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(掌握一元二次不等式的解法)6.2一元二次不等式1.一元二次不等式的解法判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根沒有實(shí)數(shù)根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x>x2或x<x1}{x|x1<x<x2}??R{x|x∈R且x≠} 提示:利用分解因式的方法求解不等式時(shí),要注意各因式中未知數(shù)的系數(shù)是否為正,再結(jié)合不等號(hào)的方向?qū)懗鼋饧谠E是“大于取兩邊,小于取中間”.2.簡單分式不等式的解法: 提示:分式不等式的一側(cè)不為0時(shí),要進(jìn)行移項(xiàng)、通分、整理,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為整式不等式.1.(2009·北京卷)設(shè)集合A=,B={x|x2≤1},則A∪B=() A.{x|-1≤x<2} B. C.{x|x<2} D.{x|1≤x<2} 解析:B={x|-1≤x≤1},∴A∪B={x|-1≤x<2}. 答案:A2.不等式x2>x的解集是() A.(-∞,0) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞) 解析:x2-x>0,解得x<0或x>1. 答案:D3.在R上定義運(yùn)算:xy=x(1-y).若不等式(x-a)(x+a)<1 對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立,則() A.-1<a<1B.0<a<2 解析:(x-a)(x+a)<1對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立, 即(x-a)(1-x-a)<1對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立.∴x2-x-a2+a+1>0恒成立.
∴Δ=1-4(-a2+a+1)<0, 答案:C4.不等式的解集是________. 解析:原不等式等價(jià)于 答案:{x|x<-2}1.解一元二次不等式的方法及注意事項(xiàng): (1)化二次項(xiàng)系數(shù)為正值,同時(shí)注意判別式與因式分解的靈活運(yùn)用. (2)與二次函數(shù)的圖象相結(jié)合,注意解集的端點(diǎn)是否在區(qū)間內(nèi). (3)特別注意解集為R和?兩種特殊情況.2.分式不等式可轉(zhuǎn)化為一元二次不等式(或不等式組)進(jìn)行求解.【例1】解下列不等式: 解答:(1)原不等式可化為 即2x2-3x+1≤0.即(2x-1)(x-1)≤0. 所以原不等式的解集為 (2)原不等式等價(jià)于 因此原不等式的解集為此類問題是解不等式的逆向思維問題,要在熟練掌握不等式解法的基礎(chǔ)上進(jìn)行求解.【例2】(1)關(guān)于x的不等式<1的解集為{x|x<1或x>2}, 則實(shí)數(shù)a=________. (2)若不等式ax2+bx+c≥0的解集是,則不等式cx2+bx+a<0的解集是________. 解析:(1)原不等式可化為
∵解集為{x|x<1或x>2},∴a-1<0且
(2)由已知條件知a<0,且
即不等式cx2+bx+a<0即x2+x-6<0,其解集為(-3,2).
變式2.若x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1恒成立,則a的范圍是________. 解析:∵(a+2)x2+4x+a-1≥0恒成立,∴ 由①得a>-2,由②得a≤-3或a≥2. 答案:[2,+∞)解含參數(shù)的一元二次不等式可按如下步驟進(jìn)行:(1)二次項(xiàng)若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0、小于0、還是大于0,然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式.(2)判斷方程的根B的個(gè)數(shù),討論判別式Δ與0的關(guān)系.(3)確定無根時(shí)可直接寫出解集,確定方程有兩個(gè)根時(shí),要討論兩根的大小關(guān)系,從而確定解集的形式.【例3】解下列關(guān)于x的不等式: (1)x2-(a+a2)x+a3>0;(2)ax2-(a+1)x+1<0. 解答:(1)將不等式x2-(a+a2)x+a3>0變形為(x-a)(x-a2)>0. 當(dāng)a<0時(shí),有a<a2,解集為{x|x<a或x>a2}; 當(dāng)0<a<1時(shí),有a>a2,解集為{x|x<a2或x>a}; 當(dāng)a>1時(shí),有a<a2,解集為{x|x<a或x>a2}; 當(dāng)a=0時(shí),解集為{x|x∈R,且x≠0}; 當(dāng)a=1時(shí),解集為{x|x∈R,且x≠1}.(2)若a=0,原不等式?-x+1<0?x>1.若a<0,原不等式?(x-1)>0?x<或x>1.若a>0,原不等式?(x-1)<0.(*)其解的情況應(yīng)由與1的大小關(guān)系決定,故①當(dāng)a=1時(shí),(*)式?x∈?;②當(dāng)a>1時(shí),(*)式?<x<1;③當(dāng)0<a<1時(shí),(*)式?1<x<.綜上所述,當(dāng)a<0時(shí),解集為;當(dāng)a=0時(shí),解集為{x|x>1};當(dāng)0<a<1時(shí),解集為當(dāng)a=1時(shí),解集為?;當(dāng)a>1時(shí),解集為變式3.已知不等式>0(a∈R). (1)解這個(gè)關(guān)于x的不等式; (2)若x=-a時(shí)不等式成立,求a的取值范圍. 解答:(1)原不等式等價(jià)于(ax-1)(x+1)>0. ①當(dāng)a=0時(shí),由-(x+1)>0,得x<-1; ②當(dāng)a>0時(shí),不等式化為(x+1)>0, 解得x<-1或x>;綜上所述,a<-1時(shí),解集為a=-1時(shí),原不等式無解;-1<a<0時(shí),解集為a=0時(shí),解集為{x|x<-1};a>0時(shí),解集為(2)∵x=-a時(shí)不等式成立,∴>0,即-a+1<0,∴a>1,即a的取值范圍為a>1.1.一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)之間有著密切的聯(lián)系,解任何一方面的問題,都可以借助其他方面加深對(duì)問題的理解并解決.2.解一元二次不等式,可借助其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù),用函數(shù)和數(shù)形結(jié)合的思想解決不等式問題.3.在含有參數(shù)的不等式中,由于參數(shù)取值的不同,從而導(dǎo)致解集的不確定,所以需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.
【方法規(guī)律】(2009·天津)(本題滿分4分)若關(guān)于x的不等式(2x-1)2<ax2的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【考卷實(shí)錄】1.二次三項(xiàng)式,一元二次方程,一元二次不等式,二次函數(shù)等構(gòu)成的“二次”板塊是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容.本題解決不等式的解集中恰有3個(gè)整數(shù)立意非常新穎,在考卷實(shí)錄中雖然提供了本題的一種正確解法,但過于依賴運(yùn)算,確有“小題大作”之嫌.2.本題主要考查一元二次不等式的有關(guān)知識(shí),在考卷實(shí)錄中提供的解法是根據(jù)一元二次方程的判別式和求根公式進(jìn)行求解,要根據(jù)已知各件判斷出兩根的具體范圍,還要解無理不等式.【分析點(diǎn)評(píng)】3.而利用數(shù)形結(jié)
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