數(shù)學(xué)-計(jì)算方法第1章誤差

海洋大學(xué)海洋與氣象于 : 樓計(jì)算IntroductiontoNumericalComputational 時(shí) 分課程性質(zhì)：閉卷考成績(jī)組成：期末（70%）+平時(shí) 材：《計(jì)算方法引論薇、孫繩武著，高等教計(jì)算方法的主要內(nèi)誤差§，插值與數(shù)值微分§，數(shù)值積分§§方程的解法法。計(jì)算方法的定課程的主要目際問題而提供的一種計(jì)算工具，故的任務(wù)培養(yǎng)學(xué)生基本的和必要的數(shù)值計(jì)算方面的知建建立數(shù)學(xué)模選取計(jì)算方編寫上機(jī)程計(jì)算得出結(jié)第1誤差的來(lái)源數(shù)值運(yùn)算中應(yīng)注意的事項(xiàng)誤差來(lái)1、模型誤2、觀測(cè)誤3、截?cái)嗾`4、舍入誤模型誤模型誤差例

s(t1gt2，（g為重力加速度2來(lái)描述物體自由下落時(shí)距離與時(shí)間的關(guān)系．設(shè)自由落體在

t時(shí)的實(shí)際下落距離

，st

觀測(cè)誤數(shù)據(jù)受工具、方法、觀測(cè)者的因素、不可預(yù)觀測(cè)誤差例例設(shè)一根鋁棒在溫

t時(shí)的實(shí)際長(zhǎng)度

Lt

t時(shí)的實(shí)際長(zhǎng)度為 ，用lt來(lái)表示鋁棒在溫度為度計(jì)算值，并建立數(shù)學(xué)模型ltL0(1t)其中cc

時(shí)的，則

Lt

的“測(cè)誤差截?cái)嗾`稱為截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差例exex展開為級(jí)數(shù)形 x x 1x 2! n在實(shí)際計(jì)算時(shí)，我們只取前面有限項(xiàng)（例n項(xiàng)nx nSn(x)1x 2!計(jì)算Sn(x)作為ex的值必然產(chǎn)生誤差，其誤差為xRn(x)kn k這個(gè)誤差就是“截?cái)嗾`差舍入誤舍入誤差例

，2，10.333，2，3

如果取小數(shù)點(diǎn)后四位數(shù)字，l13.1416，2l21.4142 2l0.33331 就是“舍入誤誤差來(lái)源分總之，誤差一般來(lái)自模型誤差、觀測(cè)誤差、截?cái)嗾`誤算導(dǎo)，較 現(xiàn) 能。誤差理誤差、誤差限、有效數(shù)相對(duì)誤差及與有效數(shù)字的算術(shù)運(yùn)算的誤差和相對(duì)誤誤差的概

設(shè)x為準(zhǔn)確值x*x的一個(gè)e*x*x為近似x*的絕對(duì)誤差簡(jiǎn)稱誤差絕對(duì)誤差為負(fù)時(shí)，近似值偏小，則稱弱近似值絕對(duì)誤差通常我們并不知道準(zhǔn)確x，也不能算出誤差的差的絕對(duì)值的上限，這個(gè)上限稱為近似值x*的誤差限。記為*e*

xx

e*在工程中常記為xx*即x[x*x*]內(nèi)。在應(yīng)用上，常常采用上述寫絕對(duì)誤差限例例我們用一把毫米刻度的米尺來(lái)測(cè)量桌子的長(zhǎng)度x，xx*x1235 1234.5x這表明x在區(qū)[1234.5,1235.5]內(nèi)x1235相對(duì)誤e* x*e

x*e* r r

稱作近似 的相對(duì)誤差，記作r。相對(duì)誤是無(wú)量綱的量，常用百分比表示，它可正可負(fù)相對(duì)誤差相對(duì)誤差也不能準(zhǔn)確計(jì)算，而是用相對(duì)誤差限e估計(jì)的e*r*

*x*x*x

r*rr 就是相對(duì)誤差限，或者記為 相對(duì)誤差限例稱兩堆蘋果，第一堆10kg，誤差為1kg；第二堆為100kg，誤差為2kg，雖然后者的誤差限比到該數(shù)本身的大小

e

e

顯然，稱第一堆蘋果的相對(duì)誤差大有效數(shù)字位定義1.3如果

的近似

x*的絕對(duì)誤差限是某一位上的半個(gè)單位，我們就說(shuō)x*準(zhǔn)確到該的所有數(shù)字稱為

的有效數(shù)字定義：如

x*

12則說(shuō)x*x準(zhǔn)確到小數(shù)后第n位，并從這第n，。

12

3.140.001592 有效位數(shù)為3

1212

有效位數(shù)為5 有效位數(shù)為6重要定理、a10pn設(shè)近似x*a10pn

，其中a10a1,a2 ,

都是0-9中的一個(gè)數(shù)字，p是整數(shù) x*

110pn則近似值x*n例題分

x*3587.64 x的具有六位有效字的近x*x110461 若x* 是近似值，則

的具有五位有效數(shù)字x*x

110251 例已知x2.71828182,其近似值為x*2.718r求x*的絕對(duì)誤差限*和相對(duì)誤差限*.r 絕對(duì)誤差e*x*0.00000182|e*|0.00000182 0.000002210*2106和并不*和并不*r是唯一的！

2106 |x* 2.7180.71106 若經(jīng)四舍五入取小數(shù)點(diǎn)后3,5,7位數(shù)的近似值,求絕對(duì)誤差限* 3.14159265

|*| 3.14159 3.141592

0.0004070.000002650.00000004

0.51030.51050.5107四則運(yùn)算的誤絕對(duì)誤差：ex*x例如下列式子說(shuō)明什么?數(shù)值計(jì)算中應(yīng)該注意的一些要使例：求解：由

1dx（n0,1,2,8）的值1x

1

5xn1dn 1xn1dx

x 初1 1

dxln6ln5

x遞推公I(xiàn)0 1 (n1, ,

(*)式就可以逐步I115I0 1 1

注意此公式精確成 1

不穩(wěn)定的算 1 1 這就是誤 所引起的危害15，改變公 變將公

1

(Kn,n

k 5不妨設(shè)

I，于是

11

5可求得I90.017，按公式（**）可逐次求I8 I7I6I4I2I0

I5I3I1

穩(wěn)定的誤差 與積蝴蝶效應(yīng)——紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風(fēng)和日麗 以上是一個(gè)問題 輸了一場(chǎng)戰(zhàn)斗，亡了一個(gè)要避:求x1xyx1x

的值。當(dāng)x1000，y的準(zhǔn)確值為0.01580y 2、將（*）改寫x1xx1xx1xx1x則y類似

lnxlnylny

sin(x)sinx2cosx2sin 例 2.7182如分母變?yōu)?.0011，也即分母只有0.0001的變化2.7182精確

x2 (1091)x