勾股定理知識點總結(jié)

勾股定理知識點總結(jié)1.勾股定理

如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.練習(xí)：1.如圖所示，用硬紙板做成的四個全等的直角三角形（兩直角邊長分別是a，b，斜邊長為c）和一個邊長為c的正方形，請你將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形。（1）畫出拼成的圖形的示意圖；（2）利用該圖形證明勾股定理。cabcabcabcccccab練習(xí)：拼圖證明法一：cccc正方形的面積：cabcabcabcababbaabba1個三角形的面積：4個三角形的面積：大正方形的面積：練習(xí)：拼圖證明法二：cccc正方形的面積：cabcabcabcab1個三角形的面積：4個三角形的面積：小正方形的面積：練習(xí)：2.把兩個全等的直角三角形拼成如圖所示的圖形，那么圖中三角形面積之和與四邊形ABCD面積之間的關(guān)系用式子可表示為__________________________,整理后即為_________________.ABCDEaabbcc1.勾股定理

如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.勾股定理的主要應(yīng)用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊;在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分別是∠A,∠B,∠C的對邊已知a,b，求c已知a,c，求b已知b,c，求a練習(xí)：1.在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c.（1）當(dāng)a=3,b=4時，c=____________；（2）當(dāng)AB=10,BC=8時，AC=____________.2.如圖，直角三角形中未知邊x=______,y=______.x1582425y561771.勾股定理

如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.勾股定理的主要應(yīng)用：（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊;練習(xí)：1.若一個直角三角形的一條直角邊長是7cm，另一條直角邊比斜邊短1cm，則斜邊的長是_______cm.2.直角三角形的斜邊比一直角邊長2cm，另一直角邊長為6cm，則它的斜邊長為（）3.已知直角三角形中，30°角所對的直角邊長是cm，則另一條直角邊的長是（）A.4cmB.cmC.6cmD.cm25DC1.勾股定理

如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.勾股定理的主要應(yīng)用：（3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題.練習(xí)：1.如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各邊為邊在△ABC外作三個正方形，S1、S2、S3分別表示這三個正方形的面積，S1=6，S3=25，則S2=________.S3S2S1ABC19練習(xí)：2.如圖，直線l經(jīng)過正方形ABCD的頂點B，點A、C到直線l的距離分別是1、2，則正方形的邊長是______．練習(xí)：3.在直線上依次擺著7個正方形(如圖)，已知傾斜放置的3個正方形的面積分別為1，2，3，水平放置的4個正方形的面積是S1，S2，S3，S4，則S1＋S2＋S3＋S4＝______．4ABCDE1.勾股定理

如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.勾股定理的主要應(yīng)用：（4）求作長度為的線段.練習(xí)：1.在數(shù)軸上畫出表示及的點x01-1-2-3-4-5ABC1練習(xí)：1.在數(shù)軸上畫出表示及的點A01234-1xBC22.勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.

勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應(yīng)注意：（1）首先確定最長邊，不妨設(shè)最長邊長為c；（2）驗證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2＝a2+b2，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形練習(xí)：1.已知△ABC的三邊長a，b，c滿足：(a+c)(a-c)=b2,則（）邊所對的角是直角邊所對的角是直角邊所對的角是直角D.△ABC不是直角三角形A練習(xí)：2.已知a，b，c是△ABC的三邊長，且滿足關(guān)系式：,則△ABC一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.鈍角三角形3.若一個三角形的兩邊長分別為a，b，且a，b滿足，它的第三邊長為5，則這個三角形是_________三角形（按角分類填寫）C直角3.原命題與逆命題互逆命題:兩個命題中,如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論,而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的題設(shè),那么這兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題,那么另一個叫做它的逆命題.互逆定理:如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題,那么它也是一個定理,這兩個定理叫做互逆定理,其中一個叫做另一個的逆定理.練習(xí)：1.下列說法，正確的是（）A.真命題的逆命題是真命題B.原命題是假命題，它的逆命題也是假命題C.定理一定有逆定理D.命題一定有逆命題D練習(xí)：2.下列定理，有逆定理的是（）A.對頂角相等B.全等三角形的對應(yīng)角相等C.兩個全等三角形的面積相等D.平面內(nèi)，線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等D練習(xí)：3.“如果x=3，那么”的逆命題是_______________________________，該逆命題是______命題（填“真”或“假”）；“如果兩個數(shù)互為相反數(shù)，那么它們的和為零”的逆命題是_____________________________________________________，該逆命題是_______命題（填“真”或“假”）如果那么x=3假如果兩個數(shù)的和為零，那么這兩個數(shù)互為相反數(shù)真練習(xí)：4.命題“如果兩個實數(shù)的平方相等，那么這兩個實數(shù)相等”是______命題（填“真”或“假”），它的逆命題是_______________________________________________________該逆命題是________命題（填“真”或“假”）假如果兩個實數(shù)相等，那么這兩個實數(shù)的平方相等真4.

勾股數(shù)

（1）能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2+b2=c2中a，b，c，為正整數(shù)時，稱a，b，c為一組勾股數(shù).（2）記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如①3，4，5；②6，8，10；③5，12，13；④7，24，25；⑤8，15，17；⑥9,40,41等（3）如果(a，b，c)是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時，若以at，bt，ct為三角形的三邊長，則此三角形必為直角三角形.練習(xí)：1.若正整數(shù)a,b,c是一組勾股數(shù)，則下列各組數(shù)中，一定是勾股數(shù)的是（）2,b2,c2

C.2a,2b,2cD.a-1,b-1,c-12.下列幾組數(shù)：其中是勾股數(shù)的有_________（只填序號）C②5.分類討論思想25或7解：情形一：當(dāng)斜邊為x時，則兩直角邊分別為3，4.根據(jù)勾股定理解：情形二：當(dāng)斜邊為4時，則兩直角邊分別為x，3.根據(jù)勾股定理5.分類討論思想ABCD10178解：情形一：5.分類討論思想解：情形二：DCBA810175.分類討論思想分類思想:1.直角三角形中，已知兩條邊,不知道是直角邊還是斜邊時，應(yīng)分類討論。2.當(dāng)已知條件中沒有給出圖形時，應(yīng)認(rèn)真讀句、畫圖，避免遺漏另一種情況。6.方程思想例１.小強想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，你能幫他算出來嗎？ABC5米(X+1)米x米6.方程思想例2.有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面一尺。如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？1尺10尺5尺x尺(x+1)尺解：設(shè)水深為x尺，則蘆葦?shù)拈L度為（x+1）尺。∴根據(jù)勾股定理得：(x+1)2-x2=52解得：x=12∴x+1=13∴水深為12尺，蘆葦?shù)拈L度為13尺。6.方程思想方程思想：直角三角形中，當(dāng)無法已知兩邊求第三邊時，應(yīng)采用間接求法：靈活地尋找題中的等量關(guān)系，利用勾股定理列方程。7.折疊問題例1.如圖，小潁同學(xué)折疊一個直角三角形的紙片，使A與B重合，折痕為DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的長嗎？ABCDE10cm6cmx(10-x)(10-x)解：設(shè)CE的長為xcm.∴AE=AC-CE=10-x∴BE=10-x根據(jù)勾股定理得：(10-x)2-x2=62解得：x=3.2cm∴CE的長為3.2cm.8.展開思想例1.小明家住在18層的高樓，一天，他與媽媽去買竹竿。買最長的吧！快點回家，好用它涼衣服。糟糕，太長了，放不進(jìn)去。

如果電梯的長、寬、高分別是米、米、米，那么，能放入電梯內(nèi)的竹竿的最大長度大約是多少米？8.展開思想1.5米1.5米2.2米2.2米ABCBC2=CD2+BD222AB2=AC2+BC22≈9∴AB≈3米ABCD1.5米1.5米DBC8.展開思想2BC例2.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是多少？B20322323A203A展開圖：8.展開思想例3.如圖，長方體的長為15cm，寬為10cm，高為20cm，點B離點C5cm,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是多少？