2.4.2圓的一般方程課件-2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

2.4.2圓的一般方程復(fù)習(xí)：1.圓心為C(a,b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(x－a)2+(y－b)2=r2

當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(a=b=0)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2+y2=r22.由于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有a,b,r

三個參數(shù)，因此必須具備三個獨(dú)立的條件才能確定圓；對于由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)和圓的半徑或需利用圓心坐標(biāo)列方程的問題一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.注意圓的平面幾何知識的運(yùn)用.思考我們知道,方程(x-1)2+(y-2)2=4表示以(1,-2)為圓心,2為半徑的圓.可以將此方程變形為x2+y2-2x+4y+1=0.

一般地,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2可以變形為

x2+y2+Dx+Ey+F=0(2)的形式.反過來,形如(2)的方程一定能通過恒等變形變?yōu)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎?例如,對于方程x2+y2-2x-4y+6=0,對其進(jìn)行配方,得(x-1)2+(y-2)2=-1,因?yàn)槿我庖粋€點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都不滿足這個方程,所以這個方程不表示任何圖形.所以,形如(2)的方程不一定能通過恒等變形變?yōu)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程.這表明,形如(2)的方程不一定是圓的方程.將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的左邊配方,并把常數(shù)項(xiàng)移到右邊,得探究方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的D,E,F滿足什么條件時,這個方程表示圓?因此,當(dāng)

時,方程①表示一個圓,我們把方程①叫做圓的一般方程.注意：任何一個圓的方程都可以寫成：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)在于它明確地指出了圓心和半徑.圓的一般方程突出了方程形式上的特點(diǎn)，是一個關(guān)于x,y的二元二次方程,其特點(diǎn)是缺少xy項(xiàng),x2,y2項(xiàng)的系數(shù)相等且不為零.思考圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程各有什么特點(diǎn)?解：(1)圓心坐標(biāo)為(3,0),半徑長為3；(2)圓心坐標(biāo)為(0,-b),半徑長為|b|；1.求下列各圓的圓心坐標(biāo)和半徑:課本P88解：(1)方程表示一個點(diǎn)(0,0)；(2)方程表示圓心坐標(biāo)為(1,-2),半徑長為1的圓；2.判斷下列方程分別表示什么圖形，并說明理由:課本P88解1：(待定系數(shù)法)設(shè)過O,M1,M2的圓方程為則∴過O,M1,M2的圓方程為例4求過三點(diǎn)O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圓的方程及圓的半徑和圓心坐標(biāo).求圓的方程常用待定系數(shù)法,其大致步驟是:

(1)根據(jù)題意,選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程;

(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或D,E,F的方程組;

(3)解出a,b,r或D,E,F,得到標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.解2：(待定系數(shù)法)設(shè)過O,M1,M2的圓方程為則∴過O,M1,M2的圓方程為解3：例4求過三點(diǎn)O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圓的方程及圓的半徑和圓心坐標(biāo).?l′?xO(0,0)yM1(1,1)??M2(4,2)l一般地，求圓的方程有兩種方法：(1)待定系數(shù)法：即設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程，根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或D,E,F的方程組，求系數(shù).(2)幾何分析法：即利用平面幾何中的有關(guān)性質(zhì)求解.常用的性質(zhì)是圓的弦的垂直平分線必過圓心.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓的一般方程：

利用待定系數(shù)法求圓的方程，對于由已知條件容易求出圓心坐標(biāo)或需用圓心坐標(biāo)列方程的問題，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，否則用圓的一般方程.求圓的方程的方法：例5已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動,求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.?xOyA??B(4,3)?M134注意：點(diǎn)M的軌跡方程是指點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y)滿足的關(guān)系式.軌跡是指點(diǎn)在運(yùn)動變化過程中形成的圖形.在解析幾何中,我們常常把圖形看作點(diǎn)的軌跡(集合).解1：(相關(guān)點(diǎn)代入法)【教材89頁·10】在平面直角坐標(biāo)系中,如果點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿足

證明:點(diǎn)P的軌跡是圓心為(a,

b),半徑為r的圓.證明：∴點(diǎn)P的軌跡是圓心為(a,

b),半徑為r的圓.方程特征：直接體現(xiàn)了圓上點(diǎn)的坐標(biāo)x,y的間接關(guān)系,體現(xiàn)了變元(改變變量形式)和換元思想.

圓心為(a,b),半徑為r

的圓

的參數(shù)方程為：圓的參數(shù)方程

特別地,圓心為(0,0),半徑為r

的圓

的參數(shù)方程為：例5已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動,求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.?xOyA??B(4,3)?M134解2：(參數(shù)法)設(shè)M(x,y),A(x0,y0).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)M的軌跡參數(shù)方程為：消參數(shù)得∵點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上,3.如圖,在四邊形ABCD中,AB=6,CD=3,且AB//CD,

AD=BC,AB與CD間的距離為3.求等腰梯形ABCD的外接圓的方程,并求這個圓的圓心坐標(biāo)和半徑.?ABDC-3xOy33課本P88【鞏固訓(xùn)練1】已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動,點(diǎn)M在直線AB上,且滿足求點(diǎn)M的軌跡方程.?xOyA??B(4,3)?M134解：【鞏固訓(xùn)練2】已知△ABC的邊AB長為4，若BC邊上的中線為定長3，求頂點(diǎn)C的軌跡方程．ABDC-2xOy2【鞏固訓(xùn)練3】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓，求：(1)實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)圓心坐標(biāo)和半徑．【鞏固訓(xùn)練4】求經(jīng)過點(diǎn)A(－2,－4)且與直線x＋3y－26＝0相切于點(diǎn)B(8,6)的圓的方程．解1：(1)x2

和y2

的系數(shù)相同且不為0，即A＝C≠0；(2)沒有xy

這樣的二次項(xiàng)，即B=0；(3)D2+E2－4AF>0.表示圓二元二次方程思考滿足什么條件時，二元二次方程表示圓.1.圓心為(a，b)，半徑為r

的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：方程特征：明確給出了圓的大小（半徑）和圓的位置（圓心）.---幾何特征

.2.圓的一般方程為：方程特征：突出了圓方程形式上的特點(diǎn).3.