【創(chuàng)新設計】2011屆高三數(shù)學一輪復習 第4單元 4.6 正弦定理和余弦定理課件 理 新人教B版

(掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題/能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題)4.6正弦定理和余弦定理1．正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等． 即2．余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍． 即a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.3．三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝b·cosC＋c·cosB；

b＝a·cosC＋c·cosA；c＝a·cosB＋b·cosA.4．三內(nèi)角與三角函數(shù)值的關系 在△ABC中sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin＝cos；1．在三角形ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，則的值為() A.B. C. D. 解析：本題考查正、余弦定理應用；由余弦定理BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA得：72＝52＋AC2－2·5·AC·cos120°?AC＝3，由正弦定理可知 答案：D2．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，則邊AC上的高為() A. B.C.D． 解析：由余弦定理可得：cosA＝ ∴sinA＝，則AC邊上的高h＝AB·sinA＝ 故選B項． 答案：B3．若A、B、C是△ABC的三個內(nèi)角，且A＜B＜C(C≠)， 則下列結論中正確的是() A．sinA＜sinC B．cosA＜cosC C．tanA＜tanC D．cotA＜cotC解析：解法一：因為A＜C，在△ABC中，大角對大邊．因此c＞a，即2RsinC＞2RsinA．所以sinC＞sinA．∴選A項．解法二：當△ABC為銳角三角形時，由于余弦和余切在(0，)內(nèi)單調(diào)遞減，故可排除B、D兩項；當△ABC為鈍角三角形時可排除C項，故選A項．答案：A4．(2009·廣東卷)已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c. 若a＝c＝，且∠A＝75°，則b＝() A．2 B．4＋2 C．4－2 D. 解析：∵a＝c，∠A＝75°，∴∠B＝30°，∴b2＝a2＋c2－2accos30° ＝ ＝ ＝4.∴b＝2. 答案：A

1.已知三角形中的兩角一邊，可使用正弦定理解三角形；2．已知三角形的兩邊及其一邊對角，可利用正弦定理解三角形 (也可考慮使用余弦定理)；3．已知三角形的三邊或已知三角形的兩邊及其夾角， 使用余弦定理解三角形．【例1】在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝，AC＝2，求△ABC的面積S. 解答：如右圖，∠B=30°，AB=，AC=2，根據(jù)正弦定理 即，∴sinC=.又0°＜C＜180°， ∴C=60°或C=120°. 當C＝60°時，△ABC為直角三角形，S＝

當C＝120°時，∠A＝30°，S＝

變式1.在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7， 則△ABC的面積S＝________. 解析：如圖，設AC＝x，根據(jù)余弦定理，BC

2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA， 即49＝25＋x2＋5x，整理得： 解得x＝3，或x＝－8(舍去)，∴S＝AB·ACsinA＝ 答案：三角形一般由三個條件確定，比如已知三邊a，b，c，或兩邊a，b及夾角C，可以將a，b，c或a，b，C做為解三角形的基本要素，根據(jù)已知條件，通過正弦定理、余弦定理、面積公式等利用解方程組等手段進行求解，必要時可考慮作輔助線，將所給條件置于同一三角形中．【例2】在ABC中，已知AB＝，cosB＝，AC邊上的中線BD＝ 求sinA的值．

解答：如圖，取AB中點E，連結DE，在△BDE中， BE＝

，BD＝，又cos∠DEB＝－cosB＝ 設DE＝x，根據(jù)余弦定理得，BD2＝BE2＋DE2－2DE·BEcos∠DEB， 即5＝ .整理得：3x2＋4x－7＝0，即(3x＋7)(x－1)＝0，解得x＝1.在△DEA中，cos∠DEA＝，EA＝，DE＝1，∴DA2＝DE2＋EA2－2DE·EAcos∠DEA.＝∴DA＝.又sin∠DEA＝ ，根據(jù)正弦定理＝ ，∴sinA＝.變式2.在△ABC中，tanA＝，tanB＝. (1)求角C的大?。?(2)若△ABC最大邊的邊長為，求最小邊的邊長． 解答：(1)∵C＝π－(A＋B)，

∴tanC＝－tan(A＋B)＝＝－1. 又∵0<C<π，∴C＝.(2)∵C＝，∴AB邊最大，即AB＝又∵tanA<tanB，A、B∈(0，)，∴角A最小，BC邊為最小邊．由 且A∈(0，)，得sinA＝.由 得BC＝

.∴最小邊BC＝.1.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀：可通過正弦定理、余弦定理進行邊角轉化，其具體途徑是都轉化為角，利用三角函數(shù)變換確定三角形形狀，也可統(tǒng)一轉化為邊，利用代數(shù)式的變形，判斷三角形的形狀．2．三角形中的三角函數(shù)恒等變換．【例3】在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且cosA＝. (1)求sin2＋cos2A的值；(2)若a＝，求bc的最大值． 解答：(1)sin2＋cos2A＝[1－cos(B＋C)]＋(2cos2A－1) ＝(1＋cosA)＋(2cos2A－1)＝ (2)∵ ，∴bc＝b2＋c2－a2≥2bc－a2，∴bc≤a2， 又∵a＝，∴bc≤.當且僅當b＝c＝時，bc＝，故bc的最大值是.變式3.在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊， (1)求∠A的度數(shù)；(2)若a＝，b＋c＝3，求b、c的值． 解答：(1)∵B＋C＝π－A，即，由 得

，即2(1＋cosA)－(2cos2A－1)＝， 整理得4cos2A－4cosA＋1＝0，即(2cosA－1)2＝0.

∴cosA＝，又0°＜A＜180°，∴A＝60°.(2)由A＝60°，根據(jù)余弦定理cosA＝，即∴b2＋c2－bc＝3，①又b＋c＝3，②∴b2＋c2＋2bc＝9.③①－③整理得：bc＝2.④解②④聯(lián)立方程組得或【方法規(guī)律】1．正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式三個命題互為等價命題．2．在解三角形時，其三邊可視為確定三角形的基本量，可將有關角的條件轉化為邊，通過解方程組進行求解；也可考慮將有關邊的條件化為角解決三角函數(shù)問題．3．可利用正弦定理求三角形外接圓的半徑；可利用面積求三角形的高線和三角形的內(nèi)切圓半徑等．4．在解三角形時，有可能需要作輔助線，如例2等.

(2009·海南)(本小題滿分12分)為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向A，B兩點進行測量．A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(nèi)(如示意圖)．飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離．請設計一個方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標出)；②用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟．【答題模板】解答：解法一：①需要測量的數(shù)據(jù)有：A點到M，N點的俯角α1，β1，B點到M，N的俯角α2，β2；A，B間的距離d(如圖所示)．②第一步：計算AM.由正弦定理得AM＝第二步：計算AN.由正弦定理得AN＝第三步：計算MN.由余弦定理得MN＝ .解法二：①需要測量的數(shù)據(jù)有：A點到M，N點的俯角α1，β1；B點到M，N點的俯角α2，β2；A，B間的距離d(如圖所示)．②第一步：計算BM.由正弦定理得BM＝第