函數(shù)的平均變化率2

變化率問(wèn)一教設(shè)意客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運(yùn)動(dòng)和變化著，因此，在數(shù)學(xué)中引入變量的概念（函數(shù)）后，就有可能把運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來(lái)加以描述.隨著對(duì)函數(shù)的研究的不斷深化產(chǎn)生了微積分它數(shù)學(xué)發(fā)展史上重要的里程碑?dāng)?shù)是微積分的核心概念之一數(shù)究的問(wèn)題即變化率問(wèn)題究某個(gè)變量相對(duì)于另一個(gè)變量變化的快慢程度。變化率問(wèn)題的發(fā)展具有豐富的歷史背景，涉及類(lèi)比符化等重要的數(shù)學(xué)思想，是典型的數(shù)學(xué)抽象過(guò)教材分“變化率問(wèn)題”是高中導(dǎo)數(shù)教學(xué)的開(kāi)始，是導(dǎo)數(shù)概念建立的核心，是研究瞬時(shí)變化率及其導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ)，在整個(gè)導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中占有極其重要的地教通過(guò)研究學(xué)生熟悉的“氣球膨脹率水這個(gè)活實(shí)例，歸納出它們的共同特征，抽象出一般函數(shù)平均變化率概念使學(xué)生理解平均變化刻畫(huà)了函數(shù)在某一區(qū)間上的變化情況掌握求平均變化率的一般步驟在一過(guò)程中滲從特殊到一般的化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程.學(xué)情分學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，學(xué)生具備了一定的函數(shù)知識(shí)，可以通過(guò)表格、圖像、關(guān)系式三種不同的函數(shù)表現(xiàn)形式，求解函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)“因變量的增量與自變量的增量的比值，并能從圖像中看出函數(shù)變化的快與慢同時(shí)學(xué)生已在物理中學(xué)習(xí)平均速度、瞬時(shí)速度、加速度等概念，比較容易理解可以用“平均速度”刻畫(huà)物體在一段時(shí)間內(nèi)的速.教學(xué)任教學(xué)目標(biāo)）知識(shí)與技能通過(guò)豐富的實(shí)例，讓學(xué)生經(jīng)歷平均變化率概念的形成過(guò)程，體會(huì)平均變化率是刻畫(huà)變量變化快慢程度的一種數(shù)學(xué)模型.（2過(guò)程與方法理解平均變化率的概念了解平均變化率的幾何意義計(jì)算函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的平均變化率（3情感、態(tài)度與價(jià)值觀感受數(shù)學(xué)模型刻畫(huà)客觀世界的作用數(shù)抽象的過(guò)程步領(lǐng)會(huì)變量數(shù)學(xué)的思想，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能.oooo教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)平均變化率的概.教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)平均變化率的概念形成過(guò)程的抽.二教過(guò)設(shè)【題境情境：在經(jīng)營(yíng)某商品中，甲掙到10萬(wàn)，乙掙到2萬(wàn)，如何比較和評(píng)價(jià)甲、乙兩人的經(jīng)營(yíng)成果；在經(jīng)營(yíng)某商品中，甲用5年間掙到萬(wàn)元，乙用5個(gè)月時(shí)間掙到元，如何比較和評(píng)價(jià)甲、乙兩人的經(jīng)營(yíng)成師生活動(dòng)：學(xué)生小組討論后一致認(rèn)為，問(wèn)題）不能很好的評(píng)價(jià)兩人的經(jīng)營(yíng)成果，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)變量，而問(wèn)題）兩個(gè)變量，通過(guò)計(jì)算、乙兩人的月平均收入，發(fā)現(xiàn)乙的經(jīng)營(yíng)成果好于甲.設(shè)計(jì)意圖通兩個(gè)實(shí)例分析讓學(xué)生明白僅僅比較一個(gè)變量的變化是不科學(xué)的，引導(dǎo)學(xué)生從平均變化去分析問(wèn)題情境：現(xiàn)有株洲市某年3月18日4月20日每天氣溫最高溫度統(tǒng)計(jì)圖：（注：月日為第一天）你從圖中獲得了哪些信息？在4月18日20日株市市民普遍感“氣溫驟”而在3月18日4月18日卻沒(méi)有這樣的感覺(jué)，這是什么原因怎樣從數(shù)學(xué)的角度描氣溫變化的快慢程度呢師生討論，教師板書(shū)總結(jié)：分析：這一問(wèn)題中，存在兩個(gè)變時(shí)和氣，當(dāng)時(shí)間從到32氣溫從3.5C增加到18.6，氣溫平均變化

18.63.532

，oooo當(dāng)時(shí)間從32到氣溫從C增加到氣溫平均變化

33.434

，因?yàn)?.4>0.5,所以，從32日日氣溫變化的更快教師過(guò)渡:“

3.532

表示時(shí)間從3月18日4月”時(shí)，氣溫的平均變化率提出問(wèn)題：先說(shuō)一說(shuō)“平均”的含義，再說(shuō)一說(shuō)你對(duì)“溫平均變化率”的理解。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷討論、計(jì)算后，能從數(shù)學(xué)的角度去分溫增，會(huì)在不同的區(qū)間內(nèi)平均變化率的不同，潛意識(shí)地讓學(xué)生能抽象出平均變化率這一概念。【作究探究一：高臺(tái)跳水人們把高臺(tái)跳水稱(chēng)之中芭蕾水中動(dòng)相對(duì)于水面的高度位：）起跳后的時(shí)間t（位：）存在函數(shù)關(guān)系：t)6.5

（單如果我們用該運(yùn)動(dòng)員在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度

v

描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，則：（1該運(yùn)動(dòng)員在

0.5

這段時(shí)間里的平均速度是多少？（2該運(yùn)動(dòng)員在

這段時(shí)間里的平均速度是多少？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立的計(jì)算出：在

0.5

這段時(shí)間里v

h(0)

4.05(/s)

；在

這段時(shí)間里v

h(1)2

/s)思考：當(dāng)時(shí)間t增加到時(shí)該運(yùn)動(dòng)員的平均速度怎么計(jì)算？師生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)問(wèn)題1解決，討論后自然得出ht)(t)v1t21設(shè)計(jì)意圖學(xué)動(dòng)手計(jì)算平均速在計(jì)算的過(guò)程中感受求平均速度的方法一步為平均變化率的的概念的發(fā)生作準(zhǔn)備探究二：曲線割線的斜率已知曲線

f(x)x

3

（1過(guò)曲線上兩點(diǎn)

O(0,f

和

f(2))

的割線的斜率是多少？（2過(guò)曲線上兩點(diǎn)

Q(1,f(1))

和

f(2)

的割線的斜率是多少？（3過(guò)曲線上兩點(diǎn)

f和Pf(2))

的割線的斜率是多少？師生活動(dòng)：學(xué)生利用求直線斜率公式很容易算出：（1

k

OP

f(2)f(0)82

；

kk

MP

f(2)f2ff272思考：過(guò)曲線上兩點(diǎn)

P

和

Q(1

作曲線的割線，則割線的斜率是多少？師生活動(dòng)：通過(guò)前面的活動(dòng)，結(jié)合求直線斜率的公式，學(xué)生容易得出：k

(1設(shè)計(jì)意圖通問(wèn)題的解決，能學(xué)生用平均變化率的大小來(lái)描述曲線之陡”的變化程度，為闡述平均變化率的幾何意義作準(zhǔn).【構(gòu)識(shí)問(wèn)題通過(guò)上面的問(wèn)題的解決，你認(rèn)為可用怎樣的數(shù)學(xué)模型刻畫(huà)變量變化快慢的程度？學(xué)生回答：用平均變化率來(lái)刻畫(huà)變量變化快慢的程度。問(wèn)題：如果上面的問(wèn)題中的函關(guān)系用可以用什么樣的式子表示？fx)fx)1學(xué)生回答：x1師生一起歸納：．平均變化率的定義：

yf(x

表示，那么，問(wèn)題中的平均變化率對(duì)于函數(shù)

yf(x

，給定自變量的兩個(gè)值x和x，當(dāng)自變量從變?yōu)閤時(shí)函數(shù)22值從

fx)

變?yōu)?/p>

f(x)

，我們把式子

fx)fx)1x1

稱(chēng)為函數(shù)

f()

從

x到x

的平均變化率。習(xí)慣上用表示，即x，把作是相對(duì)于x的個(gè)增量”，121可用

代替

；類(lèi)似地，

fx)f()1

，于是，平均變化率可表示為

。．求平均變化率的步驟：(1)求自變量的增量

x

；(2)求函數(shù)值的增量

(x)fx)1

；(3)計(jì)算平均變化率

f()(x)21

。計(jì)算，時(shí)注意“被減數(shù)”和“減數(shù)”的前后對(duì)應(yīng)關(guān)系，比如：若函數(shù)值的增量為

(xfx00

，則相應(yīng)的自變量的增量為(200

。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生能從問(wèn)題情景中抽象出平均變化率的概念，體會(huì)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展，并潛移默化的滲透從具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征?！咀R(shí)用例1：已知某物體的運(yùn)動(dòng)方程為

t（的位，的位：s）求（）物體在

t00

這段時(shí)間里的平均速度；（）斷該物體在

0

和

2

這兩段時(shí)間里哪一段的平均速度大。師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立完成，然后小組討論，每組派一名代表匯報(bào)本組成果。解）

v

[(t

2(t)](t0

t)

2(/

；（2在

這段時(shí)間的平均速度是

v5(/)1

，在

這段時(shí)間的平均速度是

v7(m)2

，因此，在

這段時(shí)間的平均速度大例2：已知函數(shù)

f()2x2x

。（）當(dāng)

且

時(shí)，函數(shù)的平均變化率

；（）當(dāng)

且

時(shí)，函數(shù)的平均變化率

；（）設(shè)

x

，分析（1）問(wèn)中的平均變率的幾何意義。解：函數(shù)的平均變化率

f((x)11x

，xx所以）

21

；（2

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)練習(xí)讓生從不同的角度再一次認(rèn)識(shí)函數(shù)的平均變化率且化學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題.【識(shí)建】問(wèn)題：結(jié)合前面所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，你認(rèn)為函數(shù)平均變化率的幾何意義是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生小組討論，每個(gè)小組派代表發(fā)言。

yy

f

f

f

x

師生歸納：函數(shù)平均變化率的幾何意義：

x設(shè)

(x,f(x

，

(x,x2

是曲線

yf()

上任意不同的兩點(diǎn)，函數(shù)

f()

的平均變化率

f(x)f()f(xf()22

為割線

的斜率。設(shè)計(jì)意圖：體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生不要“得數(shù)忘形【礎(chǔ)測(cè)檢效】在平均變化率中，自變量的增量應(yīng)足（）

C.

0

2設(shè)函數(shù)

yf()

，當(dāng)自變量x由x改到x00

時(shí)，函數(shù)值的改變量）

f(x0

f(x)0

C.

f()0

ff()0一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是

t

，則在時(shí)間段

1,1

內(nèi)相應(yīng)的平均速度為（）

2

C.

2

已函數(shù)

fx)2

2

圖像上一點(diǎn)

及鄰近一點(diǎn)

(1

，則

設(shè)計(jì)意圖：落實(shí)課堂效果.【堂結(jié)從知識(shí)角度分析：．函數(shù)的平均變化率可以表示函數(shù)值在某個(gè)范圍內(nèi)變化的快慢；平均變化率的幾何意義是曲線割線的斜率，是曲線陡峭程度的“數(shù)量化際問(wèn)題中表示事物變化的快慢．．求函數(shù)fx)的平均變化率的步驟：(1)求函數(shù)值的增Δy＝f)－(x)22121Δyf（）fx）(2)計(jì)算平均變化率＝.Δx－x21從數(shù)學(xué)思想方法角度分析：從實(shí)例出發(fā)，抽象出函數(shù)平均變化率的概念、計(jì)算方法，體現(xiàn)了歸納猜想，數(shù)學(xué)抽象，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想。設(shè)計(jì)意圖：梳理知識(shí)，歸納方法、體會(huì)思【識(shí)探】探究：在高臺(tái)跳水問(wèn)題中，請(qǐng)完成下列問(wèn)題（1計(jì)算該運(yùn)動(dòng)員在

0

6549

這段時(shí)間里的平均速度；運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里是靜止的嗎？你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題？師生活動(dòng)：學(xué)生經(jīng)過(guò)計(jì)算驚訝的發(fā)現(xiàn)在

0

6549

這段時(shí)間里的平均速度是v

()(0)

。但運(yùn)動(dòng)員又是不可能靜止的，這是為什么呢？師生討論后得出結(jié)論平均速度不能反映出運(yùn)動(dòng)狀態(tài)別是當(dāng)運(yùn)動(dòng)方向改變時(shí)平均速度反映不出物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。設(shè)計(jì)意圖學(xué)知道均速度只能粗略地描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)能反映物體的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，要反映每一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)需學(xué)習(xí)后面的內(nèi)容才能做到學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)起到承前啟后的作用。【學(xué)思數(shù)學(xué)概的形成是水到渠成的函數(shù)平均變化率概念的發(fā)現(xiàn)過(guò)程是典型的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程過(guò)問(wèn)題情景合作探究在學(xué)生活動(dòng)思過(guò)程中不斷的提供契機(jī)讓學(xué)生再創(chuàng)造函數(shù)平均變化率概念讓學(xué)生積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).數(shù)學(xué)核