【課件】選修2-3楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)一般地，對(duì)于nN*有二項(xiàng)定理:一、新課引入二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)指的是哪些？共有多少個(gè)？

下面我們來(lái)研究二項(xiàng)式系數(shù)有些什么性質(zhì)？我們先通過(guò)楊輝三角觀(guān)察n為特殊值時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)有什么特點(diǎn)？1．“楊輝三角”的來(lái)歷及規(guī)律

楊輝三角展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)，如下表所示：

11

121

1331

1464115101051

1615201561

………………二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是：

從函數(shù)角度看，可看成是以r為自變量的函數(shù),其定義域是：

當(dāng)時(shí)，其圖象是右圖中的7個(gè)孤立點(diǎn)．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

（1）對(duì)稱(chēng)性

與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．

這一性質(zhì)可直接由公式得到．圖象的對(duì)稱(chēng)軸：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

由于：所以相對(duì)于的增減情況由決定．

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

由：

二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對(duì)稱(chēng)性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。

可知，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

因此，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

取得最大值；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、相等，且同時(shí)取得最大值。（3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)在二項(xiàng)式定理中，令，則：

這就是說(shuō)，的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于：同時(shí)由于，上式還可以寫(xiě)成：這是組合總數(shù)公式．

一般地，展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)有如下性質(zhì)：

（1）

（2）

（3）當(dāng)時(shí)，

（4）

當(dāng)時(shí)，課堂練習(xí)：2）的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是

；3）若的展開(kāi)式中的第十項(xiàng)和第十一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n=

；

二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)都是一些特殊的組合數(shù)，它有三條性質(zhì)，要理解和掌握好，同時(shí)要注意“系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”的區(qū)別，不能混淆，只有二項(xiàng)式系