第一章計數(shù)原理23《排列組合的應(yīng)用》課時1

1.1.3排列組合的應(yīng)用（一）（1）使學(xué)生掌握組合數(shù)的計算公式、組合數(shù)

（2）會用排列數(shù)公式和組合數(shù)公式解決實際問題.

（3）通過學(xué)習組合知識，讓學(xué)生掌握類比的學(xué)習方法，并提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.本節(jié)課，我們對有關(guān)排列組合的幾種常見的解題策略加以復(fù)習鞏固。排列組合歷來是學(xué)習中的難點，通過我們平時做的練習題，不難發(fā)現(xiàn)排列組合題的特點是條件隱晦，不易挖掘，題目多變，解法獨特，數(shù)字龐大，難以驗證。同學(xué)們只有對基本的解題策略熟練掌握。根據(jù)它們的條件,我們就可以選取不同的技巧來解決問題.

對于一些比較復(fù)雜的問題,我們可以將幾種策略結(jié)合起來應(yīng)用把復(fù)雜的問題簡單化，舉一反三，觸類旁通，進而為后續(xù)學(xué)習打下堅實的基礎(chǔ)。從n個不同元素中,任取m個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.2.組合的定義:從n個不同元素中,任取m個元素,并成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.3.排列數(shù)公式:4.組合數(shù)公式:1.排列的定義:排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系:與順序有關(guān)為排列問題,與順序無關(guān)的為組合問題.有限制條件的排列組合綜合問題是主要考查方向．解決此類問題要遵循“誰特殊誰_______”的原則，采取分類或分步，或用間接法處理；對于選排列問題可采用先____后______的方法，分配問題的一般思路是先__________再分配．有限制條件的排列組合問題優(yōu)先選排選取有限制條件的排列組合問題常用方法一、直接法1.優(yōu)限法：先特殊后一般2.捆綁法：元素相鄰3.插空法：元素不相鄰二、間接法（排除法）4.其它方法：元素限制條件多一、直接法有特殊元素或特殊位置，通常先排特殊元素或特殊位置，稱為“優(yōu)限法”.畫龍點睛：特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略1.優(yōu)限法：例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個位置先排末位共有________

然后排首位共有______最后排其它位置共有_______由分步計數(shù)原理得=288位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法。B

（1）若其中的A小孩必須站在B小孩的左邊，有多少種不同的排法？BAA解：A在B左邊的一種排法必對應(yīng)著A在B右邊的一種排法，所以在全排列中，A在B左邊與A在B右邊的排法數(shù)相等，因此有：排法。（種）例2.七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。BA例2.七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。

（1）若其中的A小孩必須站在B小孩的左邊，有多少種不同的排法？（2）若前排站三人，后排站四人，其中的A.B兩小孩必須站前排且相鄰，有多少種不同的排法？AB解：A，B兩小孩的站法有：（種），其余人的站法有（種），所以共有（種）排法。例2.七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。變式1.

將5列車停在5條不同的軌道上，其中a列車不停在第一軌道上，b列車不停在第二軌道上，那么不同的停放方法有（）.（A）120種（B）96種（C）78種（D）72種解：7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？練習題1例2.七個家庭一起外出旅游，若其中四家是一個男孩，三家是一個女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。(3)若三個女孩要站在一起，有多少種不同的排法？解：將三個女孩看作一人與四個男孩排隊，有種排法，而三個女孩之間有種排法，所以不同的排法共有：（種）。捆綁法例2.七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。(4)若三個女孩要站在一起，四個男孩也要站在一起，有多少種不同的排法？不同的排法有：（種）捆綁法一般適用于問題的處理。相鄰一、直接法2.捆綁法：用于解決元素相鄰問題例2.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.變式1.

7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.甲乙丙丁由分步計數(shù)原理可得共有種不同的排法=480解：要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.練習1.解：共有種不同的排法.5個男生3個女生排成一排,3個女生要排在一起,有多少種不同的排法?

例2.七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。（5）若三個女孩互不相鄰，有多少種不同的排法？解：先把四個男孩排成一排有

種排法，在每一排列中有五個空檔（包括兩端），再把三個女孩插入空檔中有種方法，所以共有：（種）排法。插空法例2.七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。（5）若三個女孩互不相鄰，有多少種不同的排法？（6）若三個女孩互不相鄰，四個男孩也互不相鄰，有多少種不同的排法？不同的排法共有：（種）插空法一般適用于問題的處理?；ゲ幌噜徖?.七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。一、直接法3.插空法：元素不相鄰宜采用插空法變式1.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有

種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種

不同的方法,

由分步計數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有

種.相相獨獨獨元素不相鄰問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端變式1.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為

.

30練習1:（1）三個男生，四個女生排成一排，男生、女生各站一起，有幾種不同方法？（2）三個男生，四個女生排成一排，男生之間、女生之間不相鄰，有幾種不同排法？捆綁法：插空法：課堂練習:解：將１與２，３與４，５與６捆綁在一起排成一列有種，再將７、８插入4個空位中的兩個有種，故有種．（3）用１、２、３、４、５、６、７、８組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，而７與８不相鄰，這樣的八位數(shù)共有___________個．（用數(shù)字作答）（4）七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，則不同的排法有（

）種.(A)960種（B）840種（C）720種（D）600種解：另解：（5）學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票12張。8個學(xué)生，4個老師，要求老師在學(xué)生中間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？解

先排學(xué)生共有種排法,然后把老師插入學(xué)生之間的空檔，共有7個空檔可插,選其中的4個空檔,共有種選法.根據(jù)乘法原理,共有的不同坐法為種.結(jié)論

插入法:對于某兩個元素或者幾個元素要求不相鄰的問題,可以用插入法.即先排好沒有限制條件的元素,然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可.分析此題涉及到的是不相鄰問題,并且是對老師有特殊的要求,因此老師是特殊元素,在解決時就要特殊對待.所涉及問題是排列問題.實際問題轉(zhuǎn)化排列問題求排列數(shù)（建模）求數(shù)學(xué)模型的解得實際問題的解以元素相鄰為附加條件的應(yīng)把相鄰元素視為一個整體，即采用“捆綁法”；以某些元素不能相鄰為附加條件的,可采用“插空法”?！安蹇铡庇型瑫r“插空”和有逐一“插空”,并要注意條件的限定.有限制的排列問題限制條件：某位置上不能排某元素或只能排某元素常用方法：(1)直接法1.優(yōu)限法：先特殊后一般2.捆綁法：元素相鄰3.