【課件】6.1平面向量的概念高一下學(xué)期人教A版2019必修第二冊課件

第六章平面向量及其應(yīng)用6.1平面向量的概念必備知識·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.什么是向量?如何表示向量?2.有哪些特殊向量?3.什么是相等向量、平行向量?1.向量與數(shù)量的概念(1)既有大小又有_____的量叫做向量.(2)只有大小沒有_____的量叫做數(shù)量.2.有向線段(1)定義:具有_____的線段叫做有向線段.(2)表示方法:以A為起點、B為終點的有向線段記作.(3)長度:線段AB的長度也叫做有向線段的長度,記作_____.(4)三個要素:_____、方向、長度.方向方向方向起點【思考】向量與有向線段的聯(lián)系和區(qū)別是什么?提示:(1)有向線段是表示向量的一種圖形.(2)向量只有大小和方向兩個要素,與起點無關(guān),只要大小和方向相同,這兩個向量就是相同的向量.(3)有向線段有起點、長度和方向三個要素,起點不同,盡管長度和方向相同,也是不同的有向線段.3.向量的表示方法(1)用有向線段表示:用有向線段表示的向量記作____.有向線段的長度||表示向量的_____,有向線段的方向表示向量的_____.(2)字母表示法:在印刷時,用黑體小寫字母a,b,c,…表示向量,手寫時,可寫成帶箭頭的小寫字母….大小方向4.向量的模及兩個特殊向量(1)向量的模:向量的大小稱為向量的長度(或稱模),記作______.(2)零向量:長度為___的向量叫做零向量,記作__.(3)單位向量:長度等于__個單位長度的向量,叫做單位向量.零01【思考】0與0相同嗎?0是不是沒有方向?提示:0與0不同,0是一個實數(shù),0是一個向量,且|0|=0.0有方向,其方向是任意的.5.相等向量(1)定義:長度_____且方向_____的向量叫做相等向量.(2)表示方法:向量a與b相等,記作____.相等相同a=b6.平行向量(或共線向量)(1)定義和表示方法定義方向_____或_____的非零向量叫做平行向量.規(guī)定:_______與任意向量平行.任一組平行向量都可以平移到同一條直線上,因此,平行向量也叫做_____向量.表示方法向量a與b平行,記作_____對于任意向量a,都有0∥a.相同相反零向量共線a∥b(2)本質(zhì):平行向量反映的是兩個向量的方向關(guān)系,表示兩個共線向量的有向線段所在直線可以平行,也可以重合.(3)應(yīng)用:①證明直線與直線平行;②證明三點共線.【思考】“向量平行”與“幾何中的平行”一樣嗎?提示:向量平行與幾何中的直線平行不同,向量平行包括所在直線重合的情況,故也稱向量共線.【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)兩個向量能比較大小. (

)(2)任意兩個單位向量都相等. (

)(3)向量與向量是相等向量. (

)(4)若則A,B,C,D四點是平行四邊形的四個頂點. (

)××××提示:(1)×.兩個向量不能比較大小.(2)×.任意兩個單位向量只是長度相等,方向不一定相同,故不一定相等.(3)×.向量與向量方向相反,不是相等向量.(4)×.若則A,B,C,D也可能落在同一條直線上.2.下列物理量:①質(zhì)量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度.其中不是向量的有 (

)

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【解析】②③④⑤既有大小,又有方向,是向量;①⑥⑦只有大小,沒有方向,不是向量.C3.(例題改編)如圖所示,四邊形ABCD和BCEF都是平行四邊形.

(1)寫出與相等的向量:

;

(2)寫出與共線的向量:

.

答案:(1)關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一向量的概念、零向量與單位向量(數(shù)學(xué)抽象)例1.(1)下列說法中正確的是 (

)A.0與0表示的含義相同B.長度為0的向量都是零向量C.單位向量的模等于1cmD.單位向量的方向都相同B(2).判斷下列說法是否正確.(1)有向線段與表示同一向量;(2)若a是單位向量,b也是單位向量,則a與b的方向相同或相反;(3)若向量是單位向量,則也是單位向量;(4)以坐標(biāo)平面上的定點A為起點,所有單位向量的終點P的集合是以A為圓心的單位圓.【解析】1.0與0表示的含義是不同的.0表示數(shù)量,但0表示零向量,其中|0|=0.因此A錯誤;由零向量的定義知B正確;單位向量的模等于1個單位長度,而不是具體的1cm,因此C錯誤;單位向量的方向要因具體情況而定,因此D錯誤.2.(1)錯誤.有向線段與的方向相反,不表示同一向量,因此說法(1)錯誤;(2)錯誤.由單位向量的定義知,凡長度為1的向量均稱為單位向量,但是對方向沒有任何要求,因此說法(2)錯誤;(3)正確.因為||=||,所以當(dāng)是單位向量時,也是單位向量.因此說法(3)正確.(4)正確.由于向量||=1,所以點P是以點A為圓心的單位圓上的一點.【解題策略】1.判斷一個量是否為向量的兩個關(guān)鍵條件(1)有大小.(2)有方向.兩個條件缺一不可.2.理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問題(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.(2)單位向量不一定相等,易忽略向量的方向.提醒:兩個單位向量的模相等,但這兩個單位向量不一定相等.【變式訓(xùn)練】給出下列說法:①零向量是沒有方向的;②零向量的長度為0;③零向量的方向是任意的;④單位向量的模都相等.其中正確的是

(填序號).

②③④【解析】由零向量的方向是任意的,知①錯誤,③正確;由零向量的定義知②正確;由單位向量的模是1,知④正確.類型二相等向量與共線向量(數(shù)學(xué)抽象)角度1概念辨析

例2

有下列說法:①若a≠b,則a一定不與b共線;②在?ABCD中,一定有③若a=b,b=c,則a=c;④共線向量是在一條直線上的向量.其中,正確的說法是

.(填序號)

②③【思路導(dǎo)引】依據(jù)相等向量和共線向量的定義逐個判斷.要特別注意向量共線與平面幾何中多點共線的區(qū)別.【解析】對于①,兩個向量不相等,可能是長度不相等,但方向相同或相反,所以a與b有共線的可能,故①不正確;對于②,在?ABCD中,

平行且方向相同,所以,故②正確;對于③,a=b,則|a|=|b|,且a與b方向相同;b=c,則|b|=|c|,且b與c方向相同,所以a與c方向相同且模相等,故a=c,故③正確;對于④,共線向量可以是在一條直線上的向量,也可以是所在直線互相平行的向量,故④不正確.答案:②③【變式探究】將本例③改為若a∥b,b∥c,則a∥c.判斷此說法是否正確.【解析】因為當(dāng)b=0時,a,c可以是任意向量,故a,c不一定平行;只有當(dāng)b≠0時,才有a∥b,b∥c,則a∥c.角度2寫出相等向量或平行向量

例3

如圖所示,O為正方形ABCD對角線的交點,四邊形OAED,OCFB都是正方形.在圖中所示的向量中:(1)分別寫出與,相等的向量;(2)寫出與共線的向量.【思路導(dǎo)引】(1)找與(或)長度相等且方向相同的向量;(2)找與方向相同或相反的向量.【解析】(1)因為的方向相同,所以與相等的向量是同理,與相等的向量是(2)因為AO∥DE∥BF,A,O,C三點共線,所以與共線的向量是【解題策略】1.相等向量的判斷方法先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量,再確定哪些是同向的.2.共線向量的判斷方法先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段,再構(gòu)造同向或反向的向量.3.共線向量與相等向量的關(guān)系相等向量一定是共線向量,但共線向量不一定是相等向量.若兩向量相等,則兩向量方向相同,模相等;若兩向量共線,則兩向量方向相同或相反.【題組訓(xùn)練】1.給出以下5個條件:①a=b;②|a|=|b|;③a與b的方向相反;④|a|=0或|b|=0;⑤a與b都是單位向量.其中能使a∥b成立的是

.(填序號)

【解析】相等向量一定是共線向量,①能使a∥b;方向相同或相反的向量一定是共線向量,③能使a∥b;零向量與任一向量平行,④成立.答案:①③④2.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,四邊形ABDE是矩形.

(1)找出與相等的向量.(2)找出與共線的向量.【解析】(1)由四邊形ABCD是平行四邊形,四邊形ABDE是矩形知,與的長度相等且方向相同,所以與相等的向量為.(2)由題干圖可知,與方向相同,與方向相反,所以與共線的向量有【變式訓(xùn)練】1.下列說法中,正確的序號是

.

①零向量都相等;②任一向量與它的平行向量不相等;③若④共線的向量,若始點不同,則終點一定不同.①③【解析】因為零向量的長度都為零,且其方向任意,所以零向量相等,所以①正確;因為平行向量的方向可以相同且大小也可以相等,所以任一向量與它的平行向量可能相等,所以②錯誤;由方向相同,模相等,可推出方向相同,模相等,即,所以③正確;由共線向量的定義可知:共線的向量,始點不同,終點可能相同,所以④不正確.2.如圖,以1×2方格紙中的格點(各線段的交點)為起點和終點的向量中:(1)寫出與相等的向量;(2)寫出與模相等的向量.【解析】(1)與相等的向量為相等的向量為.(2)與模相等的向量為類型三向量的表示與應(yīng)用(直觀想象)例4

1.若則四邊形ABCD的形狀為

.

2.一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了100km到達(dá)B點,然后改變方向向北偏西40°行駛了200km到達(dá)C點,最后又改變方向,向東行駛了100km到達(dá)D點.(1)作出向量(2)求||.【思路導(dǎo)引】1.判斷直線AB與直線CD的位置關(guān)系、線段AB與線段CD的長度關(guān)系,即可判斷四邊形ABCD的形狀.2.(1)根據(jù)題意作出向量即可.(2)先證四邊形ABCD為平行四邊形,再求||.【解析】1.由題意知四邊形ABCD的一組對邊BA∥CD,BA≠CD,故四邊形為梯形.答案:梯形2.(1)向量如圖所示:

(2)由題意,易知方向相反,故共線,又所以在四邊形ABCD中,AB∥CD,AB=CD.所以四邊形ABCD為平行四邊形.所以【解題策略】1.準(zhǔn)確畫出向量的方法和注意事項(1)方法①確定向量的起點.②根據(jù)運動方向確定向量的方向,并根據(jù)向量的大小確定向量的終點.(2)注意事項用有向線段來表示向量是向量的幾何表示,必須確定起點、長度和終點,三者缺一不可.2.向量的常見應(yīng)用(1)相等向量的應(yīng)用利用向量的相等,可以證明線段相等或直線平行,但在證明直線平行時需說明兩向量所在的直線無公共點.(2)平行向量的應(yīng)用用平行向量可以證明直線平行和三點共線,證明直線平行時需說明兩向量所在的直線無公共點.【跟蹤訓(xùn)練】如圖所示,在四邊形ABCD中,,N,M分別是AD,BC上的點,且求證:【證明】因為且AB∥CD,所以四邊形ABCD是平行四邊形.所以且DA∥CB.又因為的方向相同,所以同理可證四邊形CNAM是平行四邊形,所以因為所以,DN∥MB,即的模相等且方向相同,所以【變式訓(xùn)練】如圖所示的方格由若干個邊長為1的小正方形并在一起組成,方格中有定點A,點C為小正方形的頂點,且畫出所有的向量.【解析】畫出所有的向量,如圖:平面向量的概念1.向量及向量的有關(guān)概念、表示方法.2.零向量：長度為0的向量。單位向量：長度等于1個單位長度的向量.3.平行向量（共線向量）和相等向量.1.尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向共線的向量．2.尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量．1.與起點無關(guān).用有向線段表示向量時,起點可以取任意位置.2.判斷一個量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個因素.3.向量與向量之間不能比較大小.4.零向量與任何向量都平行.1.數(shù)學(xué)抽象：平面向量的概念.2.邏輯推理：區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量.3.直觀想象：向量的幾何表示.核心知識方法總結(jié)核心素養(yǎng)易錯提醒課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.下列說法中正確的是 (

)A.若a≠b,則|a|≠|(zhì)b|B.模為0的向量的方向是不確定的C.向量就是有向線段D.任意兩個單位向量的方向相同【解析】選B.a與b方向不同但模相等時,a≠b,故A錯誤;模為0的向量為零向量,零向量的方向是不確定的,B正確;有向線段是向量的幾何表示,是個圖形,