數(shù)字建模-節(jié)水洗衣機(jī)問(wèn)題

1996年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題B：節(jié)水洗衣機(jī)問(wèn)題

我國(guó)淡水資源有限，節(jié)約用水人人有責(zé)，洗衣在家庭用水中占有相當(dāng)大的份額，目前洗衣機(jī)已非常普及，節(jié)約洗衣機(jī)用水十分重要，假設(shè)在放入衣物和洗滌劑后洗衣機(jī)的運(yùn)行過(guò)程為：“加水——漂水——脫水”。請(qǐng)為洗衣機(jī)設(shè)計(jì)一種程序（包括運(yùn)行多少輪，每輪加水量等），使得在滿足一定洗滌效果的條件下，總用水量最少，選用合理的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，對(duì)照目前常用的洗衣機(jī)的運(yùn)行情況，對(duì)你的模型和結(jié)果作出評(píng)價(jià)。一、模型的假設(shè)1、僅考慮離散的加水方案，即每次脫水后換成清水進(jìn)行下一次洗滌。2、每次洗滌加水量不能低于L，否則洗衣機(jī)無(wú)法轉(zhuǎn)動(dòng)，加水量不能高于H，否則會(huì)溢出，設(shè)L<H。3、每次洗滌的時(shí)間是足夠的，以使衣服上的臟物充分溶入水中，從而使每次所加的水被充分利用。4、脫水時(shí)間也是足夠的，以使臟水充分脫出，即讓衣服所含的臟水量達(dá)到一個(gè)低限，設(shè)這個(gè)低限是一個(gè)大于0的常數(shù)C，并由于脫水時(shí)不會(huì)另加水，故C<L5、設(shè)共進(jìn)行n輪“洗漂——脫水”的過(guò)程，依次為第0輪，第1輪，第2輪，第n-1輪6、第k輪用水量為Uk(k=0,1,2，……，n-1)7、衣服上的初始臟物量為x0，在第k輪脫水之后的臟物量為xk+1(k=0,1,2,……，n-1)二、模型的建立每一輪脫水之前，污物分為兩部分

Xk=pk+qkPk為溶入水中的污物，qk為未溶入水中的。Pk與第k輪的加水量有關(guān)，總的規(guī)律可看成是Uk越大，Pk越大，且當(dāng)Uk=L時(shí)，Pk==0最?。ㄒ?yàn)榇藭r(shí)洗衣機(jī)處于停止?fàn)顟B(tài)，無(wú)法轉(zhuǎn)動(dòng)，該輪洗衣無(wú)效）當(dāng)Uk=H時(shí)，Pk最大=Qxk(0<Q<1,Q為溶解率)因此，在第k輪脫水后，衣服上尚有污物在第k輪脫水后，還有污水C，所含污物為于是，在第k輪完成之后衣物上尚存的污物總量為代入Pk后整理得動(dòng)態(tài)方程為：所以優(yōu)化模型為：其中代表對(duì)洗凈效果的要求，若令則優(yōu)化模型可化為更為簡(jiǎn)潔的形式其中:四、分析與求解1、確定最小洗衣輪數(shù)定義函數(shù)易知可知r(t)是區(qū)間[0，1]上的單調(diào)減函數(shù)，所以第k輪的洗凈效果為：由此，不難得出n輪洗完后洗凈效果最多可達(dá)到給定洗凈效果的要求ε，則應(yīng)有于是而又因?yàn)?≤Q≤1，C/H是一個(gè)非常小的常數(shù)，所以簡(jiǎn)化為當(dāng)ε、Q給定后，由上式就可確定最小洗衣輪數(shù)N0，下表給出了一些N0-Q之間的關(guān)系Q0.990.950.900.850.800.700.600.50N0ε=10-3233456810ε=10-424456810142、數(shù)據(jù)模擬檢驗(yàn)基于常識(shí)給出如下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（1）洗凈效果要求為千分之一，即（2）每輪用水量下限為上限的百分之25，即L/H=0.25（3）脫水后衣服上的臟水量為用水量上限的十萬(wàn)分之一，即C/H=10-5所以由(2)、（3）易得計(jì)算結(jié)果如下Q=0.99,不同洗衣輪數(shù)n下的最少總用水量和每一輪的最優(yōu)用水量∑vkvk備注1無(wú)解21.95630.9782n=2為最優(yōu)32.72730.909143.32190.830553.78190.756464.14410.690774.43510.633684.67320.584294.87140.5413105.03860.5386不同溶解率Q值下的最優(yōu)洗衣輪數(shù),最少總用水量和每一輪的最優(yōu)用水量(各輪的最優(yōu)用水量恰好相等)Qn∑vkvk備注0.9921.95630.97820.9532.84210.94970.9043.65400.91350.8543.86900.96730.8054.68010.93600.7065.86100.97680.6087.71080.96380.50109.97640.9976（