福建省寧德市高中同心順聯(lián)盟校2021-2022學(xué)年高考全國統(tǒng)考預(yù)測密卷數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,棱長為的正方體中,為線段的中點,分別為線段和棱上任意一點,則的最小值為()A. B. C. D.2.已知橢圓的左、右焦點分別為、,過點的直線與橢圓交于、兩點.若的內(nèi)切圓與線段在其中點處相切,與相切于點,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.3.已知隨機變量滿足,,.若,則()A., B.,C., D.,4.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則()A. B. C. D.5.已知橢圓:的左,右焦點分別為,,過的直線交橢圓于,兩點,若,且的三邊長,,成等差數(shù)列,則的離心率為()A. B. C. D.6.如圖所示程序框圖,若判斷框內(nèi)為“”,則輸出()A.2 B.10 C.34 D.987.已知點,點在曲線上運動,點為拋物線的焦點,則的最小值為()A. B. C. D.48.閱讀如圖的程序框圖,若輸出的值為25,那么在程序框圖中的判斷框內(nèi)可填寫的條件是()A. B. C. D.9.一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的體積為()A. B.C. D.10.小張家訂了一份報紙,送報人可能在早上之間把報送到小張家,小張離開家去工作的時間在早上之間.用表示事件:“小張在離開家前能得到報紙”,設(shè)送報人到達的時間為,小張離開家的時間為,看成平面中的點,則用幾何概型的公式得到事件的概率等于()A. B. C. D.11.已知數(shù)列滿足,且,則的值是()A. B. C.4 D.12.已知向量,,,若,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實數(shù)a值范圍為_________.14.的展開式中,的系數(shù)為_______(用數(shù)字作答).15.已知內(nèi)角的對邊分別為外接圓的面積為,則的面積為_________.16.如圖,已知,,為的中點,為以為直徑的圓上一動點,則的最小值是_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,試求曲線在點處的切線;(2)試討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.18.(12分)對于正整數(shù),如果個整數(shù)滿足,且,則稱數(shù)組為的一個“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為.(Ⅰ)寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;(Ⅱ)對于給定的整數(shù),設(shè)是的一個“正整數(shù)分拆”,且,求的最大值;(Ⅲ)對所有的正整數(shù),證明:;并求出使得等號成立的的值.(注:對于的兩個“正整數(shù)分拆”與,當(dāng)且僅當(dāng)且時,稱這兩個“正整數(shù)分拆”是相同的.)19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若點在曲線上,點在曲線上,求的最小值及此時點的坐標(biāo).20.(12分)已知矩陣,二階矩陣滿足.(1)求矩陣;(2)求矩陣的特征值.21.(12分)為貫徹十九大報告中“要提供更多優(yōu)質(zhì)生態(tài)產(chǎn)品以滿足人民日益增長的優(yōu)美生態(tài)環(huán)境需要”的要求,某生物小組通過抽樣檢測植物高度的方法來監(jiān)測培育的某種植物的生長情況.現(xiàn)分別從、、三塊試驗田中各隨機抽取株植物測量高度,數(shù)據(jù)如下表(單位:厘米):組組組假設(shè)所有植株的生長情況相互獨立.從、、三組各隨機選株,組選出的植株記為甲,組選出的植株記為乙,組選出的植株記為丙.(1)求丙的高度小于厘米的概率;(2)求甲的高度大于乙的高度的概率;(3)表格中所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為.從、、三塊試驗田中分別再隨機抽取株該種植物,它們的高度依次是、、(單位:厘米).這個新數(shù)據(jù)與表格中的所有數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為,試比較和的大?。ńY(jié)論不要求證明)22.(10分)某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時間的關(guān)系,對該校名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時間進行調(diào)查,如表:(平均每天鍛煉的時間單位:分鐘)將學(xué)生日均體育鍛煉時間在的學(xué)生評價為“鍛煉達標(biāo)”.(1)請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表:并通過計算判斷,是否能在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“鍛煉達標(biāo)”與性別有關(guān)?(2)在“鍛煉達標(biāo)”的學(xué)生中,按男女用分層抽樣方法抽出人,進行體育鍛煉體會交流.(i)求這人中,男生、女生各有多少人?(ii)從參加體會交流的人中,隨機選出人發(fā)言,記這人中女生的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式:,其中.臨界值表:0.100.050.0250.01002.7063.8415.0246.635

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】

取中點,過作面,可得為等腰直角三角形,由,可得,當(dāng)時,最小,由,故,即可求解.【詳解】取中點,過作面,如圖:則,故,而對固定的點,當(dāng)時,最?。藭r由面,可知為等腰直角三角形,,故.故選:D【點睛】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學(xué)生的空間想象能力,屬于中檔題.2.D【解析】

可設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為,設(shè),,可得,由切線的性質(zhì):切線長相等推得,解得、,并設(shè),求得的值,推得為等邊三角形,由焦距為三角形的高,結(jié)合離心率公式可得所求值.【詳解】可設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為,為切點,且為中點,,設(shè),,則,且有,解得,,設(shè),,設(shè)圓切于點,則,,由,解得,,,所以為等邊三角形,所以,,解得.因此,該橢圓的離心率為.故選:D.【點睛】本題考查橢圓的定義和性質(zhì),注意運用三角形的內(nèi)心性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì),切線的性質(zhì),考查化簡運算能力,屬于中檔題.3.B【解析】

根據(jù)二項分布的性質(zhì)可得:,再根據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因為隨機變量滿足,,.所以服從二項分布,由二項分布的性質(zhì)可得:,因為,所以,由二次函數(shù)的性質(zhì)可得:,在上單調(diào)遞減,所以.故選:B【點睛】本題主要考查二項分布的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.4.A【解析】

先利用最高點縱坐標(biāo)求出A,再根據(jù)求出周期,再將代入求出φ的值.最后將代入解析式即可.【詳解】由圖象可知A=1,∵,所以T=π,∴.∴f(x)=sin(2x+φ),將代入得φ)=1,∴φ,結(jié)合0<φ,∴φ.∴.∴sin.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的據(jù)圖求式問題以及三角函數(shù)的公式變換.據(jù)圖求式問題要注意結(jié)合五點法作圖求解.屬于中檔題.5.C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè)出,,,利用勾股定理列方程,結(jié)合橢圓的定義,求得.再利用勾股定理建立的關(guān)系式,化簡后求得離心率.【詳解】由已知,,成等差數(shù)列,設(shè),,.由于,據(jù)勾股定理有,即,化簡得;由橢圓定義知的周長為,有,所以,所以;在直角中,由勾股定理,,∴離心率.故選:C【點睛】本小題主要考查橢圓離心率的求法,考查橢圓的定義,考查等差數(shù)列的性質(zhì),屬于中檔題.6.C【解析】

由題意,逐步分析循環(huán)中各變量的值的變化情況,即可得解.【詳解】由題意運行程序可得:,,,;,,,;,,,;不成立,此時輸出.故選:C.【點睛】本題考查了程序框圖,只需在理解程序框圖的前提下細心計算即可,屬于基礎(chǔ)題.7.D【解析】

如圖所示:過點作垂直準(zhǔn)線于,交軸于,則,設(shè),,則,利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示:過點作垂直準(zhǔn)線于,交軸于,則,設(shè),,則,當(dāng),即時等號成立.故選:.【點睛】本題考查了拋物線中距離的最值問題,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.8.C【解析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖,帶入依次計算可得輸出為25時的值,進而得判斷框內(nèi)容.【詳解】根據(jù)循環(huán)程序框圖可知,則,,,,,此時輸出,因而不符合條件框的內(nèi)容,但符合條件框內(nèi)容,結(jié)合選項可知C為正確選項,故選:C.【點睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的簡單應(yīng)用,完善程序框圖,屬于基礎(chǔ)題.9.B【解析】

還原幾何體可知原幾何體為半個圓柱和一個四棱錐組成的組合體,分別求解兩個部分的體積,加和得到結(jié)果.【詳解】由三視圖還原可知,原幾何體下半部分為半個圓柱,上半部分為一個四棱錐半個圓柱體積為:四棱錐體積為:原幾何體體積為:本題正確選項:【點睛】本題考查三視圖的還原、組合體體積的求解問題,關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確還原幾何體,從而分別求解各部分的體積.10.D【解析】

這是幾何概型,畫出圖形,利用面積比即可求解.【詳解】解:事件發(fā)生,需滿足,即事件應(yīng)位于五邊形內(nèi),作圖如下:故選:D【點睛】考查幾何概型,是基礎(chǔ)題.11.B【解析】由,可得,所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,所以,則,則,故選B.點睛:本題考查了等比數(shù)列的概念,等比數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,試題有一定的技巧,屬于中檔試題,解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用,尤其需要注意的是,等比數(shù)列的性質(zhì)和在使用等比數(shù)列的前n項和公式時,應(yīng)該要分類討論,有時還應(yīng)善于運用整體代換思想簡化運算過程.12.A【解析】

根據(jù)向量坐標(biāo)運算求得,由平行關(guān)系構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【詳解】,,解得:故選:【點睛】本題考查根據(jù)向量平行關(guān)系求解參數(shù)值的問題,涉及到平面向量的坐標(biāo)運算;關(guān)鍵是明確若兩向量平行,則.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

由在上恒成立可求解.【詳解】,令,∵,∴,又,,從而,令,問題等價于在時恒成立,∴,解得.故答案為:.【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性,解題關(guān)鍵是問題轉(zhuǎn)化為恒成立,利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)易求解.14.60【解析】

根據(jù)二項式定理展開式通項,即可求得的系數(shù).【詳解】因為,所以,則所求項的系數(shù)為.故答案為:60【點睛】本題考查了二項展開式通項公式的應(yīng)用,指定項系數(shù)的求法,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】

由外接圓面積,求出外接圓半徑,然后由正弦定理可求得三角形的內(nèi)角,從而有,于是可得三角形邊長,可得面積.【詳解】設(shè)外接圓半徑為,則,由正弦定理,得,∴,,.故答案為:.【點睛】本題考查正弦定理,利用正弦定理求出三角形的內(nèi)角,然后可得邊長,從而得面積,掌握正弦定理是解題關(guān)鍵.16.【解析】

建立合適的直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點的坐標(biāo),進而可得的坐標(biāo)表示,利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出的表達式,求出其最小值即可.【詳解】建立直角坐標(biāo)系如圖所示:則點,,,設(shè)點,所以,由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得,,其中,因為,所以的最小值為.故答案為:【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和利用輔助角公式求最值;考查數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸能力、運算求解能力;建立直角坐標(biāo)系,把表示為關(guān)于角的三角函數(shù),利用輔助角公式求最值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)見解析【解析】

(1)對函數(shù)進行求導(dǎo),可以求出曲線在點處的切線,利用直線的斜截式方程可以求出曲線的切線方程;(2)對函數(shù)進行求導(dǎo),對實數(shù)進行分類討論,可以求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】(1)當(dāng)時,函數(shù)定義域為,,所以切線方程為;(2)當(dāng)時,函數(shù)定義域為,在上單調(diào)遞增當(dāng)時,恒成立,函數(shù)定義域為,又在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增當(dāng)時,函數(shù)定義域為,在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增當(dāng)時,設(shè)的兩個根為且,由韋達定理易知兩根均為正根,且,所以函數(shù)的定義域為,又對稱軸,且,在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增【點睛】本題考查了曲線切線方程的求法,考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性問題,考查了分類思想.18.(Ⅰ),,,,;(Ⅱ)為偶數(shù)時,,為奇數(shù)時,;(Ⅲ)證明見解析,,【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題意直接寫出答案.(Ⅱ)討論當(dāng)為偶數(shù)時,最大為,當(dāng)為奇數(shù)時,最大為,得到答案.(Ⅲ)討論當(dāng)為奇數(shù)時,,至少存在一個全為1的拆分,故,當(dāng)為偶數(shù)時,根據(jù)對應(yīng)關(guān)系得到,再計算,,得到答案.【詳解】(Ⅰ)整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”為:,,,,.(Ⅱ)當(dāng)為偶數(shù)時,時,最大為;當(dāng)為奇數(shù)時,時,最大為;綜上所述:為偶數(shù),最大為,為奇數(shù)時,最大為.(Ⅲ)當(dāng)為奇數(shù)時,,至少存在一個全為1的拆分,故;當(dāng)為偶數(shù)時,設(shè)是每個數(shù)均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”,則它至少對應(yīng)了和的均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”,故.綜上所述:.當(dāng)時,偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為,奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為,;當(dāng)時,偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為,,奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為,故;當(dāng)時,對于偶數(shù)“正整數(shù)分拆”,除了各項不全為的奇數(shù)拆分外,至少多出一項各項均為的“正整數(shù)分拆”,故.綜上所述:使成立的為:或.【點睛】本土考查了數(shù)列的新定義問題,意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.19.(1);(2)最小值為,此時【解析】

(1)消去曲線參數(shù)方程的參數(shù),求得曲線的普通方程.利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)相互轉(zhuǎn)化公式,求得曲線的直角坐標(biāo)方程.(2)設(shè)出的坐標(biāo),結(jié)合點到直線的距離公式以及三角函數(shù)最值的求法,求得的最小值及此時點的坐標(biāo).【詳解】(1)消去得,曲線的普通方程是:;把,代入得,曲線的直角坐標(biāo)方程是(2)設(shè),的最小值就是點到直線的最小距離.設(shè)在時,,是最小值,此時,所以,所求最小值為,此時【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程,考查極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程,考查利用圓錐曲線的參數(shù)求最值,屬于中檔題.20.(1)(2)特征值為或.【解析】

(1)先設(shè)矩陣,根據(jù),按照運算規(guī)律,即可求出矩陣.(2)令矩陣的特征多項式等于,即可求出矩陣的特征值.【詳解】解:(1)設(shè)矩陣由題意,因為,所以,即所以,(2)矩陣的特征多項式,令,解得或,所以矩陣的特征值為1或.【點睛】本題主要考查矩陣的乘法和矩陣的特征值,考查學(xué)生的劃歸與轉(zhuǎn)化能力和運算求解能力.21.(1);(2);(3).【解析】

設(shè)事件為“甲是組的第株植物”,事件為“乙是組的第株植物”,事件為“丙是組的第株植物”,、、、,可得出.(1)設(shè)事件為“丙的高度小于厘米”,可得,且、互斥,利用互斥事件的概率公式可求得結(jié)果;(2)設(shè)事件為“甲的高

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