“正”字包含兩層含義：①側(cè)棱垂直于底面；②底面是正多邊形．

(2)底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫正棱錐，注意正棱錐中“正”字包含兩層含義：①頂點在底面上的射影必需是底面正多邊形的中心，②底面是正多邊形，特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體．2．對三視圖的認識及三視圖畫法

(1)空間幾何體的三視圖是該幾何體在三個兩兩垂直的平面上的正投影，并不是從三個方向看到的該幾何體的側(cè)面表示的圖形．

(2)在畫三視圖時，重疊的線只畫一條，能看見的輪廓線和棱用實線表示，擋住的線要畫成虛線．

(3)三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體用平行投影畫出的輪廓線．3．對斜二測畫法的認識及直觀圖的畫法(1)在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點及關(guān)鍵線段，“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半．”空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征[例1]

(2012·哈師大附中月考)下列結(jié)論正確的是(

)A．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐

B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐

C．棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長都相等，則該棱錐可能是六棱錐

D．圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線[自主解答]

A錯誤，如圖1是由兩個相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，它的各個面都是三角形，但它不是三棱錐；B錯誤，如圖2，若△ABC不是直角三角形，或△ABC是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐；圖1

圖2C錯誤，若該棱錐是六棱錐，由題設(shè)知，它是正六棱錐．易證正六棱錐的側(cè)棱長必大于底面邊長，這與題設(shè)矛盾．

[答案]

D解決此類題目要準確理解幾何體的定義，把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并會通過反例對概念進行辨析．舉反例時可利用最熟悉的空間幾何體如三棱柱、四棱柱、正方體、三棱錐、三棱臺等，也可利用它們的組合體去判斷．1．(2013·天津質(zhì)檢)如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱它為“等腰四棱錐”，四條側(cè)棱稱為它的腰，以下4個命題中，假命題是 (

)A．等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等B．等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補C．等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓D．等腰四棱錐的各頂點必在同一球面上解析：如圖，等腰四棱錐的側(cè)棱均相等，其側(cè)棱在底面的射影也相等，則其腰與底面所成角相等，即A正確；底面四邊形必有一個外接圓，即C正確；在高線上可以找到一個點O，使得該點到四棱錐各個頂點的距離相等，這個點即為外接球的球心，即D正確；但四棱錐的側(cè)面與底面所成角不一定相等或互補(若為正四棱錐則成立)．故僅命題B為假命題．答案:

B幾何體的三視圖[例2]

(2012·湖南高考)某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是(

)[自主解答]根據(jù)幾何體的三視圖知識求解．由于該幾何體的正視圖和側(cè)視圖相同，且上部分是一個矩形，矩形中間無實線和虛線，因此俯視圖不可能是C.[答案]

C

三視圖的長度特征三視圖中，正視圖和側(cè)視圖一樣高，正視圖和俯視圖一樣長，側(cè)視圖和俯視圖一樣寬，即“長對正，寬相等，高平齊”．

[注意]畫三視圖時，要注意虛、實線的區(qū)別．2．(1)(2012·莆田模擬)如圖是底面為正方形、一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐的三視圖，那么該四棱錐的直觀圖是下列各圖中的 (

)解析：由俯視圖排除B、C；由主視圖、側(cè)視圖可排除A.答案：D(2)(2012·濟南模擬)如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長均為2，其正視圖如圖所示，則此三棱柱側(cè)視圖的面積為(

)答案：D

幾何體的直觀圖[例3]已知△ABC的直觀圖A′B′C′是邊長為a的正三角形，求原△ABC的面積．[自主解答]

建立如圖所示的坐標系xOy′，△A′B′C′的頂點C′在y′軸上，A′B′邊在x軸上，OC為△ABC的高．把y′軸繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)45°得y軸，用斜二測畫法畫幾何體的直觀圖時，要注意原圖形與直觀圖中的“三變、三不變”．3．如果一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是 (

)答案：A

[典例]

(2012·陜西高考)將正方體(如圖(1)所示)截去兩個三棱錐，得到如圖(2)所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為 (

)

[嘗試解題]還原正方體后，將D1，D，A三點分別向正方體右側(cè)面作垂線．D1A的射影為C1B，且為實線，B1C被遮擋應為虛線．

[答案]

B1.因沒有區(qū)分幾何體中的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線為虛線，誤選A、C.

2.因為忽視了B1C被遮擋，誤認為無投影，不用畫出，誤選D.

3.對于由幾何體畫出其三視圖時，首先要看清幾何體的結(jié)構(gòu)特征，在繪制三視圖時，若相鄰兩幾何體的兩表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，分界線和可見輪廓線都是用實線畫出，被擋住的輪廓線用虛線畫出，其次要注意三視圖的長、寬、高的要求及排放規(guī)則.1．若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是 (

)解析：由正視圖與俯視圖可以將選項A、C排除；根據(jù)側(cè)視圖，可以將D排除，注意正視圖與俯視圖中的實線．答案:

B2．將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如下圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為 (

)解析：被截去的四棱錐的三條可見側(cè)棱中有兩條為長方體的面對角線，它們在右側(cè)面上的投影與右側(cè)面(長方形)的兩條邊重合，另一條為體對角線，它在右側(cè)面上的投影與右側(cè)面的對角線重合，對照各圖，只有選項D符合．答案:

D教師備選題（給有能力的學生加餐）1．(2012·北京朝陽二模)有一個棱長為1的正方體，按任意方向正投影，其投影面積的最大值是(

)解題訓練要高效見“課時跟蹤檢測（四十）”答案：

D2．如圖，△ABC與△ACD都是等腰直角三角形，且AD＝DC＝2，AC＝BC.平面ACD⊥平面ABC，如果以平面ABC為水平平面，正視圖的觀察方向與AB垂直，則三棱錐D－ABC的三視圖的面積和為________．3．(2012·北京海淀)已知正三棱柱ABC－A′B′C′的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，設(shè)△ABC，△A′B′C′的中心分別是O，O′，現(xiàn)將此三棱柱繞直線OO′旋轉(zhuǎn)，射線OA旋轉(zhuǎn)所成的角為x弧度(x可以取到任意一個實數(shù))，對應的俯視圖的面積為S(x)，則函數(shù)S(x)的最大值為________；最小正周期為________．(說明：“三棱柱繞直線OO′旋轉(zhuǎn)”包括逆時針方向和順時針方向，逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，OA旋轉(zhuǎn)所成的角為正角，順時針方向旋轉(zhuǎn)時，OA旋轉(zhuǎn)所成的角為負角．)[知識能否憶起]柱、錐、臺和球的側(cè)面積和體積2πrlπrlπ(r1＋r2)lShπr2hChSh4πR2[小題能否全取]1．(教材習題改編)側(cè)面都是直角三角形的正三棱錐，底面邊長為a時，該三棱錐的全面積是 (

)答案：A2．已知正四棱錐的側(cè)棱與底面的邊長都為3，則這個四棱錐的外接球的表面積為 (

)A．12π B．36πC．72π D．108π答案：B3.某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩

形，正視圖是一個底邊長為8，高

為5的等腰三角形，側(cè)視圖是一個

底邊長為6，高為5的等腰三角形，

則該幾何體的體積為 (

)A．24 B．80C．64 D．240答案：B

4．(教材習題改編)表面積為3π的圓錐，它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為________．解析：設(shè)圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r，則πrl＋πr2＝3π，πl(wèi)＝2πr.解得r＝1，即直徑為2.答案：25.某幾何體的三視圖如圖所示，

其中正視圖是腰長為2的等腰

三角形，側(cè)視圖是半徑為1的

半圓，則該幾何體的表面積

是________．1.幾何體的側(cè)面積和全面積：幾何體側(cè)面積是指(各個)側(cè)面面積之和，而全面積是側(cè)面積與所有底面積之和．對側(cè)面積公式的記憶，最好結(jié)合幾何體的側(cè)面展開圖來進行．

2．求體積時應注意的幾點：

(1)求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割補的方法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進行解決．

(2)與三視圖有關(guān)的體積問題注意幾何體還原的準確性及數(shù)據(jù)的準確性．

3．求組合體的表面積時注意幾何體的銜接部分的處理．

(2012·安徽高考)某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是________．幾何體的表面積[自主解答]由幾何體的三視圖可知，該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱(如圖所示)．[答案]

921．以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量．

2．多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．3．旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應用．答案:

D幾何體的體積[例2]

(1)(2012·廣東高考)某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為 (

)A．72π

B．48πC．30π D．24π

(2)(2012·山東高考)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E為線段B1C上的一點，則三棱錐A－DED1的體積為________．[自主解答]

(1)由三視圖知，該幾何體是由圓錐和半球組合而成的，直觀圖如圖所示，圓錐的底面半徑為3，高為4，半球的半徑為3.本例(1)中幾何體的三視圖若變?yōu)椋浩潴w積為________．答案：24π1．計算柱、錐、臺體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應的底面面積和高，應注意充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解．2．注意求體積的一些特殊方法：分割法、補體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計算常用的方法，應熟練掌握．3．等積變換法：利用三棱錐的任一個面可作為三棱錐的底面．①求體積時，可選擇容易計算的方式來計算；②利用“等積法”可求“點到面的距離”．2．(1)(2012·長春調(diào)研)四棱錐P－ABCD的底面ABCD為正方形，且PD垂直于底面ABCD，N為PB中點，則三棱錐P－ANC與四棱錐P－ABCD的體積比為 (

)A．1∶2 B．1∶3C．1∶4 D．1∶8答案：C(2)(2012·浙江模擬)如圖，是某幾何體的三視圖，則這個幾何體的體積是 (

)答案：B與球有關(guān)的幾何體的表面積與體積問題[例3]

(2012·新課標全國卷)已知三棱錐S－ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為

(

)[答案]

A1．解決與球有關(guān)的“切”、“接”問題，一般要過球心及多面體中的特殊點或過線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從而尋找?guī)缀误w各元素之間的關(guān)系．2．記住幾個常用的結(jié)論：(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，②正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為1∶3.3．(1)(2012·瓊州模擬)一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的外接球的表面積為 (

)某些空間幾何體是某一個幾何體的一部分，在解題時，把這個幾何體通過“補形”補成完整的幾何體或置于一個更熟悉的幾何體中，巧妙地破解空間幾何體的體積問題，這是一種重要的解題策略——補形法.常見的補形法有對稱補形、聯(lián)系補形與還原補形.對于還原補形，主要涉及臺體中“還臺為錐”問題.1．對稱補形[典例1]

(2012·湖北高考)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 (

)[答案]

B[題后悟道]

對稱”是數(shù)學中的一種重要關(guān)系，在解決空間幾何體中的問題時善于發(fā)現(xiàn)對稱關(guān)系對空間想象能力的提高很有幫助．

[題后悟道]三條側(cè)棱兩兩互相垂直，或一側(cè)棱垂直于底面，底面為正方形或長方形，則此幾何體可補形為正方體或長方體，使所解決的問題更直觀易求．教師備選題（給有能力的學生加餐）1．兩球O1和O2在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的內(nèi)部，且互相外切，若球O1與過點A的正方體的三個面相切，球O2與過點C1的正方體的三個面相切，則球O1和O2的表面積之和的最小值為 (

)解題訓練要高效見“課時跟蹤檢測（四十一）”答案：A2．已知某球半徑為R，則該球內(nèi)接長方體的表面積的最大值是 (

)A．8R2 B．6R2C．4R2 D．2R2答案：A3.右圖是一個幾何體的三視圖(側(cè)視圖中的

弧線是半圓)，則該幾何體的表面積是

(

)A．20＋3π

B．24＋3πC．20＋4π

D．24＋4π答案：A答案：D5．(2012·上海高考)如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC＝2.若AD＝2c，且AB＋BD＝AC＋CD＝2a，其中a，c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的最大值是________．[知識能否憶起]一、平面的基本性質(zhì)名稱圖示文字表示符號表示公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?______l?αZ名稱圖示文字表示符號表示公理2過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α，且P∈β?________________α∩β＝l，且P∈l二、空間直線的位置關(guān)系1．位置關(guān)系的分類相交一個平行沒有沒有沒有2．平行公理平行于同一條直線的兩條直線互相

．平行3．等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角

．4．異面直線所成的角(或夾角)(1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的

叫做異面直線a與b所成的角．(2)范圍：_______.相等或互補銳角(或直角)超鏈接[動漫演示更形象，見配套課件]三、直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示符號表示公共點個數(shù)直線l在平面α內(nèi)____________直線l與平面α相交_____________直線l與平面α平行___________l?α無數(shù)個l∩α＝A一個l∥α0個四、平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示符號表示公共點個數(shù)兩個平面平行__________兩個平面相交_____＝l_____個(這些公共點均在交線l上)α∥β0個無數(shù)α∩β[小題能否全取]1．(教材習題改編)已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b (

)A．異面 B．相交C．不可能平行

D．不可能相交解析：由已知直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若b∥c，則a∥b.與a，b是異面直線相矛盾．答案：C2．(2013·東北三校聯(lián)考)下列命題正確的個數(shù)為(

)①經(jīng)過三點確定一個平面；②梯形可以確定一個平面；③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；④如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．A．0 B．1C．2 D．3解析：①④錯誤，②③正確．答案：C3．已知空間中有三條線段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是(

)A．AB∥CDB．AB與CD異面C．AB與CD相交D．AB∥CD或AB與CD異面或AB與CD相交解析：若三條線段共面，如果AB，BC，CD構(gòu)成等腰三角形，則直線AB與CD相交，否則直線AB與CD平行；若不共面，則直線AB與CD是異面直線．答案：D4．(教材習題改編)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為________．解析：連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.答案：60°5．(教材習題改編)平行六面體ABCD－A1B1C1D1中既與AB共面又與CC1共面的棱的條數(shù)為________．解析：如圖，與AB和CC1都相交的棱有BC；與AB相交且與CC1平行的棱有AA1，BB1；與AB平行且與CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合條件的棱共有5條．答案：51.三個公理的作用(1)公理1的作用：①檢驗平面；②判斷直線在平面內(nèi)；③由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點在平面內(nèi)．(2)公理2的作用：確定平面的依據(jù)，它提供了把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的條件．(3)公理3的作用：①判定兩平面相交；②作兩相交平面的交線；③證明多點共線．2．異面直線的有關(guān)問題

(1)判定方法：①反證法；②利用結(jié)論即過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線，如圖．

(2)所成的角的求法：平移法．

平面的基本性質(zhì)及應用[例1]

(2012·湘潭模擬)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AB的中點，F(xiàn)為A1A的中點，求證：CE，D1F，DA三線共點．本例條件不變試證明E，C，D1，F(xiàn)四點共面．1．證明線共點問題常用的方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證交點在第三條直線上．

2．證明點或線共面問題一般有以下兩種途徑：①首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余線(或點)均在這個平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證平面重合．1．(1)(2013·江西模擬)在空間中，下列命題正確的是

(

)A．對邊相等的四邊形一定是平面圖形B．四邊相等的四邊形一定是平面圖形C．有一組對邊平行的四邊形一定是平面圖形D．有一組對角相等的四邊形一定是平面圖形(2)對于四面體ABCD，下列命題正確的是________(寫出所有正確命題的編號)．①相對棱AB與CD所在直線異面；②由頂點A作四面體的高，其垂足是△BCD三條高線的交點；③若分別作△ABC和△ABD的邊AB上的高，則這兩條高所在的直線異面；④分別作三組相對棱中點的連線，所得的三條線段相交于一點．解析：(1)由“兩平行直線確定一個平面”知C正確．(2)由四面體的概念可知，AB與CD所在的直線為異面直線，故①正確；由頂點A作四面體的高，只有當四面體ABCD的對棱互相垂直時，其垂足是△BCD的三條高線的交點，故②錯誤；當DA＝DB，CA＝CB時，這兩條高線共面，故③錯誤；設(shè)AB，BC，CD，DA的中點依次為E，F(xiàn)，M，N，易證四邊形EFMN為平行四邊形，所以EM與FN相交于一點，易證另一組對棱也過它們的交點，故④正確．答案：(1)C

(2)①④異面直線的判定[例2]

(2012·金華模擬)在圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．(填上所有正確答案的序號)[自主解答]圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點共面，但M?面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?面GMN，因此GH與MN異面．所以圖②④中GH與MN異面．[答案]②④1．異面直線的判定常用的是反證法，先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴格的推理，導出矛盾，從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面．此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到．2．客觀題中，也可用下述結(jié)論：過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線．2．已知m，n，l為不同的直線，α，β為不同的平面，有下面四個命題：①m，n為異面直線，過空間任一點P，一定能作一條直線l與m，n都相交．②m，n為異面直線，過空間任一點P，一定存在一個與直線m，n都平行的平面．③α⊥β，α∩β＝l，m?α，n?β，m，n與l都斜交，則m與n一定不垂直；④m，n是α內(nèi)兩相交直線，則α與β相交的充要條件是m，n至少有一條與β相交．則四個結(jié)論中正確的個數(shù)為 (

)A．1

B．2C．3 D．4解析：①錯誤，因為過直線m存在一個與直線n平行的平面，當點P在這個平面內(nèi)且不在直線m上時，就不滿足結(jié)論；②錯誤，因為過直線m存在一個與直線n平行的平面，當點P在這個平面內(nèi)時，就不滿足結(jié)論；③正確，否則，若m⊥n，在直線m上取一點作直線a⊥l，由α⊥β，得a⊥n.從而有n⊥α，則n⊥l；④正確．答案：B[例3]

(2012·大綱全國卷)已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點，那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為________．異面直線所成角求異面直線所成的角一般用平移法，步驟如下：(1)一作：即找或作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角．答案：B[典例]

(2012·浙江高考)設(shè)l是直線，α，β是兩個不同的平面 (

)A．若l∥α，l∥β，則α∥βB．若l∥α，l⊥β，則α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，則l⊥β

D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β[常規(guī)解法]設(shè)α∩β＝a，若直線l∥a，且l?α，l?β，則l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故A錯誤；由于l∥α，故在α內(nèi)存在直線l′∥l.又因為l⊥β.所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正確；若α⊥β，在β內(nèi)作交線的垂線l，則l⊥α，此時l在平面β內(nèi)，因此C錯誤；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β內(nèi)，則l∥α且l∥β，因此D錯誤．[答案]

B(1)構(gòu)造法實質(zhì)上是結(jié)合題意構(gòu)造適合題意的直觀模型，然后將問題利用模型直觀地作出判斷，這樣減少了抽象性，避免了因考慮不全面而導致解題錯誤．(2)對于線面、面面平行、垂直的位置關(guān)系的判定，可構(gòu)造長方體或正方體化抽象為直觀去判斷．[巧思妙解]借助于長方體模型解決本題：對于A，如圖①，α與β可相交；對于B，如圖②，不論β在何位置，都有α⊥β；對于C，如圖③，l可與β平行或l?β內(nèi)；對于D，如圖④，l⊥β或l?β或l∥β.(2012·大連二模)平面α外有兩條直線m和n，如果m和n在平面α內(nèi)的射影分別是直線m1和直線n1，給出下列四個命題：①m1⊥n1?m⊥n；②m⊥n?m1⊥n1；③m1與n1相交?m與n相交或重合；④m1與n1平行?m與n平行或重合．其中不正確的命題個數(shù)是 (

)A．1

B．2C．3 D．4.解析：如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中AD1，AB1，B1C在底面上的射影分別是A1D1，A1B1，B1C1.A1D1⊥A1B1，但AD1不垂直AB1，故①不正確；又AD1⊥B1C，但A1D1∥B1C1，故②也不正確；若m1與n1相交，則m與n還可以異面，③不正確；若m1與n1平行，m與n可以平行，也可以異面，④不正確．

答案：D教師備選題（給有能力的學生加餐）1．(2012·襄陽模擬)關(guān)于直線a，b，l以及平面M，N，下面命題中正確的是 (

)A．若a∥M，b∥M，則a∥bB．若a∥M，b⊥a，則b⊥MC．若a⊥M，a∥N，則M⊥ND．若a?M，b?M,且l⊥a，l⊥b，則l⊥M解題訓練要高效見“課時跟蹤檢測（四十二）”解析：同平行于一個平面的兩條直線可平行也可相交或異面，故A錯．a(chǎn)∥M，b⊥a時，b與M的位置關(guān)系不確定，B錯；當a∥b時，l⊥a，l⊥b，l不一定垂直于M，故D錯誤．答案：C2．(2012·蚌埠模擬)如圖在四面體OABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，且OB＝OC＝3，OA＝4.給出如下判斷：①存在點D(O點除外)，使得四面體DABC有三個面是直角三角形；②存在點D，使得點O在四面體DABC外接球的球面上；③存在唯一的點D使得OD⊥平面ABC；④存在的點D，使得四面體DABC是正棱錐；⑤存在無數(shù)個點D，使得AD與BC垂直且相等．其中正確命題的序號是________(把你認為正確命題的序號填上)．解析：①作OH⊥平面ABC于H并延長至D，使OH＝HD，則四面體DABC與四面體OABC全等，故①正確；②在以O(shè)，A，B，C確定的球上，顯然存在點D滿足條件，故②正確；

③過O做平面ABC的垂線，在垂線上取四面體OABC右上方外的點D，顯然OD⊥平面ABC，故③不正確；④△ABC不是正三角形，以△ABC為底面沒有正棱錐．取BC的中點O1，在平面AOO1內(nèi)取D，使BC＝BD＝CD＝3且AD＝5，則四面體是以△BCD為底的正棱錐，這樣的D點存在，所以④正確．⑤BC垂直于④所作的平面AOO1，在平面AOO1內(nèi)以A為圓心，以BC為半徑作圓，圓周上任一點滿足條件，所以這樣的D點有無數(shù)個，故⑤正確．答案：①②④⑤3．(2012·西安模擬)在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，則直線PC與AB所成角的大小是________．答案：60°[知識能否憶起]

一、直線與平面平行1．判定定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與此

的一條直線平行，則直線與此平面平行?a∥α平面內(nèi)a?αb?αb∥a2．性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線____

?a∥b平行a∥αa?βα∩β＝b二、平面與平面平行1．判定定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條

與另一個平面平行，則這兩個平面平行?α∥β相交直線a?αb?αa∩b＝Pa∥βb∥β文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面

，那么它們的

平行

?a∥b相交交線α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b2．性質(zhì)定理1．(教材習題改編)下列條件中，能作為兩平面平行的充分條件的是 (

)A．一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面B．一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面C．一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面D．一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面解析：由面面平行的定義可知，一平面內(nèi)所有的直線都平行于另一個平面時，兩平面才能平行，故D正確．[小題能否全取]答案：D2．已知直線a，b，平面α，則以下三個命題：①若a∥b，b?α，則a∥α；②若a∥b，a∥α，則b∥α；③若a∥α，b∥α，則a∥b.其中真命題的個數(shù)是 (

)A．0

B．1C．2 D．3解析：對于命題①，若a∥b，b?α，則應有a∥α或a?α，所以①不正確；對于命題②，若a∥b，a∥α，則應有b∥α或b?α，因此②也不正確；對于命題③，若a∥α，b∥α，則應有a∥b或a與b相交或a與b異面，因此③也不正確．答案：A3．(教材習題改編)若一直線上有相異三個點A，B，C到平面α的距離相等，那么直線l與平面α的位置關(guān)系是 (

)A．l∥α B．l⊥αC．l與α相交且不垂直

D．l∥α或l?α解析：由于l上有三個相異點到平面α的距離相等，則l與α可以平行，l?α時也成立．答案：D4．平面α∥平面β，a?α，b?β，則直線a，b的位置關(guān)系是________．解析：由α∥β可知，a，b的位置關(guān)系是平行或異面．答案：平行或異面5．(2013·衡陽質(zhì)檢)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中點，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為____．解析：如圖．連接AC，BD交于O點，連結(jié)OE，因為OE∥BD1，而OE?平面ACE，BD1?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.答案：平行1.平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系：2．在解決線面、面面平行的判定時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在性質(zhì)定理的應用中，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過于“模式化”．3．輔助線(面)是求證平行問題的關(guān)鍵，注意平面幾何中位線，平行四邊形及相似中有關(guān)平行性質(zhì)的應用．線面平行、面面平行的基本問題[例1]

(2011·福建高考)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________．本例條件變?yōu)椤癊是AD中點，F(xiàn)，G，H，N分別是AA1，A1D1，DD1與D1C1的中點，若M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動”，則M滿足什么條件時，有MN∥平面A1C1CA.解決有關(guān)線面平行、面面平行的基本問題要注意：(1)判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件，如線面平行的判定定理中條件線在面外易忽視．(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷．(3)舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確．1．(1)(2012·浙江高三調(diào)研)已知直線l∥平面α，P∈α，那么過點P且平行于直線l的直線 (

)A．只有一條，不在平面α內(nèi)B．有無數(shù)條，不一定在平面α內(nèi)C．只有一條，且在平面α內(nèi)D．有無數(shù)條，一定在平面α內(nèi)解析：由直線l與點P可確定一個平面β，且平面α，β有公共點，因此它們有一條公共直線，設(shè)該公共直線為m，因為l∥α，所以l∥m，故過點P且平行于直線l的直線只有一條，且在平面α內(nèi)．答案：C(2)(2012·濰坊模擬)已知m，n，l1，l2表示直線，α，β表示平面．若m?α，n?α，l1?β，l2?β，l1∩l2＝M，則α∥β的一個充分條件是 (

)A．m∥β且l1∥α

B．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2解析：由定理“如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別與另一個平面平行，那么這兩個平面平行”可得，由選項D可推知α∥β.答案：D直線與平面平行的判定與性質(zhì)[例2]

(2012·遼寧高考)如圖，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA′＝1，點M，N分別為A′B和B′C′的中點．

(1)證明：MN∥平面A′ACC′；[自主解答]

(1)證明：法一：連接AB′、AC′，因為點M，N分別是A′B和B′C′的中點，所以點M為AB′的中點．又因為點N為B′C′的中點，所以MN∥AC′.又MN?平面A′ACC′，AC′?平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.法二：取A′B′的中點P.連接MP.而點M，N分別為AB′與B′C′的中點，所以MP∥AA′，PN∥A′C′.所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩PN＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN?平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′.利用判定定理證明線面平行的關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線，可先直觀判斷平面內(nèi)是否已有，若沒有，則需作出該直線，?？紤]三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線．2．(2012·淄博模擬)如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BD，BB1的中點．(1)求證：EF∥平面A1B1CD；(2)求證：EF⊥AD1.(2)∵ABCD－A1B1C1D1是正方體，∴AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1.又A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面A1B1D.∴AD1⊥B1D.又由(1)知，EF∥B1D，∴EF⊥AD1.平面與平面平行的判定與性質(zhì)[例3]如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是棱長為3的正方體，點E在AA1上，點F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中點．

(1)求證：E，B，F(xiàn)，D1四點共面；

(2)求證：平面A1GH∥平面BED1F.常用的判斷面面平行的方法(1)利用面面平行的判定定理；(2)面面平行的傳遞性(α∥β，β∥γ?α∥γ)；(3)利用線面垂直的性質(zhì)(l⊥α，l⊥β?α∥β)．3．(2012·北京東城二模)如圖，矩形AMND所在的平面與直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MB∥NC，MN⊥MB.(1)求證：平面AMB∥平面DNC；(2)若MC⊥CB，求證：BC⊥AC.證明：(1)因為MB∥NC，MB?平面DNC，NC?平面DNC，所以MB∥平面DNC.又因為四邊形AMND為矩形，所以MA∥DN.又MA?平面DNC，DN?平面DNC.所以MA∥平面DNC.又MA∩MB＝M，且MA，MB?平面AMB，所以平面AMB∥平面DNC.(2)因為四邊形AMND是矩形，所以AM⊥MN.因為平面AMND⊥平面MBCN，且平面AMND∩平面MBCN＝MN，所以AM⊥平面MBCN.因為BC?平面MBCN，所以AM⊥BC.因為MC⊥BC，MC∩AM＝M，所以BC⊥平面AMC.因為AC?平面AMC，所以BC⊥AC.立體幾何中的探索性問題主要是對平行、垂直關(guān)系的探究，對條件和結(jié)論不完備的開放性問題的探究，解決這類問題一般根據(jù)探索性問題的設(shè)問，假設(shè)其存在并探索出結(jié)論，然后在這個假設(shè)下進行推理論證，若得到合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè)，若得到矛盾就否定假設(shè).

[典例]如圖，在四面體PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，點D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點．

(1)求證：DE∥平面BCP；

(2)求證：四邊形DEFG為矩形；

(3)是否存在點Q，到四面體PABC六條棱的中點的距離相等？說明理由．[解]

(1)證明：因為D，E分別為AP，AC的中點，所以DE∥PC.又因為DE?平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)證明：因為D，E，F(xiàn)，G分別為AP，AC，BC，PB的中點，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.所以四邊形DEFG為平行四邊形．又因為PC⊥AB，所以DE⊥DG.所以四邊形DEFG為矩形．[題后悟道]

此類問題一般是先探求點的位置，多為線段的中點或某個三等分點，一般點的情形很少，然后給出符合要求的證明，注意書寫格式要規(guī)范，一般有兩種格式：第一種書寫格式：探求出點的位置→證明→符合要求→寫出明確答案；第二種書寫格式：從結(jié)論出發(fā)“要使什么成立”，“只需使什么成立”，尋求使結(jié)論成立的充分條件，類似于分析法．證明：存在．證明如下：取棱PC的中點F，線段PE的中點M，連接BD.設(shè)BD∩AC＝O.連接BF，MF，BM，OE.∵PE∶ED＝2∶1，F(xiàn)為PC的中點，M是PE的中點，E是MD的中點，∴MF∥EC，BM∥OE.∵MF?平面AEC，CE?平面AEC，BM?平面AEC，OE?平面AEC，∴MF∥平面AEC，BM∥平面AEC.∵MF∩BM＝M，∴平面BMF∥平面AEC.又BF?平面BMF，∴BF∥平面AEC.教師備選題（給有能力的學生加餐）1．已知m，n，l為三條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是 (

)A．α∥β，m?α，n?β?m∥nB．l⊥β，α⊥β?l∥αC．m⊥α，m⊥n?n∥αD．α∥β，l⊥α?l⊥β解題訓練要高效見“課時跟蹤檢測（四十三）”解析：對于選項A，m，n平行或異面；對于選項B，可能出現(xiàn)l?α這種情形；對于選項C，可能出現(xiàn)n?α這種情形．答案：D2.如圖，三棱柱ABC－A1B1C1，底面為

正三角形，側(cè)棱A1A⊥底面ABC，點

E，F(xiàn)分別是棱CC1，BB1上的點，點

M是線段AC上的動點，EC＝2FB.當點M在何位置時，BM∥平面AEF?解：法一：如圖，取AE的中點O，連接OF，過點O作OM⊥AC于點M.∵側(cè)棱A1A⊥底面ABC，∴側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC，∴OM⊥底面ABC.3．(2012·蚌埠二中質(zhì)檢)如圖1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD為∠ACB的角平分線，點E在線段AC上，CE＝4.如圖2所示，將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，連接AB，設(shè)點F是AB的中點．(1)求證：DE⊥平面BCD；(2)若EF∥平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點，求三棱錐B－DEG的體積．[知識能否憶起]

一、直線與平面垂直1．直線和平面垂直的定義直線l與平面α內(nèi)的

直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．任意一條2．直線與平面垂直的判定定理及推論文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的

都垂直，則該直線與此平面垂直?l⊥α推論如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也

這個平面?b⊥α兩條相交直線垂直a，b?αa∩b＝Ol⊥al⊥ba∥ba⊥α3．直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線_____?a∥b平行a⊥αb⊥α文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的

，則這兩個平面垂直垂線l?β

l⊥α

二、平面與平面垂直1．平面與平面垂直的判定定理2．平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于

的直線垂直于另一個平面α⊥β

l?β

α∩β＝a

l⊥a

交線[小題能否全取]1．(教材習題改編)已知平面α，β，直線l，若α⊥β，α∩β＝l，則 (

)A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直線l的直線一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直線lD．垂直于直線l的平面一定與平面α、β都垂直解析：對于A中可與α平行或相交，不正確．對于B中，可與α垂直或斜交，不正確．對于C中，可與直線l平行或相交，不正確．答案：D

2.(2012·廈門模擬)如圖，O為正方體

ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的

中心，則下列直線中與B1O垂直的

是 (

)A．A1D

B．AA1C．A1D1 D．A1C1解析：易知AC⊥平面BB1D1D.∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥平面BB1D1D.又B1O?平面BB1D1D，∴A1C1⊥B1O.答案：D

3．已知α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不重合的直線，則下列命題中正確的是 (

)A．若m∥α，α∩β＝n，則m∥nB．若m⊥α，m⊥n，則n∥αC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥nD．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β解析：對于選項A，若m∥α，α∩β＝n，則m∥n，或m，n是異面直線，所以A錯誤；對于選項B，n可能在平面α內(nèi)，所以B錯誤；對于選項D，m與β的位置關(guān)系還可以是m?β，m∥β，或m與β斜交，所以D錯誤；由面面垂直的性質(zhì)可知C正確．答案：C

4.如圖，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數(shù)為________．

解析：由線面垂直知，圖中直角三角形為4個．

答案：45．(教材習題改編)如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA

＝2AB.則下列命題正確的有________．①PA⊥AD；②平面ABC⊥平面PBC；③直線BC∥平面PAE；④直線PD與平面ABC所成角為30°.

解析：由PA⊥平面ABC，∴PA⊥AD，故①正確；②中兩平面不垂直，③中AD與平面PAE相交，

BC∥AD，故不正確；④中PD與平面ABC所成角為45°.答案：①1.在證明線面垂直、面面垂直時，一定要注意判定定理成立的條件．同時抓住線線、線面、面面垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系，即：2．在證明兩平面垂直時，一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過作輔助線來解決，如有平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理．3．幾個常用的結(jié)論：(1)過空間任一點有且只有一條直線與已知平面垂直．(2)過空間任一點有且只有一個平面與已知直線垂直．垂直關(guān)系的基本問題

[例1]

(2013·襄州模擬)若m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面，給出下列命題：①若m，n都平行于平面α，則m，n一定不是相交直線；②若m、n都垂直于平面α，則m，n一定是平行直線；③已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，則n⊥β；④m，n在平面α內(nèi)的射影互相垂直，則m，n互相垂直．其中的假命題的序號是________．[自主解答]①顯然錯誤，因為平面α∥平面β，平面α內(nèi)的所有直線都平行β，所以β內(nèi)的兩條相交直線可同時平行于α；②正確；如圖1所示，若α∩β＝l，且n∥l，當m⊥α時，m⊥n，但n∥β，所以③錯誤；如圖2顯然當m′⊥n′時，m不垂直于n，所以④錯誤．[答案]①③④解決此類問題常用的方法有：①依據(jù)定理條件才能得出結(jié)論的，可結(jié)合符合題意的圖形作出判斷；②否定命題時只需舉一個反例．③尋找恰當?shù)奶厥饽Ｐ?如構(gòu)造長方體)進行篩選．1．(2012·長春模擬)設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列四個命題：①若a⊥b，a⊥α，b?α，則b∥α；②若a∥α，a⊥β，則α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，則a∥α或a?α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則α⊥β.其中正確命題的個數(shù)為 (

)A．1

B．2C．3 D．4解析：對于①，由b不在平面α內(nèi)知，直線b或者平行于平面α，或者與平面α相交，若直線b與平面α相交，則直線b與直線a不可能垂直，這與已知“a⊥b”相矛盾，因此①正確．對于②，由a∥α知，在平面α內(nèi)必存在直線a1∥a，又a⊥β，所以有a1⊥β，所以α⊥β，②正確．對于③，若直線a與平面α相交于點A，過點A作平面α、β的交線的垂線m，則m⊥β，又α⊥β，則有a∥m，這與“直線a、m有公共點A”相矛盾，因此③正確．對于④，過空間一點O分別向平面α、β引垂線a1、b1，則有a∥a1，b∥b1，又a⊥b，所以a1⊥b1，所以α⊥β，因此④正確．綜上所述，其中正確命題的個數(shù)為4.答案:

D直線與平面垂直的判定與性質(zhì)(1)證明：PH⊥平面ABCD；(3)證明：EF⊥平面PAB.[自主解答]

(1)證明：因為AB⊥平面PAD，PH?平面PAD，所以PH⊥AB.因為PH為△PAD中AD邊上的高，所以PH⊥AD.因為PH?平面ABCD，AB∩AD＝A，AB，AD?平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD.證明直線和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理．(2)利用判定定理的推論(a∥b，a⊥α?b⊥α)．(3)利用面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)．(4)利用面面垂直的性質(zhì)．當兩個平面垂直時，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面．2．(2012·啟東模擬)如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點．(1)求證：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.(2)連接PM，MC，∵∠PDA＝45°，PA⊥AD，∴AP＝AD.∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC，∴AP＝BC.又∵M為AB的中點，∴AM＝BM.而∠PAM＝∠CBM＝90°，∴△PAM≌△CBM.∴PM＝CM.又N為PC的中點，∴MN⊥PC.由(1)知，MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD.面面垂直的判定與性質(zhì)[例3]

(2012·江蘇高考)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(點D不同于點C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點．求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直線A1F∥平面ADE.[自主解答]

(1)因為ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD.又因為AD⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因為A1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點，所以A1F⊥B1C1.因為CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1