2022屆四川成都青羊區(qū)外國語學(xué)校高考壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．閱讀如圖的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出的的值為（）A． B． C． D．2．已知集合，，則集合子集的個數(shù)為（）A． B． C． D．3．過拋物線的焦點且與的對稱軸垂直的直線與交于，兩點，，為的準(zhǔn)線上的一點，則的面積為（）A．1 B．2 C．4 D．84．已知函數(shù)，，若成立，則的最小值為（）A．0 B．4 C． D．5．若實數(shù)滿足的約束條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，，若成立，則的最小值是（）A． B． C． D．7．設(shè)點是橢圓上的一點，是橢圓的兩個焦點，若，則（）A． B． C． D．8．《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何?”意思是：“現(xiàn)在有一根金箠，長五尺在粗的一端截下一尺，重斤；在細(xì)的一端截下一尺，重斤，問各尺依次重多少?”按這一問題的顆設(shè)，假設(shè)金箠由粗到細(xì)各尺重量依次成等差數(shù)列，則從粗端開始的第二尺的重量是（）A．斤 B．斤 C．斤 D．斤9．把滿足條件（1），，（2），，使得的函數(shù)稱為“D函數(shù)”，下列函數(shù)是“D函數(shù)”的個數(shù)為（）①②③④⑤A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．等比數(shù)列的前項和為，若，，，，則（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，若，則等于（）A．-3 B．-1 C．3 D．012．設(shè)全集U=R，集合，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在直角坐標(biāo)系中，已知點和點，若點在的平分線上，且，則向量的坐標(biāo)為___________.14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B為x軸正半軸上的兩個動點，P（異于原點O）為y軸上的一個定點．若以AB為直徑的圓與圓x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒為定值，則線段OP的長為_____．15．小李參加有關(guān)“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的答題活動，要從4道題中隨機(jī)抽取2道作答，小李會其中的三道題，則抽到的2道題小李都會的概率為_____.16．已知下列命題：①命題“?x0∈R，”的否定是“?x∈R，x2＋1＜3x”；②已知p，q為兩個命題，若“p∨q”為假命題，則“”為真命題；③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要條件；④“若xy＝0，則x＝0且y＝0”的逆否命題為真命題．其中所有真命題的序號是________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點是拋物線的頂點，，是上的兩個動點，且.（1）判斷點是否在直線上？說明理由；（2）設(shè)點是△的外接圓的圓心，點到軸的距離為，點，求的最大值.18．（12分）如圖，在正三棱柱中，，，分別為，的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成二面角銳角的余弦值．19．（12分）如圖，過點且平行與x軸的直線交橢圓于A、B兩點，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點M且斜率為正的直線交橢圓于段C、D，直線AC、BD分別交直線于點E、F，求證：是定值.20．（12分）已知數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．21．（12分）設(shè)函數(shù)（）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于x的方程有唯一的實數(shù)解，求a的取值范圍.22．（10分）記無窮數(shù)列的前項中最大值為，最小值為，令，則稱是“極差數(shù)列”.（1）若，求的前項和；（2）證明：的“極差數(shù)列”仍是；（3）求證：若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

根據(jù)給定的程序框圖，計算前幾次的運算規(guī)律，得出運算的周期性，確定跳出循環(huán)時的n的值，進(jìn)而求解的值，得到答案.【詳解】由題意，，第1次循環(huán)，，滿足判斷條件；第2次循環(huán)，，滿足判斷條件；第3次循環(huán)，，滿足判斷條件；可得的值滿足以3項為周期的計算規(guī)律，所以當(dāng)時，跳出循環(huán)，此時和時的值對應(yīng)的相同，即.故選：C.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算與輸出問題，其中解答中認(rèn)真審題，得出程序運行時的計算規(guī)律是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力.2．B【解析】

首先求出，再根據(jù)含有個元素的集合有個子集，計算可得.【詳解】解：，，，子集的個數(shù)為.故選：.【點睛】考查列舉法、描述法的定義，以及交集的運算，集合子集個數(shù)的計算公式，屬于基礎(chǔ)題．3．C【解析】

設(shè)拋物線的解析式，得焦點為，對稱軸為軸，準(zhǔn)線為，這樣可設(shè)點坐標(biāo)為，代入拋物線方程可求得，而到直線的距離為，從而可求得三角形面積．【詳解】設(shè)拋物線的解析式，則焦點為，對稱軸為軸，準(zhǔn)線為，∵直線經(jīng)過拋物線的焦點，，是與的交點，又軸，∴可設(shè)點坐標(biāo)為，代入，解得，又∵點在準(zhǔn)線上，設(shè)過點的的垂線與交于點，，∴.故應(yīng)選C.【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，解題時只要設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，就能得出點坐標(biāo)，從而求得參數(shù)的值．本題難度一般．4．A【解析】

令，進(jìn)而求得，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題即可求解.【詳解】∵∴（），∴，令：，，在上增，且，所以在上減，在上增，所以，所以的最小值為0.故選：A【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)最值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，恰當(dāng)?shù)挠靡粋€未知數(shù)來表示和是本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.5．B【解析】

根據(jù)所給不等式組，畫出不等式表示的可行域，將目標(biāo)函數(shù)化為直線方程，平移后即可確定取值范圍.【詳解】實數(shù)滿足的約束條件，畫出可行域如下圖所示：將線性目標(biāo)函數(shù)化為，則將平移，平移后結(jié)合圖像可知，當(dāng)經(jīng)過原點時截距最小，；當(dāng)經(jīng)過時，截距最大值，，所以線性目標(biāo)函數(shù)的取值范圍為，故選：B.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，線性目標(biāo)函數(shù)取值范圍的求法，屬于基礎(chǔ)題.6．A【解析】分析：設(shè)，則，把用表示，然后令，由導(dǎo)數(shù)求得的最小值．詳解：設(shè)，則，，，∴，令，則，，∴是上的增函數(shù)，又，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，是極小值也是最小值，，∴的最小值是．故選A．點睛：本題易錯選B，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，解題時學(xué)生可能不會將其中求的最小值問題，通過構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題，另外通過二次求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也很容易出錯．7．B【解析】∵∵∴∵，∴∴故選B點睛：本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)及橢圓的定義.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.8．B【解析】

依題意，金箠由粗到細(xì)各尺重量構(gòu)成一個等差數(shù)列，則，由此利用等差數(shù)列性質(zhì)求出結(jié)果．【詳解】設(shè)金箠由粗到細(xì)各尺重量依次所成得等差數(shù)列為，設(shè)首項，則，公差，.故選B【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．B【解析】

滿足（1）（2）的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點對稱，分別對所給函數(shù)進(jìn)行驗證.【詳解】滿足（1）（2）的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點對稱，①不滿足（2）；②不滿足（1）；③不滿足（2）；④⑤均滿足（1）（2）.故選：B.【點睛】本題考查新定義函數(shù)的問題，涉及到函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生邏輯推理與分析能力，是一道容易題.10．D【解析】試題分析：由于在等比數(shù)列中，由可得：，又因為，所以有：是方程的二實根，又，，所以，故解得：，從而公比；那么，故選D．考點：等比數(shù)列．11．D【解析】分析：因為題設(shè)中給出了的值，要求的值，故應(yīng)考慮兩者之間滿足的關(guān)系.詳解：由題設(shè)有，故有，所以，從而，故選D.點睛：本題考查函數(shù)的表示方法，解題時注意根據(jù)問題的條件和求解的結(jié)論之間的關(guān)系去尋找函數(shù)的解析式要滿足的關(guān)系.12．A【解析】

求出集合M和集合N,，利用集合交集補(bǔ)集的定義進(jìn)行計算即可．【詳解】，，則，故選：A．【點睛】本題考查集合的交集和補(bǔ)集的運算，考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

點在的平分線可知與向量共線，利用線性運算求解即可.【詳解】因為點在的平線上，所以存在使，而，可解得，所以，故答案為：【點睛】本題主要考查了向量的線性運算，利用向量的坐標(biāo)求向量的模，屬于中檔題.14．【解析】分析：設(shè)O2（a，0），圓O2的半徑為r（變量），OP=t（常數(shù)），利用差角的正切公式，結(jié)合以AB為直徑的圓與圓x2+（y-2）2=1相外切．且∠APB的大小恒為定值，即可求出線段OP的長．詳解：設(shè)O2（a，0），圓O2的半徑為r（變量），OP=t（常數(shù)），則∵∠APB的大小恒為定值，

∴t＝，∴|OP|=．故答案為點睛：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查差角的正切公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．15．【解析】

從四道題中隨機(jī)抽取兩道共6種情況，抽到的兩道全都會的情況有3種，即可得到概率.【詳解】由題：從從4道題中隨機(jī)抽取2道作答，共有種，小李會其中的三道題，則抽到的2道題小李都會的情況共有種，所以其概率為.故答案為：【點睛】此題考查根據(jù)古典概型求概率，關(guān)鍵在于根據(jù)題意準(zhǔn)確求出基本事件的總數(shù)和某一事件包含的基本事件個數(shù).16．②【解析】命題“?x∈R，x2＋1＞3x”的否定是“?x∈R，x2＋1≤3x”，故①錯誤；“p∨q”為假命題說明p假q假，則(p)∧(q)為真命題，故②正確；a＞5?a＞2，但a＞2?/a＞5，故“a＞2”是“a＞5”的必要不充分條件，故③錯誤；因為“若xy＝0，則x＝0或y＝0”，所以原命題為假命題，故其逆否命題也為假命題，故④錯誤．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）不在，證明見詳解；（2）【解析】

（1）假設(shè)直線方程，并于拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，計算，可得，然后驗證可得結(jié)果.（2）分別計算線段中垂線的方程，然后聯(lián)立，根據(jù)（1）的條件可得點的軌跡方程，然后可得焦點，結(jié)合拋物線定義可得，計算可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)直線方程，根據(jù)題意可知直線斜率一定存在，則則由所以將代入上式化簡可得，所以則直線方程為，所以直線過定點，所以可知點不在直線上.（2）設(shè)線段的中點為線段的中點為則直線的斜率為，直線的斜率為可知線段的中垂線的方程為由，所以上式化簡為即線段的中垂線的方程為同理可得：線段的中垂線的方程為則由（1）可知：所以即，所以點軌跡方程為焦點為，所以當(dāng)三點共線時，有最大所以【點睛】本題考查直線于拋物線的綜合應(yīng)用，第（1）問中難點在于計算處，第（2）問中關(guān)鍵在于得到點的軌跡方程，直線與圓錐曲線的綜合常常要聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理，屬難題.18．（1）證明見詳解；（2）.【解析】

（1）取中點為，通過證明//，進(jìn)而證明線面平行；（2）取中點為，以為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，求得兩個平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.【詳解】（1）證明：取的中點，連結(jié)，，如下圖所示：在中，因為為的中點，，且，又為的中點，，，且，，且，四邊形為平行四邊形，又平面，平面，平面，即證.（2）取中點，連結(jié)，，則，平面，以為原點，分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量，則，則，令．則，同理得平面的一個法向量為，則，故平面與平面所成二面角（銳角）的余弦值為.【點睛】本題考查由線線平行推證線面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，屬綜合中檔題.19．（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）由題意求得的坐標(biāo)，代入橢圓方程求得，由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，可得關(guān)于的一元二次方程，設(shè)出的坐標(biāo)，分別求出直線與直線的方程，從而求得兩點的縱坐標(biāo)，利用根與系數(shù)關(guān)系可化簡證得為定值.【詳解】（1）由已知可得：，代入橢圓方程得：橢圓方程為；（2）設(shè)直線CD的方程為，代入，得：設(shè)，，則有，則AC的方程為，令，得BD的方程為，令，得，證畢.【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力，是難題．20．（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)遞推公式，用配湊法構(gòu)造等比數(shù)列，求其通項公式，進(jìn)而求出的通項公式；（2）求出數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法求數(shù)列的前項和.【詳解】解：（1），，是首項為，公比為的等比數(shù)列．所以，．（2）.【點睛】本題考查了由數(shù)列的遞推公式求通項公式，錯位相減法求數(shù)列的前n項和的問題，屬于中檔題.21．（1）當(dāng)時，遞增區(qū)間時，無遞減區(qū)間，當(dāng)時，遞增區(qū)間時，遞減區(qū)間時；（2）或.【解析】

（1）求出，對分類討論，先考慮（或）恒成立的范圍，并以此作為的分類標(biāo)準(zhǔn)，若不恒成立，求解，即可得出結(jié)論；（2）有解，即，令，轉(zhuǎn)化求函數(shù)只有一個實數(shù)解，根據(jù)（1）中的結(jié)論，即可求解.【詳解】（1），當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，，綜上，當(dāng)時，遞增區(qū)間時，無遞減區(qū)間，當(dāng)時，遞增區(qū)間時，遞減區(qū)間時；（2），令，原方程只有一個解，只需只有一個解，即求只有一個零點時，的取值范圍，由（1）得當(dāng)時，在單調(diào)遞增，且，函數(shù)只有一