【高三理科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)】第十一章-第9節(jié)-離散型隨機(jī)變量的均值與方差

第9節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差最新考綱1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念；2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題．知

識(shí)

梳

理1.離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpnXx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值稱E(X)＝____________________________為隨機(jī)變量X的均值或____________，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的____________.數(shù)學(xué)期望平均水平2.均值與方差的性質(zhì) (1)E(aX＋b)＝___________. (2)D(aX＋b)＝___________(a，b為常數(shù)).3.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差 (1)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝______，D(X)＝

___________. (2)若X～B(n，p)，則E(X)＝______，D(X)＝___________.平均偏離程度標(biāo)準(zhǔn)差aE(X)＋ba2D(X)pp(1－p)npnp(1－p)[微點(diǎn)提醒]基

礎(chǔ)

自

測(cè)1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)期望值就是算術(shù)平均數(shù)，與概率無(wú)關(guān).(

)(2)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量.(

)(3)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量平均程度越小.(

)(4)均值與方差都是從整體上刻畫(huà)離散型隨機(jī)變量的情況，因此它們是一回事.(

)解析均值即期望值刻畫(huà)了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，而方差刻畫(huà)了離散型隨機(jī)變量的取值偏離期望值的平均程度，因此它們不是一回事，故(1)(4)均不正確.答案

(1)×

(2)√

(3)√

(4)×2.(選修2－3P68A1改編)已知X的分布列為設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為(

)答案A3.(選修2－3P68練習(xí)2改編)若隨機(jī)變量X滿足P(X＝c)＝1，其中c為常數(shù)，則D(X)的值為_(kāi)_______.解析∵P(X＝c)＝1，∴E(X)＝c×1＝c，∴D(X)＝(c－c)2×1＝0.答案04.(2018·浙江卷)設(shè)0<p<1，隨機(jī)變量ξ的分布列是則當(dāng)p在(0，1)內(nèi)增大時(shí)(

)A.D(ξ)減小

B.D(ξ)增大C.D(ξ)先減小后增大

D.D(ξ)先增大后減小答案

D5.(2019·合肥檢測(cè))甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y，其分布列分別為：若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是________.X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2解析E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以E(Y)<E(X)，故乙技術(shù)好.答案乙6.(2017·全國(guó)Ⅱ卷)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D(X)＝________.

解析有放回地抽取，是一個(gè)二項(xiàng)分布模型，其中p＝0.02，n＝100，

則D(X)＝np(1－p)＝100×0.02×0.98＝1.96.

答案

1.96考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的均值與方差(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ(單位：元)，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E(ξ)，方差D(ξ).解

(1)兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0，40，80元，(2)由題設(shè)甲、乙所付費(fèi)用之和為ξ，ξ可能取值為0，40，80，120，160，則：ξ的分布列為規(guī)律方法

(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫(xiě)出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計(jì)算.(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的應(yīng)用.解

(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，所以，隨機(jī)變量X的分布列為(2)設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，Z表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事件的概率為考點(diǎn)二二項(xiàng)分布的均值與方差【例2】

(2019·順德一模)某市市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每人月用水量不超過(guò)w立方米的部分按4元/立方米收費(fèi)，超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào)查了100位市民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖，并且前四組頻數(shù)成等差數(shù)列.(1)求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5內(nèi)的頻數(shù)；(2)根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民月用水價(jià)格為4元/立方米，應(yīng)將w定為多少？(精確到小數(shù)點(diǎn)后2位)(3)若將頻率視為概率，現(xiàn)從該市隨機(jī)調(diào)查3名居民的月用水量，將月用水量不超過(guò)2.5立方米的人數(shù)記為X，求其分布列及均值.解(1)∵前四組頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d，∴0.5[0.2＋(0.2＋d)×2＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.1×3]＝1，解得d＝0.1，∴a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5.居民月用水量在2～2.5內(nèi)的頻率為0.5×0.5＝0.25.居民月用水量在2～2.5內(nèi)的頻數(shù)為0.25×100＝25.(2)由題圖及(1)可知，居民月用水量小于2.5的頻率為0.7<0.8，∴為使80%以上居民月用水價(jià)格為4元/立方米，(3)將頻率視為概率，設(shè)A(單位：立方米)代表居民月用水量，可知P(A≤2.5)＝0.7，由題意，X～B(3，0.7)，∴X的分布列為X0123P0.0270.1890.4410.343∵X～B(3，0.7)，∴E(X)＝np＝2.1.規(guī)律方法

二項(xiàng)分布的均值與方差.(1)如果ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大減少計(jì)算量.(2)有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，這時(shí)，可以綜合應(yīng)用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同樣還可求出D(aξ＋b).【訓(xùn)練2】

(2019·湘潭三模)某飯店從某水產(chǎn)養(yǎng)殖廠購(gòu)進(jìn)一批生蠔，并隨機(jī)抽取了40只統(tǒng)計(jì)質(zhì)量，得到結(jié)果如表所示：(1)若購(gòu)進(jìn)這批生蠔500kg，且同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表，試估計(jì)這批生蠔的數(shù)量(所得結(jié)果保留整數(shù))；(2)以頻率視為概率，若在本次購(gòu)買的生蠔中隨機(jī)挑選4個(gè)，記質(zhì)量在[5，25)間的生蠔的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.質(zhì)量(g)[5，15)[15，25)[25，35)[35，45)[45，55]數(shù)量(只)6101284解(1)由表中的數(shù)據(jù)可以估算一只生蠔的質(zhì)量為所以購(gòu)進(jìn)500kg生蠔，其數(shù)量為500000÷28.5≈17544(只).由題意知X的可能取值為0，1，2，3，4，∴X的分布列為考點(diǎn)三均值與方差在決策問(wèn)題中的應(yīng)用【例3】

某投資公司在2019年年初準(zhǔn)備將1000萬(wàn)元投資到“低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇：解若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利為X1萬(wàn)元.則X1的分布列為若按“項(xiàng)目二”投資，設(shè)獲利X2萬(wàn)元，則X2的分布列為：所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，這說(shuō)明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥.綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資.規(guī)律方法

隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫(huà)了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值，若均值相同，再用方差來(lái)決定.【訓(xùn)練3】

計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站.過(guò)去50年的水文資料顯示，水庫(kù)年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過(guò)120的年份有35年，超過(guò)120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.(1)求未來(lái)4年中，至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率；(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年虧損800萬(wàn)元.欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)123由二項(xiàng)分布，在未來(lái)4年中，至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率為(2)記水電站年總利潤(rùn)為Y(單位：萬(wàn)元).①安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.由于水庫(kù)年入流量總大于40，故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000.②安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.依題意，當(dāng)40<X<80時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y＝5000－800＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；當(dāng)X≥80時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y＝5000×2＝10000，因此P(Y＝10000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下：Y420010000P0.20.8所以，E(Y)＝4200×0.2＋10000×0.8＝8840.③安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.依題意，當(dāng)40<X<80時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y＝5000－1600＝3400，因此P(Y＝3400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；當(dāng)80≤X≤120時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y＝5000×2－800＝9200，因此P(Y＝9200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；當(dāng)X>120時(shí)，三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y＝5000×3＝15000，因此P(Y＝15000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.因此得Y的分布列如下：Y34009200150