初二下期末幾何壓軸題與解析

初二下期末幾何及解析1、以四邊形ABCD的邊AB、AD為邊分別向外側(cè)作等邊三角形ABF和ADE，連結(jié)EB、FD，交點(diǎn)為G．〔1〕當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)〔如圖1〕，EB和FD的數(shù)量關(guān)系是_____________；〔2〕當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)〔如圖2〕，EB和FD擁有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)加以證明；〔3〕四邊形ABCD由正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過程中，∠EGD是否發(fā)生變化?如果改變，請(qǐng)說明原因；如果不變，請(qǐng)?jiān)趫D3中求出∠EGD的度數(shù)．難度一般：證全等即可〔第三問，圖1中就能看出是45°。〕解〔1〕EB=FD。〔2〕EB=FD。證：∵△AFB為等邊三角形,∴AF=AB，∠FAB=60°∵△ADE為等邊三角形，∴AD=AE，∠EAD=60°,∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD即∠FAD=∠BAE,∴△FAD≌△BAE,∴EB=FD〔3〕解：∵△ADE為等邊三角形，∴∠AED=∠EDA=60°∵△FAD≌△BAE，∴∠AEB=∠ADF設(shè)∠AEB為x°，那么∠ADF也為x°于是有∠BED為〔60-x〕°，∠EDF為〔60+x〕°∴∠EGD=180°-∠BED-∠EDF=180°-〔60-x〕°-〔60+x〕°=60°2、：如圖，在□ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接AE并延伸交DC的延伸線于點(diǎn)F，連結(jié)BF．1〕求證：△ABE≌△FCE；〔2〕假定AF=AD，求證：四邊形ABFC是矩形．簡(jiǎn)單題證明：〔1〕如圖1．在△ABE和△FCE中，∠1=∠2，∠3=∠4，BE=CE，∴△ABE≌△FCE．

ADBCEFAD1〔2〕∵△ABE≌△FCE，∴AB=FC．∵AB∥FC，∴四邊形ABFC是平行四邊形．∵3CB四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC．E42∵AF=AD，∴AF=BC．∴四邊形ABFC是矩形．F圖113、：△ABC是一張等腰直角三角形紙板，∠B=90°，AB=BC=1．〔1〕要在這張紙板上剪出一個(gè)正方形，使這個(gè)正方形的四個(gè)極點(diǎn)都在△ABC的邊上．小林設(shè)計(jì)出了一種剪法，如圖1所示．請(qǐng)你再設(shè)計(jì)出一種不同于圖1的剪法，并在圖2中畫出來．AAAADEDEDEBCBCBCBCFFF圖4圖1圖2圖3〔2〕假定按照小林設(shè)計(jì)的圖1所示的剪法來進(jìn)行裁剪，記圖1為第一次裁剪，獲得1個(gè)正方形，將它的面積記為S1，那么S1=___________；余下的2個(gè)三角形中還按照小林設(shè)計(jì)的剪法進(jìn)行第二次裁剪〔如圖3〕，獲得2個(gè)新的正方形，將此次所得2個(gè)正方形的面積的和．記為S2，那么S2=___________；在余下的4個(gè)三角形中再按照小林設(shè)計(jì)的的剪法進(jìn)行第三次裁剪〔如圖4〕，獲得4個(gè)新的正方形，將此次所得4個(gè)正方形的面積的和記為n次裁剪獲得．S3；按照同樣的方法持續(xù)操作下去??，第_________個(gè)新的正方形，它們的面積的和A．Sn=______________．〔題外題：把你剪出的正方形的面積與圖1中的正方形面積進(jìn)行比較。〕本題相當(dāng)于中考12題的簡(jiǎn)單題BC解：〔1〕如圖2；-------------1分圖2〔2〕1，1，2n1，1．----------6分482n14、：如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，它的極點(diǎn)A在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，極點(diǎn)D在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)〔點(diǎn)A，D都不與原點(diǎn)重合〕，極點(diǎn)相交B，C都在第一象限，且對(duì)角線AC，BD于點(diǎn)P，連結(jié)OP．1〕當(dāng)OA=OD時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為______________，∠POA=__________°；

yC〔2〕當(dāng)OA<OD時(shí)，求證：OP平分∠DOA；DP3〕設(shè)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d，那么在點(diǎn)A，D運(yùn)動(dòng)的過程中，d的取值范圍是________________．

BO

A

x〔第二問：如果點(diǎn)P到OP“所平分的角〞的兩邊的距離相等，即可。〕〔第二問的題外題：當(dāng)OA＞OD時(shí)，求證：OP平分∠DOA；〕2解：〔1〕(0,22)，45；證明：〔2〕過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N．〔如圖3〕∵四邊形ABCD是正方形，∴PD=PA，∠DPA=90°．yC∵PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N，∴∠PMO=∠PNO=∠PND=90°．D1PN∵∠NOM=90°，∴四邊形NOMP中，∠NPM=90°．∴∠DPA=∠BNPM．∵∠1=∠DPA－∠NPA，∠2=∠NPM－∠NPA，∴∠1=∠2．2在△DPN和△APM中，∠PND=∠PMA，∠1=∠2，PD=PA，OAMx∴△DPN≌△APM．∴PN=PM．∴OP平分∠DOA．圖3〔3〕2d≤22．-5、：如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的y極點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為〔4,0〕，〔0,3〕．將△OCA沿直線CA翻折，獲得△DCA，且DA交CB于點(diǎn)E．〔1〕求證：EC=EA；

DECB2〕求點(diǎn)E的坐標(biāo)；3〕連結(jié)DB，請(qǐng)直接寫出四邊形DCAB的周長(zhǎng)和面積．．．．．OAx〔第二問，有坐標(biāo)，用代數(shù)法勾股定理可得CE=AE的長(zhǎng)〕〔第三問的證明：過D做DM⊥AC于M，過B做BN⊥CA于N，那么由相像可得，DM=BN=梯形的高〔能求出詳細(xì)數(shù)〕，CM=AN〔詳細(xì)數(shù)〕還看得DB=MN〔詳細(xì)數(shù)〕這樣即可求出周長(zhǎng)，有可求出頭積?！匙C明：〔1〕如圖1．∵△OCA沿直線CA翻折獲得△DCA，∴△OCA≌△DCA．∴∠1=∠2．∵四邊形OABC是矩形，∴OA∥CB．∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴EC=EA．解：〔2〕設(shè)CE=AE=x．∵點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為〔4,0〕，〔0,3〕，∴OA=4，OC=3．∵四邊形OABC是矩形，∴CB=OA=4，AB=OC=3，∠B=90°．在Rt△EBA中，EA2EB2BA2，∴x2(4x)232．解得x25．∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(25,3)．883〕62，192．5256、：△ABC的兩條高BD，CE交于點(diǎn)F，點(diǎn)M，N分別是AF，BC的中點(diǎn)，連結(jié)ED，MN．〔1〕在圖1中證明MN垂直平分ED；〔2〕假定∠EBD=∠DCE=45°〔如圖2〕，判斷以M，E，N，D為極點(diǎn)的四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．AAMMEEDDFB圖2CBFNCN3第一問，連結(jié)EM，EN，DM，DN，利用三角形斜邊中線等于斜邊一半得，ME=MD，NE=ND，所以點(diǎn)M、N都在線段ED的垂直平分線上?！灿小鰽DF≌△BDC，得AF=BC，〔還得∠MDA=∠NDB，證直角時(shí)用〕，進(jìn)而得菱形，再證一直角得正方形，〕1〕證明：連結(jié)EM，EN，DM，DN．〔如圖2〕∵BD，CE是△ABC的高，∴BD⊥AC，CE⊥AB．∴∠BDA=∠BDC=∠CEB=∠CEA=90°．∵在Rt△AEF中，M是AF的中點(diǎn)，∴EM=1AF．1AF，EN=1BC，DN=12同理，DM=BC．222∴EM=DM，EN=DN．∴點(diǎn)M，N在ED的垂直平分線上．∴MN垂直平分ED．〔2〕判斷：四邊形MEND是正方形．證明：連結(jié)EM，EN，DM，DN．〔如圖3〕∵∠EBD=∠DCE=45°，而∠BDA=∠CDF=90°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∠DFC=∠DCF=45°．∴AD=BD，DF=DC．在△ADF和△BDC中，AD=BD，ADF=∠BDC，〔Rt∠〕DF=DC，∴△ADF≌△BDC．∴AF=BC，∠1=∠2．∵由〔1〕知DM=11AF=AM，DN=BC=BN，22DM=DN，∠1=∠3，∠2=∠4．∴∠3=∠4．∵由〔1〕知EM=DM，EN=DN，∴DM=DN=EM=EN．∴四邊形MEND是菱形．∵∠3+∠MDF=∠ADF=90°，∴∠4+∠MDF=∠NDM=90°．∴四邊形MEND是正方形．

A1M3ED4FB2CN圖37、〔6分〕如圖，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為AD邊上的一點(diǎn)〔不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合〕，將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，聯(lián)絡(luò)BP、BH。1〕求證：∠APB＝∠BPH；2〕求證：AP＋HC＝PH；3〕當(dāng)AP＝1時(shí)，求PH的長(zhǎng)。4第一問，設(shè)∠EPB=∠EBP=m，那么∠BPH=90°-m，∠PBC=90°-m，所以∠BPH=∠PBC，又因?yàn)椤螦PB=PBC，所以，∠APB=∠BPH。第二問的題外題：將本題與北京141之東城22和平谷24放在一同，旋轉(zhuǎn)翻折共同學(xué)習(xí)；本題中用旋轉(zhuǎn)把△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°不能抵達(dá)目的，于是延BP翻折，翻折后的節(jié)余局部△BQH與△BCH也可全等，即可抵達(dá)目的，還存心外收獲：證得∠PBH=45°。第三問，代數(shù)方法的勾股定理。1〕證明：∵PE＝BE，∴∠EPB＝∠EBP，又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP。即∠BPH＝∠PBC。又∵四邊形ABCD為正方形，∴AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC。∴∠APB＝∠BPH。〔2分〕2〕證明：過B作BQ⊥PH，垂足為Q，由1〕知，∠APB＝∠BPH，又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP，∴△ABP△QBP，∴AP＝QP，BA＝BQ。又∵AB＝BC，∴BC＝BQ。又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，∴△BCH△BQH，∴CH＝QH，∴AP＋HC＝PH?！?分〕〔3〕由〔2〕知，AP＝PQ＝1，∴PD＝3。設(shè)QH＝HC＝x，那么DH＝4x。在Rt△PDH中，PD2DH2PH2，即x12324x2，解得x2.4，∴PH＝3.4〔6分〕8、〔6分〕如圖，在△ABC中，AC＞AB，D點(diǎn)在AC上，AB＝CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF并延伸，與BA的延伸線交于點(diǎn)G，假定∠EFC＝60°，聯(lián)絡(luò)GD，判斷△AGD的形狀并證明。5〔也可問∠ADG的度數(shù)。〕判斷：△AGD是直角三角形。證明：如圖聯(lián)絡(luò)BD，取BD的中點(diǎn)H，聯(lián)絡(luò)HF、HE，∵F是AD的中點(diǎn)，

HFABHF1AB，∴∠1＝∠3。//,2同理，HE//CD，HE＝1CD，∴∠2＝∠EFC。2AB＝CD，∴HF＝HE，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠EFC?！摺螮FC＝60°，∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°，∴△AGF是等邊三角形。

∴AF＝FGAF＝FD，∴GF＝FD，∴∠FGD＝∠FDG＝30°，∴∠AGD＝90°，即△AGD是〔特殊〕直角三角形。6〔GE=BG-BE，GH是直角三角形的斜邊，這樣證全等。〕、閱讀以下材料：小明碰到一個(gè)問題：AD是△ABC的中線，點(diǎn)M為BC邊上隨意一點(diǎn)〔不與點(diǎn)D重合〕，過點(diǎn)M作一直線，使其平分△ABC的面積．他的做法是：如圖1，連結(jié)AM，過點(diǎn)D作DN//AM交AC于點(diǎn)N，作直線MN，直線MN即為所求直線．7ANBMDC圖1請(qǐng)你參照小明的做法，解決以下問題：1〕如圖2，在四邊形ABCD中，AE平分ABCD的面積，M為CD邊上一點(diǎn)，過M作一直線MN，使其平分四邊形ABCD的面積〔要求：在圖2中畫出直線MN，并保留作圖印跡〕；〔2〕如圖3，求作過點(diǎn)A的直線AE，使其平分四邊形ABCD的面積〔要求：在圖3中畫出直線AE，并保留作圖印跡〕．A

DBCDACMEB圖2圖3〔第二問，把△ABC的面積接到DC的延伸線上。〕11、：四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在CD邊上，點(diǎn)F在AD邊上，且〔1〕如圖1，判斷AE與BF有怎樣的地點(diǎn)關(guān)系？寫出你的結(jié)果，并加以證明；

AF＝DE．2〕如圖2，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O．BD、AC分別與AE、BF交于點(diǎn)G，點(diǎn)H．①求證：OG＝OH；②連結(jié)OP，假定AP＝4，OP＝2，求AB的長(zhǎng)．EEDCDCGFFOP

PHABAB圖2圖1【第二問①，證△AOG≌△BHO，第二問②，〔在OB上截取BQ=AP，那么△APO≌△BQO，得OP=OQ，AP=BQ，也可得∠OPG=∠OQP，又∠EPB=90°，最終得△OPQ是等腰直角三角形，可得PQ=2，進(jìn)而求得PB=6，在Rt△APB中由勾股定理得的值。2倍根號(hào)13.〕】12、：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=a，BC=b，ADDC=ab，且ba，點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn)．〔1〕求證：CM⊥DM；M〔2〕求點(diǎn)M到CD邊的距離．〔用含a，b的式子表示〕BC8〔我認(rèn)為答案的思路不是最好。本題還有這樣的思路：過M做BC的平行線，交DC于Q，那么可證MQ=DQ=CQ，MD平分∠ADC，MC平分∠BCD，及∠DMC=90°，；M到CD的距離也就是Rt△DMC斜邊的高M(jìn)N，MN的平方=DN乘以NC=AD乘以BC=ab，〕證明：〔1〕延伸DM，CB交于點(diǎn)E．〔如圖3〕∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADM=∠BEM．∵點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn)，AD∴AM=BM．在△ADM與△BEM中，MADM=∠BEM，∠AMD=∠BME，EBCAM=BM，圖3∴△ADM≌△BEM．∴AD=BE=a，DM=EM．∴CE=CB+BE=ba．∵CD=ab，∴CE=CD．∴CM⊥DM．解：〔2〕分別作MN⊥DC，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)N，F(xiàn)．〔如圖4〕∵CE=CD，DM=EM，∴CM平分∠ECD．ADN∵∠ABC=90°，即MB⊥BC，∴MN=MB．M∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠A=90°．∵∠DFB=90°，∴四邊形ABFD為矩形．EC∴BF=AD=a，AB=DF．∴FC=BC－BF=ba．BF∵Rt△DFC中，∠DFC=90°，圖4∴DF2DC2FC2=(ab)2(ba)2=4ab．∴DF=2ab．∴MN=MB=1AB=1DF=ab．22即點(diǎn)M到CD邊的距離為ab．13、：如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為〔6，0〕，〔0，2〕．點(diǎn)D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔點(diǎn)D與點(diǎn)B，C不重合〕，過點(diǎn)D作直線y＝－1x＋b交折線O－A－B于點(diǎn)E．2〔1〕在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，假定△ODE的面積為S，求S與b的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；〔2〕如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，矩形OABC對(duì)于直線DE對(duì)稱的圖形為矩形O′A′B′，C′B′分別交CB，OA于點(diǎn)D，M，O′A′分別交CB，OA于點(diǎn)N，E．探究四邊形DMEN各邊之間的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)你的結(jié)論加以證明；〔3〕問題〔2〕中的四邊形DMEN中，ME的長(zhǎng)為____________．yyO'C'CDNBCBAOMEA'xAOxB'圖2圖19本題難度對(duì)于初二學(xué)生相當(dāng)于25題。OED=∠OED〔對(duì)稱性質(zhì)〕，得菱形。【好好學(xué)習(xí)第一問的解題方法，第二問由兩組平行可得平行四邊形，∠1第三問，E在OA上時(shí)，DE的長(zhǎng)度不變，為2倍根號(hào)5，〔延x軸平移△DME使D與C重合，設(shè)DM=EM=x，代數(shù)法用勾股定理可求得ME的值。】解：〔1〕∵矩形OABC中，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為(6,0)，(0,2)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,2)．y假定直線y1xb經(jīng)過點(diǎn)C(0,2)，那么b2；2假定直線y1xb經(jīng)過點(diǎn)A(6,0)，那么b3；2假定直線y1xb經(jīng)過點(diǎn)B(6,2)，那么b5．2

DCBAOEx圖6①當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，即2b3時(shí)，〔如圖6〕∵點(diǎn)E在直線y1xb上，2當(dāng)y0時(shí)，x2b，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2b,0)．∴S12b22b．2②當(dāng)點(diǎn)E在線段BA上時(shí)，即3b5時(shí)，〔如圖7〕∵點(diǎn)D，E在直線y1b上，x2當(dāng)y2時(shí)，x2b4；當(dāng)x6時(shí)，yb3，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2b4,2)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(6,b3)．S矩形SSS∴SOABCCODOAEDBE621(2b4)21(b3)61[6(2b4)][2(b3)]2222b(b3),綜上可得：S2b25b(3b5).2〕DM=ME=EN=ND．證明：如圖8．∵四邊形OABC和四邊形O′A′B′是C矩′形，∴CB∥OA，C′B′∥O′A′，即DN∥ME，DM∥NE．∴四邊形DMEN是平行四邊形，且∠NDE=∠DEM．∵矩形OABC對(duì)于直線DE對(duì)稱的圖形為矩形O′A′B′，C′∴∠DEM=∠DEN．∴∠NDE=∠DEN．ND=NE．∴四邊形DMEN是菱形．DM=ME=EN=ND．-〔3〕答：?jiǎn)栴}〔2〕中的四邊形DMEN中，ME的長(zhǎng)為2.5．

yCDBEOAx圖7b25b．yO'C'CDNBAOMEA'xB'圖810、探究問題1：如圖1，三角形ABC中，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，AE，BF交于點(diǎn)M，連結(jié)DE，DF．假定DE=kDF，那么k的值為_____．AAAFFDDDFMMMBCCECBBEE圖1圖2圖3拓展問題2：如圖2，三角形且ABC中，CB=CA，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M在三角形ABC的內(nèi)部，∠MAC=∠MBC，過點(diǎn)M分別作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)DE，DF．求證：DE=DF．推廣2中的條件“CB=CA〞變?yōu)椤癈B≠CA〞，其他條件不變DE與DF問題3如圖3，假定將上面問題，試探究之．．．．．．間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論〔第三問，取BM和AM的中點(diǎn)，結(jié)構(gòu)全等三角形，問題1k的值為1．--問題2證明：如圖9．∵CB=CA，∴∠CAB=∠CBA．∵∠MAC=∠MBC，∴∠CAB－∠MAC=∠CBA－∠MBC，即∠MAB=∠MBA．∴MA=MB．∵M(jìn)E⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，∴∠AFM=∠BEM=90°．在△AFM與△BEM中，AFM=∠BEM，MAF=∠MBE，MA=MB，∴△AFM≌△BEM．∴AF=BE．∵點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，∴BD=AD．在△BDE與△ADF中，BD=AD，DBE=∠DAF，BE=AF，

〕122某區(qū)的模擬題與此高度相像，AFDMBCE圖9∴△BDE≌△ADF．∴DE=DF．問題3解：DE=DF．證明：分別取AM，BM的中點(diǎn)G，H，連結(jié)DG，F(xiàn)G，DH，EH．〔如圖10〕∵點(diǎn)D，G，H分別是AB，AM，BM的中點(diǎn)，11DG∥BM，DH∥AM，且DG=1BM，DH=1AM．22∴四邊形DHMG是平行四邊形．∴∠DHM=∠DGM，∵M(jìn)E⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，∴∠AFM=∠BEM=90°．∴FG=1AM=AG，EH=1BM=BH．∴FG=DH，DG=EH，-A22GF∠GAF=∠GFA，∠HBE=∠HEB．∴∠DMFGM=2∠FAM，∠EHM=2∠EBM．∵∠BHCFAM=∠EBM，∴∠FGM=∠EHM．E圖10∴∠DGM+∠FGM=∠DHM+∠EHM，即∠DGF=∠DHE．在△EHD與△DGF中，EH=DG，∠EHD=∠DGF，HD=GF，∴△EHD≌△DGF．∴DE=DF．16、如圖①，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)G是BC上隨意一點(diǎn)，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF⊥AG于點(diǎn)F。〔1〕求證：DE－BF＝EF；〔2〕假定點(diǎn)G為CB延伸線上一點(diǎn)，其余條件不變．請(qǐng)你在圖②中畫出圖形，寫出此時(shí)DE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系〔不需要證明〕；〔3〕假定AB=2a，點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn)時(shí)，試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系，并經(jīng)過計(jì)算來考證你的結(jié)論。第一問，證全等即可得AE=BF，AF=DE。第三問，各三角形相像，兩直角邊的比是1:2，所以可得AE=BF=EF=2FG。解：〔1〕證明：∵四邊形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG12DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°∴∠BAF=∠ADE，∴△ABF≌△DAEBF=AE，AF=DE；∴DE-BF=AF-AE=EF2〕如圖②，DE+BF=EF3〕EF=2FG過程：∵AB=2a，點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn)，∴BG=a由勾股定理可求AG5a又∵AB⊥BC，BF⊥AC，∴由等積法可求BF25a5由勾股定理可求AEBF

FG5a，AF45a552525a,EFa，∴EF=2FG。5517、如圖，在線段AE的同側(cè)作正方形ABCD和正方形BEFG〔BE<AB〕，連結(jié)EG并延伸交DC于點(diǎn)M，作MN⊥AB，垂足為點(diǎn)N，MN交BD于點(diǎn)P，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1?！?〕證明：四邊形MPBG是平行四邊形；〔2〕設(shè)BE=x，四邊形MNBG的面積為y，求y對(duì)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；〔3〕如果按題設(shè)作出的四邊形MPBG是菱形，求BE的長(zhǎng)?！矆D中的三角形多是等腰直角三角形，〕證明：〔1〕∵ABCD、BEFG是正方形∴∠CBA=∠FEB=90°，∠ABD=∠BEG=45°，∴DB∥ME。∵M(jìn)N⊥AB，CB⊥AB，∴MN∥CB。∴四邊形MPBG是平行四邊形；〔2〕∵正方形BEFG，∴BG=BE=x?！摺螩MG=∠BEG=45°，∴CG=CM=BN=1－x。∴y=1〔GB+MN〕·BN=1〔1+x〕〔1－x〕=1－1x2，〔0<x<1〕；2222〔3〕由四邊形BGMP是菱形，那么有BG=MG，即x=2〔1－x〕。解得x=2－2，∴BE=2－2。18、將一張直角三角形紙片ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，這時(shí)DE為折痕，△CBE為等腰三角形；再持續(xù)將紙片沿△CBE的對(duì)稱軸EF折疊，這時(shí)獲得了兩個(gè)完全重合的矩形〔其中一個(gè)是原直角三角形的內(nèi)接矩形，另一個(gè)是拼合成的無空隙、無重疊的矩形〕，我們稱這樣兩個(gè)矩形為“疊加矩形〞．請(qǐng)達(dá)成以下問題：131〕如圖②，正方形網(wǎng)格中的△ABC能折疊成“疊加矩形〞嗎？如果能，請(qǐng)?jiān)趫D②中畫出折痕；2〕如圖③，在正方形網(wǎng)格中，以給定的BC為一邊，畫出一個(gè)斜△ABC，使其極點(diǎn)A在格點(diǎn)上，且△ABC折成的“疊加矩形〞為正方形；〔3〕如果一個(gè)三角形所折成的“疊加矩形〞為正方形，那么它必須知足的條件是．解：〔1〕A??????????????????2分BC〔說明：只要畫出折痕．〕〔2〕ABC〔說明：只要畫出知足條件的一個(gè)三角形；答案不惟一，所畫三角形的一邊長(zhǎng)與該邊上的高相等即可．〔3〕三角形的一邊長(zhǎng)與該邊上的高相等F19、考考你的推理與論證〔本題6分〕如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延伸線于F，且AFBD，連結(jié)BF．〔1〕求證：D是BC的中點(diǎn)；B〔2〕如果ABAC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論．難度一般

〕AEDC解〔1〕證明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE.E是AD的中點(diǎn)，∴AE=DE．∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC．∴AF=DC.AF=BD，∴BD=CD.，∴D是BC的中點(diǎn)．〔2〕四邊形AFBD是矩形，AB=AC，D是BC的中點(diǎn),AD⊥BC，即∠ADB=90°

F

AE∵AF=BD，AF∥BC，∴四邊形AFBD是矩形．

BDC20、拓廣與探索〔本題7分〕如圖〔1〕，Rt△ABC中，∠ACB=90°，中線BE、CD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F、G分別是OB、OC的中點(diǎn).14〔1〕求證：四邊形DFGE是平行四邊形；〔2〕如果把Rt△ABC變?yōu)殡S意△ABC，如圖〔2〕，經(jīng)過你的察看，第〔1〕問的結(jié)論是否仍舊建立？〔不用證明〕；〔3〕在圖〔2〕中，試想：如果拖動(dòng)點(diǎn)A，經(jīng)過你的察看和探究，在什么條件下？四邊形DFGE是矩形，并給出證明；4〕在第〔3〕問中，試想：如果拖動(dòng)點(diǎn)A，是否存在四邊形DFGE是正方形或菱形？如果存在，畫出相應(yīng)的圖形〔不用證明〕．〔圖1〕〔圖2〕〔第三問，AB=AC時(shí)。第四問，AB=AC，且底邊上的高是BC的3/2倍時(shí)是正方形。保持這種高與邊的比，可是，AB≠AC時(shí)是菱形?！?1、如圖，點(diǎn)A〔0，4〕，點(diǎn)B(3,0)，點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PMy軸于點(diǎn)M，作PNx軸于點(diǎn)N，連結(jié)MN，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么地點(diǎn)時(shí)，MN的值最?。孔钚≈凳嵌嗌?？求出此時(shí)PN的長(zhǎng).yAMPONBxMN=OP，所以O(shè)P⊥AB時(shí)，MN也就是OP最小，OP=12/5.〕ABCDAD∥BC，AB=AD=DC=，°，于點(diǎn)，初三相像形22、如圖，在梯形中，460AEBDECF是CD的中點(diǎn)，連結(jié)EF．〔1〕求證：四邊形AEFD是平行四邊形；〔2〕點(diǎn)G是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)G在什么地點(diǎn)時(shí)，四邊形DEGF是矩形？并求出這個(gè)矩形的周長(zhǎng)；〔3〕在BC邊上可否找到此外一點(diǎn)G，使四邊形DEGF的周長(zhǎng)與〔2〕中矩形DEGF的周長(zhǎng)相等？請(qǐng)簡(jiǎn)述你的理由.15AEB〔第二問，點(diǎn)G為BC中點(diǎn)時(shí)，也是AE的延伸線與BC的交點(diǎn)。第三問，能找到。以下方做△GEF≌△GFE，G在BC上，可是不與G重合，〕1190oABCDABCDBCD，且AB1BC2CD23、(9分)在梯形中，∥，，，和BD相交于點(diǎn)O，等腰直角三角板的直角極點(diǎn)落在梯形的極點(diǎn)C上，使三角板繞點(diǎn)C〔1〕如圖9-1，當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E落在BC邊上時(shí)，線段DE與BF的地點(diǎn)關(guān)系是是；

DFCEF為一邊在EF的2ABAC。對(duì)角線旋轉(zhuǎn)。，數(shù)量關(guān)系〔2〕持續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，旋轉(zhuǎn)角為，請(qǐng)你在圖9-2中畫出圖形，并判斷〔1〕中結(jié)論還建立嗎？如果成立請(qǐng)加以證明；如果不建立，請(qǐng)說明原因；＃【】〔3〕如圖9-3，當(dāng)三角板的一邊CF與梯形對(duì)角線AC重合時(shí)，EF與CD相交于點(diǎn)P，假定OF5，6求PE的長(zhǎng)。ABABABOOFOEPDCFDCDCE圖9-1圖9-2圖9-3〔第三問，證明兩次相像，推導(dǎo)比率關(guān)系。〕多看看解：〔1〕垂直，相等；?????2分〔2〕繪圖如圖〔答案不唯一〕ABAB1O

OF45E32a2PD1CDMC3FE〔1〕中結(jié)論仍建立。證明如下：過A作AMDC于M，那么四邊形ABCM為矩形。∴AM=BC=2，MC=AB=1。CD2AB，∴DM1?！郉C=BC。2∵2CEF是等腰直角三角形,ECF90o，CECF.16BCDECF90o，DCEBCFDCBCDCEBCFCECFDCEBCF，DEBF,12。又34，5BCD90DEBF，線段DE和BF相等并且互相垂直。〔3〕AB∥CD，AOB∽COD，ABOAOB.OAOB1CDOCODAB1,CD2,，.OCOD2在RtABC中,ACAB2BC2145.OA522。同理可求得OB。33ABOF2PD31CEOF5，AFOA5ACOF。6522CECF。290o,45o。BCCD,BCDOBC由〔2〕知DCEBCF，12。又3OBC45o，CPE∽COB。PECE.PE5102。PE。OBBC22263初三相像形24、(9分)將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O(0，0)，A(6，0)，C(0，3)。動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿OC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以相等的速度沿3AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)。當(dāng)其中一點(diǎn)抵達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t〔秒〕。1〕用含t的代數(shù)式表示OP，OQ；2〕當(dāng)t1時(shí)，如圖10-1，將△OPQ沿PQ翻折，點(diǎn)O恰巧落在CB邊上的點(diǎn)D處，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；3〕連結(jié)AC，將△OPQ沿PQ翻折，獲得直？假定能，求出相應(yīng)的t值；假定不能，說明原因。

△EPQ，如圖10-2。問：PQ與AC可否平行？PE與AC可否垂17解：〔1〕OP6t，OQt2。3〔2〕當(dāng)t1時(shí)，過D點(diǎn)作DD1OA，交OA于D1，如圖1，?????3分那么DQQO5，QC4，CD1，D(13)，。33〔3〕①PQ能與AC平行。假定PQ∥AC，如圖2，那么OPOA，即6t6，OQOCt23314，而0≤t≤7，t14。t939②PE不能與AC垂直。假定PEAC，延伸QE交OA于F，如圖3，t2那么QFOQQF3。QF5t2ACOC3533EFQFQEQFOQ5t2t3

。2(51)t2(51)。??7分33又Rt△EPF∽R(shí)t△OCA，PEOC6t3，tEFOA(51)26t3

。而0≤t≤73

，∴t不存在。25、銳角△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC邊上，DE⊥AB于E，延A長(zhǎng)ED交BC的延伸線于點(diǎn)F.(1)當(dāng)∠A=40°時(shí)，求∠F的度數(shù)；E(2)設(shè)∠F為x度,∠FDC為y度,試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.DB第二問，∠B+x=90°，x+y=∠B，所以y=90°-2x。解〔1〕∵AB=AC，∴BACB..

CF18∵∠A=40°，∴B70.∵DE⊥AB，∴BEF90.∴F20.〔2〕∵BC，∴A1802B.∴FDCADE90A90(1802B)902B.在△BEF中，∵BEF90，∴B90F...∴FDC901802F902F.y2x90.26、如圖1，正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連結(jié)AE、GC．1〕試猜測(cè)AE與GC有怎樣的數(shù)量關(guān)系；2〕將正方形DEFG繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在BC邊上，如圖2，連結(jié)AE和GC.你認(rèn)為(1)中的結(jié)論是否還建立？假定建立，給出證明；假定不建立，請(qǐng)說明原因；〔3〕在〔2〕的條件下，求證：AE⊥GC．〔友情提示：旋轉(zhuǎn)后的幾何圖形與原圖形全等〕延伸相交可證得垂直，解：〔1〕猜測(cè)：AE=GC2〕答：AE=CG建立.證明：∵四邊形ABCD與DEFG都是正方形，∴AD=DC，DE=DG，ADC==EDG=90.

AEDBCF1+3=2+3=90.∴1=2.，∴△ADE△CDG.，∴AE=CG.DA5〔3〕延伸AE，GC相交于H，由〔2〕可知15=4.326又∵56=90，47=180DCE=90，G∴6=7.B74ECH又∵6AEB=90，∴AEB=CEH..FCEH7=90.EHC=90.，∴AEGC.?27、如下列圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A＝90°，AB＝12，BC＝21，AD=16。動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC的方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AD上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)抵達(dá)端點(diǎn)時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t〔秒〕?！?〕當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQDC的面積是梯形ABCD的面積的一半；2〕四邊形請(qǐng)說明原因．3〕四邊形

PQDCPQDC

能為平行四邊形嗎？如果能，求出t的值；如果不能，能為等腰梯形嗎？如果能，求出t的值；如果不能，請(qǐng)說明原因．19〔第一問，t=37/6，第二問，t=5，第三問，不能，∠QPC大于90°，不能等于∠DCP，；本題擴(kuò)展：如果延DA、CB方向移動(dòng)，那么能夠出現(xiàn)等腰梯形?！?8、〔12分〕如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是BM、CM的中點(diǎn)．1〕在不增添線段的前提下，圖中有哪幾對(duì)全等三角形？請(qǐng)直接寫出結(jié)論；

MAD2〕判斷并證明四邊形MENF是何種特殊的四邊形？3〕當(dāng)?shù)妊菪蜛BCD的高h(yuǎn)與底邊BC知足怎樣的數(shù)量關(guān)系

EFBNC時(shí)？四邊形是正方形〔直接寫出結(jié)論，不需要證明〕．MENF兩對(duì)；菱形；一半。39、E是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分別是F、G.求證：AEFG.簡(jiǎn)單題：連結(jié)CE，那么CE=FG，再證全等即可。證明：連結(jié)CE∵四邊形ABCD為正方形AB＝BC，