理論力學(xué)-09第九章點(diǎn)合成運(yùn)動(dòng)

1第九的合成§9–1合成運(yùn)動(dòng)的基本概§9–2點(diǎn)的速度合成定§9–4牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的加速度合成定理2§§9–1一、問題的提在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)中，描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是以地面 vG小車以v1提升Ｍ物體并v 以v2右運(yùn)動(dòng)，求Ｍ的速分析物體Ｍ的運(yùn)動(dòng)y２）從另一角度角度看G .M∴Ｍ物體的運(yùn)動(dòng)是兩種簡單運(yùn)動(dòng)的x3例２：車在勻速前進(jìn)，輪作純滾動(dòng)解：分析Ｍ點(diǎn)的軌跡：旋輪線Gv 其運(yùn)動(dòng)方程Gv vtRsinyMRRM MoI從另一角度角度G

xMIOI若求Ｍ點(diǎn)的速a車v向右的直線運(yùn)動(dòng)（平動(dòng)b.Ｍ點(diǎn)繞軸Ｏ1作定軸的勻速轉(zhuǎn)∴Ｍ4①Ｍ點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)＝Ｍ點(diǎn)相對車直線運(yùn)動(dòng)＋車對地的直線運(yùn)動(dòng) y

即：動(dòng)系x'y'MM 定系：固定坐標(biāo)

x,M動(dòng)系運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)xMx5 Ｍ點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)＝Ｍ相對車軸的轉(zhuǎn)動(dòng)＋車對地Ｍ點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)＝Ｍ相對動(dòng)Gv GvoMo oI

小車上固結(jié)一坐標(biāo)系即：動(dòng)系x'y'固定坐標(biāo)系x,運(yùn)動(dòng)坐x單成 合運(yùn)。6二、絕對運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)Ｍ點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)＝Ｍ相對動(dòng)研究對象： y

兩個(gè)坐標(biāo)系xyxy'M 三種速度M 絕對速度：動(dòng)點(diǎn)相對定系的 M相對速度：動(dòng)點(diǎn)相對動(dòng)系的M 7三種速度 絕對速度：動(dòng)點(diǎn)相對定系的速度相對速度：動(dòng)點(diǎn)相對動(dòng)系的速度 牽連速度：動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)相重合點(diǎn)GGGM

∵動(dòng)系是平∴動(dòng)系上各點(diǎn)速Ｍ’點(diǎn)是動(dòng)系 v'MGＭ點(diǎn)的牽連速 三種速度 絕對速度：動(dòng)點(diǎn)相對定系的速度相對速度：動(dòng)點(diǎn)相對動(dòng)系的速度 牽連速度：動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)相重合點(diǎn)K例：M以vr沿OA運(yùn)動(dòng)，園盤以勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，分析t時(shí)刻Ｍ點(diǎn)牽連速度Gv

MM

KM KK A,

因?yàn)椋篗點(diǎn)在園盤上作直線運(yùn)動(dòng)，園盤為動(dòng)系K M

牽連點(diǎn)M’Gve

ve若動(dòng)點(diǎn)在Ｍ１

v'eOM9三種加速度 絕對加速度：動(dòng)點(diǎn)相對定系的加速G 牽連加速度：動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)相重合點(diǎn)強(qiáng)調(diào)１）２）牽連點(diǎn)－－－動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)相重合的動(dòng)點(diǎn)：AB桿上A動(dòng)點(diǎn)AB桿上A動(dòng)系固結(jié)于凸輪Ｏ'上靜系：固結(jié)在地面上三種運(yùn)動(dòng)分析相對運(yùn)動(dòng)

曲線（圓弧牽連運(yùn)動(dòng)：直線平動(dòng)點(diǎn)AB桿上A動(dòng)系固結(jié)于凸輪Ｏ'上靜系：固結(jié)在地面上三種速度分析va對速度：

或 沿軌跡切G牽連速度： 或G絕對速度

相對速

牽連速度絕對加速度：相對加速度： a a 牽連加速度§9–2點(diǎn)§9–2點(diǎn)的速度合成定t,AB運(yùn)動(dòng) 動(dòng)點(diǎn)Ｍ在上AB以vr在運(yùn)動(dòng)。牽連點(diǎn)t',AB'運(yùn)動(dòng);B

MMM'相對軌跡 相對位移：MM2 M

MM G

Gv

MM'MM1M1MMM

MM

1 M M

t0

t

t GAG

MM v,v

G

MM2 t

t

t vrGlimMMvr

limM1M

Gvt0

t

點(diǎn)的速度合成定理vavaveGGGGG GM MGG G

⑵vave與vrG ①已知ve G veva解題步驟確指明動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)系動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)系是兩個(gè)物體，有其相對運(yùn)動(dòng)，相對軌跡明顯②分析三種運(yùn)動(dòng)及相應(yīng)的三 絕對運(yùn)動(dòng)va；相對運(yùn)動(dòng) ；牽連運(yùn)動(dòng)：ve③畫出速度四邊絕對速度一定在四邊形的對角線上 例：已知小車以v1提升物體，并以v2向右運(yùn)物體的速度解：１）確定動(dòng)點(diǎn)、GvGrGM

xxy２）三種運(yùn)動(dòng)、速度分絕對運(yùn)動(dòng) 相對運(yùn)動(dòng)：垂直向上的直線運(yùn)動(dòng) 牽連運(yùn)動(dòng)：向右的平動(dòng) v ３）點(diǎn)的速度 vev2ev2ev2a

畫出速度v2v22[例2]曲柄擺桿機(jī)構(gòu)已知：OA=rOO1=l圖示瞬時(shí)OAOO1求：擺桿O1B角速度1解：１）確定動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)動(dòng)點(diǎn)：套筒A，動(dòng)系：擺桿 ２）三種 絕對軌跡：園vaOA 相對運(yùn)動(dòng)：沿O1B桿的直線運(yùn)

vr//r2l∵r2l

牽連運(yùn)動(dòng)：O1B繞O1的擺ve=?方向３）點(diǎn)的速度合成定 ve 畫出速度四r

vevasin veO1A1r2lr2lve

1 r

l圓盤凸輪機(jī)[例3]已知：[例3]已知：OC＝eR3e（勻角速度）圖示O,A,B三點(diǎn)共線。求：從動(dòng)桿AB解：１）確定動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)２）三種運(yùn)動(dòng)、速度分析絕對運(yùn)動(dòng)：垂直向上的直線運(yùn)動(dòng)

靜系圓盤凸輪機(jī)

牽連運(yùn)動(dòng)：園盤繞O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)ve=OA=2e,方向３）點(diǎn)的速度合成定 ve 畫出速度四連 tg300

3

3e()

GG

解：１）確定動(dòng)點(diǎn)、 ２）三種運(yùn)動(dòng)、速度分析

絕對運(yùn)動(dòng)：垂直向上的直線運(yùn)動(dòng)，相對運(yùn)動(dòng)：套筒M沿OA桿的滑動(dòng)vr//牽連運(yùn)OAoxy'桿繞O點(diǎn)的擺動(dòng)KveOAl/ ３）點(diǎn)的速度合成定

ve ve

畫出速度連桿機(jī)

ve

cosvvcos2/小結(jié)：求解合成運(yùn)動(dòng)速度問題的一般步驟選取動(dòng)點(diǎn)三種運(yùn)動(dòng)的分析。（）三種速度的3）根據(jù)速度合成GG

作出速度平行四邊形根據(jù)速度平行恰當(dāng)?shù)剡x擇動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系和靜系動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系和靜系必須分別屬于三個(gè)不同的物體，不能成為合成運(yùn)?！?-§8- 運(yùn)動(dòng),而曲線AB同時(shí)又隨同動(dòng)系O'x'y'z'相對靜系Oxyz平動(dòng)。由于牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)vevO ,aeaO由速度合成定vave而vr dx'i'dy'j'dz'k dx'idy'jdz'k dva dvOd2x'i'd2y'j'd2z'k對t求導(dǎo)

dt dt dt(其中i',j',k'為動(dòng)系坐標(biāo)的單位矢量，因?yàn)閯?dòng)系為平動(dòng)，故它們的方向不變，是常矢量，所以di'0,dy'0,dz'0 又∵dvO' a,a

2x'

d2y

j'

d2z'k O

dt dt dtaaae

—牽連運(yùn)動(dòng)為平aanaaaanaananaaeerr∴一般式可寫為[例1]已知：凸輪半徑Ｒ，以v0a0向右運(yùn)動(dòng)。求：=60o時(shí),頂桿AB的加速度。GGGGGG２）種速度分a絕對速度： avr牽連運(yùn)動(dòng)'y'凸輪向右作平動(dòng)求解速度

ve３）點(diǎn)的速度合成定r rvv/sin

ve

畫出速度

４）加速度分由：aaae 畫出加速度矢量圖aa=r相對加速度：a =?方向ranv2

v

23 3v 4v3an ( v)2/R 3 牽連加ae=a0,方向n5)n aaa 將上式投影到n上，得n

sinene

cosa

r4vraa(aecos 8v整理

aABaa 3(a0

)R[注]加速度矢量方程的投影是等式兩端的投影，與靜平衡方程的投影關(guān)系不同§8-4牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度例：圓盤以繞定軸Ｏvr沿槽作圓周運(yùn)動(dòng)。

解：１）動(dòng)點(diǎn)動(dòng)系２）三種速度分相對運(yùn)動(dòng)：點(diǎn)在圓槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)求：M點(diǎn)相對于靜系的絕加速度

vr G牽連運(yùn)動(dòng)：圓盤作定軸Ga 牽連點(diǎn)：M’，a

vea絕對運(yùn)動(dòng)：軌跡是圓vaa３）點(diǎn)的速度合成 ve

因?yàn)楦魉俣裙簿€所以

veRr

aGraaGraGanKa相對加速度anv2

方向指向圓心r牽連加速:an絕對加速度

2

方向指向圓心 R 即,絕對運(yùn)動(dòng)也為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所v (Rv2 vaa R2r 2vrR分析上式av2/R, a

還多出一項(xiàng)2vrKa可見：當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對加速度aa 等于牽連加速度 和相對加速度 的矢量和動(dòng)系0′X′Y′Z′繞定系OXYZ的Z軸轉(zhuǎn)動(dòng) 牽連速度：vee牽連加速度：aeeraeevrxiyjarxiyjvavevrera r eraro

yjreerovrerere(rorr)vreravrvevrv(xiyjzk)(xiyj)rareaaerae(vevr)areeraeveevrareaear2e牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)定理： akak2GGaaaear科氏加速大小: 2v sin 方向：按右手法則確定 當(dāng)90時(shí)

vr),

2vr當(dāng)0或180時(shí)//G), KKG[例矩形板ABCD以勻角速度繞固定z轉(zhuǎn)動(dòng)，M1、M2點(diǎn)的速度分別為v1和v2，計(jì)算M1、M2點(diǎn)的ak并圖示方向。解：１）有向線段G示角速度AGvr3MDBAGvr3MDB vrG4ak

2v1sin，垂直板面向里。∵2

ak2３）Ｍ３，Ｍ４點(diǎn)的科氏加速度點(diǎn)曲率半徑,已知。求：該瞬時(shí)頂桿B點(diǎn)的速度和加解:１）動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系的確定 動(dòng)點(diǎn)：頂桿上Ava 動(dòng)系:凸輪 靜系:地va ２）三種運(yùn)動(dòng)絕對運(yùn)動(dòng)直線;va待求方向相對運(yùn)動(dòng)曲線;相對速度vr方向n;牽連運(yùn)動(dòng):定軸轉(zhuǎn)動(dòng);verOA，３）做出速度 vtgrtg

vrve/cosKKak

４）加速度分析a 絕對加速度 ?,方向//a

相對加速度ar

?方向

vr2/ ,aa 牽連加速aaa a

0

n2r,方向指 O科氏加速動(dòng)系角速度矢

2 22r/cos 方向n,n由牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)aaaea an 根據(jù)加速度矢量圖向n軸投影：aacosaecosar

(2rcos2r2sec2aa(22rsec)/ aB

1rsec32sec2

2曲柄擺桿機(jī)

[例4已知：O1A＝rKK 解：ak22

2 Gr

由 vevr做出速度平行四邊 vcosrsin( vasinr1cos(21 rsin()sin sin()sin21O2

rcos cos G 2vsin(22)2 2

方向：與ve一．概念及公vave加速度合成G牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)：a

aeaG ( 牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)a

aearak

ak2vr二．解題步選擇動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系、靜分析三種運(yùn)動(dòng)作速度分析,畫出速度平行四邊形,(速度,角速度）(利用矢量投影的方法三．解題技恰當(dāng)?shù)剡x擇動(dòng)點(diǎn).動(dòng)系和靜系,應(yīng)滿足選擇原則，具體地兩個(gè)不相關(guān)的動(dòng)點(diǎn)，求二者的相對速度根據(jù)題意,選擇其中之一為動(dòng)點(diǎn),動(dòng)系為固結(jié)②運(yùn)動(dòng)剛體上有一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)作復(fù)雜運(yùn)動(dòng)該點(diǎn)取為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固結(jié)于