【創(chuàng)新設計】2011屆高三數(shù)學 一輪復習 第5知識塊第3講 等比數(shù)列及其前n項和課件 文 新人教A版

第3講等比數(shù)列及其前n項和1.理解等比數(shù)列的概念．2．掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式．3．能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關系，并能用有關知識解決相應的問題．4．了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系.【考綱下載】1．等比數(shù)列的有關概念(1)等比數(shù)列的定義：如果一個數(shù)列從第

項起，每一項與它的前一項的比等于

，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，其中常數(shù)叫做等比數(shù)列的

，記作q.(2)通項公式：等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則稱an＝

為數(shù)列

{an}的通項公式．(3)等比中項：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么

叫做a與b的等比中項，且

＝ab.2同一個常數(shù)a1qn－1G公比G2提示：等比數(shù)列的定義與等差數(shù)列的定義從字面上看相似，就是“比”與“差”的區(qū)別，但等比數(shù)列隱含著數(shù)列的各項不為零，公比不為零，項與公式的正負號有著密切的關系等等．【思考】

推導等比數(shù)列的前n項和公式的方法是什么？你掌握了嗎？不妨看一下課本．答案：錯位相減法3．等比數(shù)列的重要性質(1)若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq(m，n，p，q∈N*)．(2)an＝a1qn－1可推廣為an＝amqn－m.(3)設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q.①當q>1，a1>0或0<q<1，a1<0時，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列；

②當q>1，a1<0或0<q<1，a1>0時，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列；

③當q＝1時，數(shù)列{an}是(非零)常數(shù)列；

④當q<0時，數(shù)列{an}是擺動數(shù)列．提示：等比數(shù)列的性質是等比數(shù)列的定義、通項公式以及前n項和公式等基礎知識的推廣與變形，熟練掌握和靈活運用這些性質可以有效、方便、快捷地解決許多等比數(shù)列問題1．如果－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，那么(

)A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9解析：∵等比數(shù)列中隔一項的符號相同，∴b＝－3＝

∴ac＝b2＝9.答案：B解析：當公比q＝1時，an＝a3＝7，S3＝21滿足條件；當公比q≠1時，有

，解得q＝2．等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前3項之和S3＝21，則公比q的值為(

)A．1 B．C．1或

D．答案：C3．(2009·廣東卷)已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3·a9＝2a，a2＝1，則a1＝(

)A. B. C. D．2解析：∵a3·a9＝又a2＝1＝a1·，∴a1＝答案：B4．已知等比數(shù)列{an}的前三項依次為a－1，a＋1，a＋4，則an＝________.解析：由已知：(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，得a＝5，則a1＝4，q＝

∴an＝4·1.對于等比數(shù)列的有關計算問題，可類比等差數(shù)列問題進行，在解方程組的過程中要注意“相除”消元的方法，同時要注意整體代入(換元)思想方法的應用．

2．在涉及等比數(shù)列前n項和公式時要注意對公比q是否等于1的判斷和討論．【例1】

已知{an}為等比數(shù)列，a3＝2，a2＋a4＝求{an}的通項公式．思維點撥：根據(jù)等比數(shù)列定義、通項公式及性質建立首項，公比的方程組．解：解法一：設等比數(shù)列{an}的公比為q，則q≠0，

a2＝

a4＝a3q＝2q，∴＋2q＝解得q1＝，q2＝3.當

q＝時，a1＝18.∴an＝18× ＝2×33－n.當q＝3時，a1

＝∴an＝×3n－1＝2×3n－3.解法二：由a3＝2，得a2a4＝4，又a2＋a4＝則a2，a4為方程x2－x＋4＝0的兩根，解得①當a2＝時，q＝3，an＝a3·qn－3＝2×3n－3；②當a2＝6時，q＝an＝2×33－n.∴an＝2×3n－3或an＝2×33－n.1.證明數(shù)列是等比數(shù)列的兩個基本方法是：(1)＝q(與n值無關的常數(shù))(n∈N*)．(2)A＝anan＋2(n∈N*)．2．定義不僅能證明一個數(shù)列是等比數(shù)列，也能判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，只須通過具有三個連續(xù)項不成等比數(shù)列證明，也可以用反證法．3．解題的過程，常表現(xiàn)在“猜”與“湊”．“猜”即猜測解題方向；

“湊”，即湊此方向．對于證明題，因為結論已明確，所以需要的是

“湊”的功夫．【例2】

已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．(1)證明：數(shù)列{an＋1－an}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式；思維點撥：(1)構造新數(shù)列{an＋1－an}；(2)累加，求和得an.證明：(1)∵an＋2＝3an＋1－2an，∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，

∴ ＝2(n∈N*)．又∵a1＝1，a2＝3，

∴{an＋1－an}是以a2－a1＝2為首項，2為公比的等比數(shù)列．(2)解：由(1)得an＋1－an＝2n(n∈N*)，∴an－an－1＝2n－1an－1－an－2＝2n－2?a3－a2＝22a2－a1＝21以上式子相加得：an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，∴an＝2n－1.變式2：(1)已知數(shù)列{cn}，其中cn＝2n＋3n，且{cn＋1－pcn}為等比數(shù)列，求常數(shù)p；(2)設{an}，{bn}是公比不相等的兩個等比數(shù)列，cn＝an＋bn，證明數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列．解：(1)因為{cn＋1－pcn}是等比數(shù)列，故有(cn＋1－pcn)2＝(cn＋2－pcn＋1)(cn－

pcn－1)．將cn＝2n＋3n代入上式，得[2n＋1＋3n＋1－p(2n＋3n)]2＝[2n＋2＋3n＋2－p(2n＋1＋3n＋1)]·[2n＋3n－p(2n－1＋

3n－1)]，即[(2－p)2n＋(3－p)3n]2＝[(2－p)2n＋1＋(3－p)×3n＋1][(2－p)2n－1＋(3－

p)·3n－1]．整理得(2－p)(3－p)·2n·3n＝0.解得p＝2，或p＝3.(2)設{an}，{bn}的公比分別為p，q，p≠q，cn＝an＋bn.求證{cn}不是等比數(shù)列只需證c≠c1·c3.事實上，c＝(a1p＋b1q)2＝a

q2＋2a1b1pq，c1·c3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)由于p≠q，p2＋q2>2pq，又a1、b1不為零，因此c≠c1·c3，故{cn}不是等比數(shù)列.巧用性質，可以減少計算量，同時需要有敏銳的觀察能力和應對能力．【例3】

等比數(shù)列{an}的前n項和等于2，緊接在后面的2n項和等于12，再緊接其后的3n項和為S，求出S.思維點撥：利用等比數(shù)列的性質求解或利用整體代換，通過求qn和來解決問題．解：解法一：設依次n項之和分別為：A1，A2，A3…則有A1＝2，A2＋A3＝12，A4＋A5＋A6＝S，而數(shù)列{An}為等比數(shù)列，公比為qn，∴A2＋A3＝2qn＋2q2n，∴2qn＋2q2n＝12，∴q2n＋qn－6＝0，∴qn＝2或qn＝－3.當qn＝2時，S＝A4＋A5＋A6＝2×23＋2×24＋2×25＝112；當qn＝－3時，S＝A4＋A5＋A6＝2×(－3)3＋2×(－3)4＋2×(－3)5＝－378.所以S的值為112或－378.解法二：由題意得q≠1，且∴qn(qn＋1)＝6，∴qn＝2或qn＝－3.∴S＝－2×23×(1－23)＝112或S＝×(－3)3×[1－(－3)3]＝－378.拓展3：將本例中條件改為前n項和為2，前2n項為12，求前3n項和． 解：由等比數(shù)列的性質可知，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列．

∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)， 即102＝2(S3n－12)，∴S3n＝62.由于數(shù)列和函數(shù)之間有著密切的聯(lián)系，所以在解決許多數(shù)列問題時，應善于運用函數(shù)與方程的思想方法解決問題．【例4】

設數(shù)列{an}，a1＝若以a1，a2，…，an為系數(shù)的二次方程an－1x2－anx

＋1＝0(n∈N*且n≥2)都有根α、β滿足3α－αβ＋3β＝1.(1)求證：為等比數(shù)列；(2)求an；(3)求{an}的前n項和Sn.證明：(1)∵將α＋β＝

代入3α－αβ＋3β＝1，得an＝∴ 為定值．∴數(shù)列是等比數(shù)列．(2)解：∵a1－

∴an－【方法規(guī)律】等比數(shù)列的定義，通項公式，前n項和公式是解決等比數(shù)列中的有關計算、討論等比數(shù)列的有關性質的問題的基礎和出發(fā)點．1．確定等比數(shù)列的關鍵是確定首項a1和公比q.2．在等比數(shù)列通項公式和前n項和公式中共涉及五個量an，a1，n，q，Sn，可“知三求二”．3．等比數(shù)列求和公式的推導的思想可用于等比數(shù)列與等差數(shù)列對應項之積構成的數(shù)列求和問題，即利用錯位相消的方法去求數(shù)列的前n項和．4．在利用等比數(shù)列前n項和公式時，一定要對公比q＝1或q≠1作出判斷；計算過程中要注意整體代入的思想方法．5．等差數(shù)列與等比數(shù)列的關系是：(1)若一個數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則此數(shù)列是非零常數(shù)列；

(2)若{an}是等比數(shù)列，且an＞0，則{lgan}構成等差數(shù)列．【高考真題】(2009·山東卷)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知對任意的n∈N*，點(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上．(1)求r的值；(2)當b＝2時，記bn＝

(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.【規(guī)范解答】解：(1)由題意，Sn＝bn＋r，當n≥2時，Sn－1＝bn－1＋r，所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，由于b＞0且b≠1，所以當n≥2時，{an}是以b為公比的等比數(shù)列，又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，(2)由(1)知，n∈N*，an＝(b－1)bn－1，當b＝2時，an＝2n－1，所以bn＝兩式相減得故Tn＝

(n∈N*)．【探究與研究】創(chuàng)新是高考命題的要求，《考試大綱》提出命題要“創(chuàng)設比較新穎的問題情境”，同時，“在知識的交匯點處設計命題”是近年來高考命題的一種趨勢，本題將數(shù)列的遞推關系式以點在函數(shù)圖象上的方式給出，體現(xiàn)了這種命題理念，也滲透了數(shù)列是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)觀念．第(2)問中對b的賦值，旨在使問題變得簡捷，也使設置的數(shù)列求和問題降低難度，達到“不求在細節(jié)上人為地設置障礙，而是在大方向上考查考生的數(shù)學能力”的命題指導思想．本題在設置等比數(shù)列的遞推關系式時，以點(