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文檔簡(jiǎn)介
1.
理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.【考綱下載】第2講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和1.等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)等差數(shù)列的定義:一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第
項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于
,那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的
,通常用字母d表示.(2)等差中項(xiàng):在兩個(gè)數(shù)a與b之間插入一個(gè)常數(shù)A,使a,A,b成等差數(shù)列,則把
叫做a與b的等差中項(xiàng),
=,即a+b=
.同一個(gè)常數(shù)2公差A(yù)A2A(3)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:
.a(chǎn)n=a1+(n-1)d(n∈N*)提示:通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d可以寫(xiě)成an=dn+(a1-d),它是關(guān)于n的一次函數(shù)(d≠0時(shí))或常函數(shù)(d=0時(shí)),它的圖象是一條直線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一群孤立的點(diǎn),公差d是這條直線的斜率.2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:Sn=
=
.【思考】
等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與函數(shù)的關(guān)系如何?(從d≠0與d=0分別說(shuō)明)答案:當(dāng)d≠0時(shí),Sn=n2+
n,Sn是關(guān)于n的二次函數(shù),它的圖象是過(guò)原點(diǎn)的拋物線上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一群孤立點(diǎn);當(dāng)d=0時(shí),Sn=na1,它的圖象是一條射線上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一群孤立點(diǎn).3.等差數(shù)列的重要性質(zhì)(1)若m+n=p+q,則
.(m,n,p,q∈N*)特別地,若m+n=2p,則2ap=am+an.(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d推廣為an=am+(n-m)d.(3)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列.a(chǎn)m+an=ap+aq提示:這些重要結(jié)論,在解答選擇題和填空題時(shí)非常有用(可直接應(yīng)用),在做解答題時(shí)雖然不能作為公式和定理用,但至少可以當(dāng)作解題的目標(biāo)或方向,檢驗(yàn)結(jié)果的正誤時(shí)可直接套用,運(yùn)用上述結(jié)論時(shí)要注意它成立的條件.1.在等差數(shù)列{an}中,a1+a5=8,a4=7,則a5等于(
)
A.3B.7C.10D.11解析:設(shè)公差為d,則 .∴a1=-2,d=3,∴a5=a1+4d=-2+3×4=10.答案:C2.已知{an}為等差數(shù)列,a2+a8=12,則a5等于(
)A.4B.5C.6D.7解析:∵a2+a8=2a5,∴a5=6.答案:C3.(2009·湖南)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a2=3,a6=
11,則S7等于(
)A.13B.35C.49D.63解析:S7=
=
=49.答案:C4.(2009·山東)在等差數(shù)列{an}中,a3=7,a5=a2+6,則a6=
________.解析:設(shè)公差為d,∴3d=a5-a2=6.∴a6=a3+3d=7+6=13.答案:131.等差數(shù)列{an}中,a1和d是兩個(gè)基本量,用它們可以表示數(shù)列中的任何一項(xiàng),利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式,列方程組解a1和
d,是解決等差數(shù)列問(wèn)題的常用方法;2.由a1,d,n,an,Sn這五個(gè)量中的三個(gè)量可求出其余兩個(gè)量,需選用恰當(dāng)?shù)墓?,利用方程組求解.【例1】
(2009·全國(guó)Ⅱ卷)已知等差數(shù)列{an}中,a3a7=-16,a4+a6= 0,求Sn.思維點(diǎn)撥:列方程組解a1和公差d.解:設(shè){an}的公差為d,則即解得
,或因此Sn=-8n+n(n-1)=n(n-9)或Sn=8n-n(n-1)=-n(n-9).變式1:等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,若S12=84,S20=460,求S28.解:設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,則Sn=na1+n(n-1)d.∵S12=84,S20=460,
∴ 解得∴Sn=-15n+n(n-1)×4=2n2-17n.∴S28=2×282-17×28=1092.證明{an}為等差數(shù)列的方法:1.用定義證明:an-an-1=d(d為常數(shù),n≥2)?{an}為等差數(shù)列.2.用等差中項(xiàng)證明:2an+1=an+an+2?{an}為等差數(shù)列.3.通項(xiàng)法:an為n的一次函數(shù)或常函數(shù)?{an}為等差數(shù)列.4.前n項(xiàng)和法:Sn=An2+Bn或Sn=
?{an}為等差數(shù)列.【例2】
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且滿足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=.(1)求證:是等差數(shù)列;(2)求an的表達(dá)式.思維點(diǎn)撥:(1)由an與Sn的關(guān)系先轉(zhuǎn)化為an=Sn-Sn-1(n≥2),然后利用定義證明.
(2)先求Sn,再求an.證明:(1)∵an=Sn-Sn-1(n≥2),又an=-2Sn·Sn-1,∴Sn-1-Sn=2Sn·Sn-1,Sn≠0,∴ =2(n≥2).由等差數(shù)列的定義知
是以
為首項(xiàng),以2為公差的等差數(shù)列.(2)解:由(1)知
+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n,∴Sn=.當(dāng)n≥2時(shí),有an=-2Sn×Sn-1=又∵a1=,∴an=利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題,關(guān)鍵是要敏銳地觀察出題中各項(xiàng)的腳標(biāo)間的數(shù)量關(guān)系.【例3】
已知兩個(gè)等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為
An,Bn,且
,則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是(
)
A.2B.3C.4D.5思維點(diǎn)撥:靈活利用S2n-1公式中的a1+a2n-1與an的關(guān)系.解析:∵∴當(dāng)n=1,2,3,5,11時(shí),為整數(shù).答案:D變式3:已知{an}是等差數(shù)列.(1)前四項(xiàng)和為21,末四項(xiàng)和為67,且各項(xiàng)和為286,求項(xiàng)數(shù);(2)Sn=20,S2n=38,求S3n.解:(1)∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,
∴a1+an=(21+67)=22.又∵286=
,∴n=26,即數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是26.(2)∵{an}是等差數(shù)列.
∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等差數(shù)列, 設(shè)S3n=x,則20,18,x-38成等差數(shù)列, 即2×18=20+(x-38),
∴x=54,即S3n=54.解決等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題有兩種方法,①利用an:當(dāng)a1>0,d<0時(shí),前n項(xiàng)和有最大值,可由an≥0且an+1<0求得n的值;當(dāng)a1<0,d>0時(shí),前n項(xiàng)和有最小值,可由an≤0且an+1>0求得n的值.②利用Sn:Sn=n2+n,即由二次函數(shù)求得當(dāng)Sn取最值時(shí)n的值.【例4】
設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范圍;(2)指出S1,S2,…,S12中哪一個(gè)值最大,并說(shuō)明理由解:(1)∵S12>0,S13<0,∴
即又a3=a1+2d=12,∴解得-<d<-3.(2)解法一:Sn=na1+
d(n=1,2,3,…,12).∴Sn=n(12-2d)+d∴當(dāng)n=6時(shí),Sn有最大值,即Sn的值最大為S6解法二:由題意及等差數(shù)列的性質(zhì)可得∴a7<0,a6>0.∴在數(shù)列{an}中,前6項(xiàng)為正,第7項(xiàng)起,以后各項(xiàng)為負(fù)(第7
項(xiàng)也為負(fù)),故S6最大.1.在有關(guān)等差數(shù)列的基本問(wèn)題中,常常需要根據(jù)已知a1,
an,d,n,Sn中的某些量去求其他未知的量,解方程是必不可少的,在運(yùn)用方程的思想時(shí),還要注意等差數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用以及整體代換思想的運(yùn)用.【方法規(guī)律】2.注意設(shè)元技巧,利用對(duì)稱性,減少運(yùn)算量.若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí),可設(shè)中間三項(xiàng)為a-d,a,a
+d;若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí),可設(shè)中間兩項(xiàng)為a-d,a+d,其余各項(xiàng)再依等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元.3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是特殊的二次函數(shù)關(guān)系式,對(duì)前n項(xiàng)和的最大值或最小值的求解可以借助函數(shù)求最值的方法進(jìn)行,也可以利用數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.(12分)(2009·湖北卷)已知{an}是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列,且滿足a3a6=55,a2+a7=16.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}滿足等式:
(n為正整數(shù)),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.【高考真題】解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則依題設(shè)d>0.
………1分由a2+a7=16,得2a1+7d=16.①由a3·a6=55,得(a1+2d)(a1+5d)=55.②………3分由①得2a1=16-7d,將其代入②得(16-3d)(16+3d)=220,即256-9d2=220,∴d2=4.又d>0,∴d=2.代入①得a1=1.………5分∴an=1+(n-1)·2=2n-1.………6分【規(guī)范解答】(2)當(dāng)n=1時(shí),a1=,∴b1=2.
………
7分當(dāng)n≥2時(shí),兩式相減得an-an-1=,∴bn=2n+1.
………9分因此
………
10分當(dāng)n=1時(shí),S1=b1=2;當(dāng)n≥2時(shí),Sn=b1+b2+b3+…+bn=2+
=2n+2-6.∵當(dāng)n=1時(shí)上式也成立,∴當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)都有Sn=2n+2-6.
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