結(jié)構(gòu)力學(xué)(A)2-極限荷載課件

結(jié)構(gòu)的極限荷載基本概念極限彎矩計算超靜定梁的極限荷載判定極限荷載的一般定理剛架的極限荷載習(xí)題課§15-1概述1、線彈性體系彈性分析彈性設(shè)計法彈性設(shè)計法的最大缺陷是以某一局部的σmax>[σ]，作為衡量整個結(jié)構(gòu)破壞的標(biāo)準(zhǔn)。事實上，對于塑性材料的結(jié)構(gòu)（特別是超靜定結(jié)構(gòu)）當(dāng)σmax=[σ]時，結(jié)構(gòu)還沒破壞。因此彈性設(shè)計法不能正確地反映整個結(jié)構(gòu)的安全儲備，是不夠經(jīng)濟的。2、塑性分析極限荷載考慮材料的塑性，按照結(jié)構(gòu)喪失承載能力的極限狀態(tài)來計算結(jié)構(gòu)所能承受的荷載的極限值。塑性設(shè)計法從整個結(jié)構(gòu)的承載能力考慮，更切合實際。3、理想彈塑性材料（物理關(guān)系）εσσ<σy，σ=Eεσyεyσ=σy

，σ不增，ε繼續(xù)增加。卸載Δσ=EΔε

小變形、應(yīng)力與應(yīng)變成正比、位移與荷載呈線性關(guān)系，無殘余變形。結(jié)構(gòu)在正常使用情況下，彈性分析能給出相當(dāng)精確的結(jié)果。荷載不再增加，變形繼續(xù)增加塑性分析時平衡條件、幾何條件、平截面假定與彈性分析相同。由此看到，①材料加載是彈塑性的，卸載是彈性的；②經(jīng)歷塑性變形之后，應(yīng)力與應(yīng)變之間不再存在單值對應(yīng)關(guān)系。要得到彈塑性解答，需要追蹤全部受力變形過程，所以結(jié)構(gòu)的彈塑性分析比彈性分析要復(fù)雜的多。而結(jié)構(gòu)的極限分析不考慮彈塑性變形的發(fā)展過程，直接研究論結(jié)構(gòu)的破壞狀態(tài)求出極限荷載，因而比較方便。塑性分析只適用于延性較好的彈塑性材料而不適用于脆性材料；對于變形條件要求較嚴(yán)的結(jié)構(gòu)也不易采用彈塑性分析方法。σσ（b）

一、極限彎矩彈性階段（b）（彈性極限彎矩，或屈服彎矩）彈塑性階段（c）塑性階段(d)彈性核消失，整個截面達到塑性流動，彎矩達到極限彎矩Mu.hbyz（a）σyσy（b）σyσy（c）σyσy（d）在彈性核內(nèi)，應(yīng)力按線性分布，彎矩與曲率呈非線性。y0極限彎矩是整個截面達到塑性流動時截面所能承受的最大彎矩。它主要與σy和截面形狀尺寸有關(guān)，剪力對它的影響可忽略不計。截面形狀系數(shù)§15-2極限彎矩、塑性鉸、極限狀態(tài)隨著M的增大，梁會經(jīng)歷Py0h/2y0σyσykyk形心軸σσy（b）σyσy（c）y0σyσy（d）彈性階段（b）應(yīng)力按直線分布，中性軸通過形心。彈塑性階段（c）塑性階段（d）截面達到塑性流動中性軸的位置隨彎矩的大小而變。截面軸力為零：S1、S2分別為拉、壓區(qū)面積對中性軸（等分截面軸）的靜矩。Wy稱為塑性截面模量。A1A2=A1其它截面等面積軸極限狀態(tài)時中性軸平分截面面積即等分截面軸。隨著M的增大，梁會經(jīng)歷矩形截面的截面形狀系數(shù)為α=

。(鄭大04)塑性截面模量Wy和彈性截面模量W的關(guān)系是

。(天大97)

AWy

=WBWy

>WCWy

<WD答案BC都有可能

塑性階段，截面的中性軸位于

A截面形心

B截面中心

C截面對角線

D等分截面軸截面極限彎矩與下列內(nèi)頁因素有關(guān)？

A截面形狀

B截面尺寸

C材料屈服應(yīng)力

D荷載A112020202080已知材料的屈服極限σy=240MPa，求截面的極限彎矩。(mm)等分截面軸A2應(yīng)力的單位用（Pa）長度單位用（m）力的單位用（N）得到彎矩單位（N.m）或者應(yīng)力的單位用（MPa）長度單位用（mm）力的單位用（N）得到彎矩單位（N.mm）二、塑性鉸：當(dāng)截面達到塑性流動階段時，極限彎矩保持不變，C截面的縱向纖維塑性流動（伸長或縮短），于是兩相鄰截面可產(chǎn)生有限的相對轉(zhuǎn)動。稱該截面形成了塑性鉸。MuMuPCPC塑性鉸與真實鉸的區(qū)別塑性鉸真實鉸承受極限彎矩不承受彎矩單向鉸雙向鉸卸載而消失不消失位置隨荷載的分布不同而變化位置固定CPu塑性鉸的形成過程橫向荷載通常剪力對承載力的影響很小，可忽略不計，純彎導(dǎo)出的結(jié)果橫彎仍可采用。在加載初期，各截面彎矩≤彈性極限彎矩My→某截面彎矩=My

彈性階段結(jié)束。此時的荷載叫彈性極限荷載Py。當(dāng)P>Py，在梁內(nèi)形成塑性區(qū)。隨著荷載的增大，塑性區(qū)擴展→形成塑性鉸，繼續(xù)加載，→形成足夠多的塑性鉸（結(jié)構(gòu)變成破壞機構(gòu)）。三、極限狀態(tài)當(dāng)結(jié)構(gòu)形成足夠多的塑性鉸時，結(jié)構(gòu)變成幾何可變體系（破壞機構(gòu)），形成破壞機構(gòu)的瞬時所對應(yīng)的變形狀態(tài)稱為結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)，此時的荷載即為極限荷載。如果只限于求結(jié)構(gòu)的極限荷載，可不考查其實際的內(nèi)力和變形情況，將破壞機構(gòu)作為分析對象，根據(jù)極限狀態(tài)結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分布，按平衡條件求極限荷載，這種方法稱為極限平衡法。彈塑性分析全過程Pll例15-1求圖示簡支梁的Pu。P靜力法：根據(jù)平衡條件得：θ2θMuMuΔ機動法：采用剛塑性假設(shè)畫機構(gòu)虛位移圖虛功方程：靜力法根據(jù)塑性鉸截面的彎矩Mu，由平衡方程求出.極限平衡法求Pu機動法利用機構(gòu)的極限平衡狀態(tài)，根據(jù)虛功方程求得。1、超靜定梁的破壞過程和極限荷載的特點超靜定梁必須出現(xiàn)足夠多個塑性鉸，才變成機構(gòu)，從而喪失承載能力，破壞。Pl/2l/2彈性階段（P≤Py）P≤PyACBACB彈塑性階段（Py<P<Pu）A截面形成塑性區(qū)→擴大→C截面形成塑性區(qū)→A截面形成第一個塑性鉸.Py<P<PuACBMU塑性階段（P→Pu）MA=Mu不增MC增→

MuC截面形成第二個塑性鉸PuACBMUMU§15-3超靜定梁的極限荷載Pul/4PuACBMUMU求極限荷載靜力法根據(jù)極限狀態(tài)的彎矩圖,求極限荷載1）如能事先判斷出超靜定梁的破壞機構(gòu)，就無須考慮結(jié)構(gòu)的彈塑性變形的發(fā)展過程，直接利用機構(gòu)的平衡條件求Pu。2）超靜定結(jié)構(gòu)極限荷載的計算,只需考慮平衡條件，而無須考慮變形協(xié)調(diào)條件。因而計算比彈性計算簡單。3）超靜定結(jié)構(gòu)極限荷載,不受溫度改變,支座移動等因素的影響。4）假定等截面單跨超靜定梁破壞機構(gòu)的原則：①跨中塑性鉸只能出現(xiàn)在集中力作用點處或分布荷載分布范圍內(nèi)剪力為零處。②當(dāng)梁上荷載同為向下作用時，負(fù)塑性鉸只可能出現(xiàn)在固定端處。例17-2求圖示變截面梁的極限荷載。l/3l/3l/3PABDCMu解：AB、BC段的極限彎矩不同。塑性鉸可能出現(xiàn)在A、D和B處，破壞機構(gòu)的可能形式既與突變截面位置有關(guān)，也與有關(guān)。1）B、D出現(xiàn)塑性鉸的破壞機構(gòu)PABCMuMuΔθ2θMuMuMuMu3Mu如MA=3Mu>該破壞機構(gòu)實現(xiàn)的條件是：3Mu2）A、D出現(xiàn)塑性鉸的破壞機構(gòu)PABCMuMuΔθ1θ2該破壞機構(gòu)實現(xiàn)的條件是：3MuMu兩種破壞機構(gòu)都能實現(xiàn)，出現(xiàn)三個塑性鉸A、B、D。4）對于變截面梁，負(fù)塑性鉸可能會出現(xiàn)在跨間。3）如果uuMM3=￠MU例15-3求圖示單跨超靜定梁的極限荷載Pu。MU↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qlABCxAC段平衡：BC段平衡：由(a)(b)得：在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計，這種梁在實際荷載q作用下跨中截面的塑性計算彎矩近似地取為?！齫lMU=Mu例15-4求圖示單跨超靜定梁的極限荷載Pu。x如將跨間塑性鉸取在中點，則：均布荷載作用下，如桿件兩端彎矩在基線同側(cè)且懸殊不太大時，可將跨間塑性鉸取在中點。圖示等截面梁發(fā)生塑性極限破壞時，梁中最大彎矩發(fā)生在

。(東南96)

Aa Bb Cc Dd圖(a)變截面梁形成圖(b)的破壞機構(gòu)的條件是。()圖示變截面超靜定梁的破壞機構(gòu)不可能是l/2l/2↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qMUMUqul2/8↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓α=

1/11－1/111/16－1/16………鋼筋混凝土連續(xù)梁考慮塑性內(nèi)力充分布的計算中，多采用彎矩調(diào)幅法。即先按彈性分析求出結(jié)構(gòu)的截面彎矩，然后將支座彎矩降低，跨中彎矩增大。2、連續(xù)梁的極限荷載設(shè)梁在每一跨內(nèi)是等截面，但各跨的截面可以不同。設(shè)荷載的作用方向彼此相同（向下），并按比例加載。對于等截面梁，最大負(fù)彎矩只可能在支座處，負(fù)塑性鉸只可能出現(xiàn)在支座處，只可能在各跨內(nèi)獨立形成破壞機構(gòu)，而不可能由相鄰幾跨聯(lián)合形成一個破壞機構(gòu)(且遵循單跨梁形成破壞機構(gòu)的原則)PPPPPP連續(xù)梁破壞機構(gòu)的可能形式只可能在各跨內(nèi)獨立形成破壞機構(gòu)，

例：圖示各跨等截面連續(xù)梁，第一、二跨正極限彎矩為Mu，第三跨正極限彎矩為2Mu，各跨負(fù)極限彎矩為正極限彎矩的1.2倍，求qu。

ql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q1.5qll/20.75ll/2lMuMu2Mu0.75l1.2Mu1.2Mu2.4Mu解：靜力法畫出各跨單獨破壞時的極限彎矩圖。尋找平衡關(guān)系求出相應(yīng)的破壞荷載。Mu1.2Mu1.2Mu2.4MuMu2Mu第一跨單獨破壞時：相應(yīng)的破壞破壞荷載：二三

ql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q1.5qlΔθ2θ

ql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q1.5ql

ql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q1.5qlΔθ2θ第一跨破壞：第二跨破壞：第三跨破壞：Δθ2θ

ql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q1.5qll/20.75ll/2lMuMu2Mu0.75l1.2Mu1.2Mu2.4Mu解：機動法給出各跨單獨破壞時的虛位移圖。由虛功方程求出相應(yīng)的破壞荷載。例：圖示連續(xù)梁，已知：Mu1=50kN.m，Mu2=70kN.mMu3=90kN.m，求Pu。P↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=0.2P15P1.5P3m2m2m2m3m8mMu1Mu2Mu3解：作出各跨破壞時的彎矩圖支座彎矩取左右兩跨較小者5050707090第一跨：第二跨：第三跨：90例：圖示連續(xù)梁，已知：Mu1=50kN.m，Mu2=70kN.mMu3=90kN.m，求Pu。P↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=0.2P1.5P1.5P3m2m2m2m3m8mMu1Mu2Mu3P↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=0.2P1.5P1.5PΔθ2θP↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=0.2P1.5P1.5PP↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=0.2P1.5P1.5PΔθ1.5θΔθ2θ一、預(yù)備知識：1、前提條件比例加載：荷載按同一比例增加，且不卸載。假設(shè)材料為理想彈塑性材料。截面的正負(fù)極限彎矩絕對值相等。且忽略軸力和剪力對極限彎矩的影響2、極限受力狀態(tài)應(yīng)當(dāng)滿足的一些條件1、平衡條件：2、內(nèi)力局限條件：│M│≤Mu3、單向機構(gòu)條件：在極限受力狀態(tài)中，出現(xiàn)足夠數(shù)量的塑性鉸使結(jié)構(gòu)變成機構(gòu)，能夠沿荷載作正功的方向做單向運動。3、兩個定義1、對于任意單向破壞機構(gòu)，用平衡條件求得的荷載值稱為可破壞荷載P+(滿足1、3條）2、如果對某個荷載，能找到一內(nèi)力狀態(tài)與之平衡且各截面內(nèi)力都不超過極限值，則此荷載稱為可接受荷載P－(滿足1、2條）極限荷載既是可接受荷載，又是可破壞荷載。§15-4比例加載時判定極限荷載的一般定理二、一般定理及其證明1）基本定理：P+≥P－

證明：取任一P+列虛功方程

P+Δ=∑│Mui││θi│再取任一P－列虛功方程

P－Δ=∑│M－i││θi│根據(jù)：M－i≤│Mui│∑│M－i││θi│≤∑│Mui││θi│∴P+≥P－2）唯一性定理:

Pu的值是唯一確定的。

證明：設(shè)存在Pu1，Pu2

將Pu1視為P+，Pu2視為P－

則有：Pu1≥

Pu2將Pu2視為P+，Pu1視為P－

則有：Pu2≥

Pu1∴Pu2=

Pu13）上限定理(極小定理)：可破壞荷載是極限荷載的上限。或者說，極限荷載是可破壞荷載中的極小者。證明：因為極限荷載是可接受荷載，所以由基本定理它小于可破壞荷載。Pu≤P+4）下限定理(極大定理)：可接受荷載是極限荷載的下限。或者說，極限荷載是可接受荷載中的極大者。證明：因為極限荷載是可破壞荷載，所以由基本定理它大于可接受荷載。Pu≥P－上、下限定理可用來求極限荷載的近似解，給出精確解的范圍。也可用來尋求精確解。為了求極限荷載，可列出所有可能的破壞機構(gòu)，利用極限平衡法一一求出所對應(yīng)的可破壞荷載，其中最小的即極限荷載。（窮舉法或機構(gòu)法，基于上限定理）。選一破壞機構(gòu)，利用極限平衡法求出相應(yīng)的破壞荷載，作出彎矩圖檢查各截面彎矩是否大于其極限彎矩，即檢查是否滿足內(nèi)力局限條件。若滿足，所得可破壞荷載即極限荷載；若不滿足，則另選一破壞機構(gòu)繼續(xù)計算。（試算法，基于唯一性定理）l/2l/2Pl/32l/31.2PABC例:已知等截面梁的極限彎矩為Mu，用試算法求Pu解：①取第一跨的破壞機構(gòu)。P1.2PABC相應(yīng)的彎矩圖P1.2PABC②由平衡條件求相應(yīng)的可破壞荷載：E③求出各截面彎矩均<Mu既是可破壞荷載,又是可接受荷載。MuMu

例：15-5設(shè)有一n跨連續(xù)梁，每跨為等截面，但各跨梁的橫截面可以相同也可以不相同。試證明此連續(xù)梁的極限荷載就是每個單跨破壞機構(gòu)相應(yīng)的可破壞荷載中的最小者。證明：n個單跨破壞機構(gòu)→根據(jù)唯一性定理：已知是一可破壞荷載，還需證明它也是一可接受荷載作用下存在一個可接受的彎矩圖,它是可接受荷載.所以:MuMuP1.2PABC作用下的彎矩圖ME=MuE作用下ME<Mu↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qlACx解：A處形成一塑性鉸塑性鉸C的位置待定。θAΔθc例15-4用下限定理求圖示梁的極限荷載。1.375Mu0.05Mul/4l/4l/43PABDCl/4E4P2P例求等截面梁的極限荷載,Mu=常數(shù).解法1：試算法①取一破壞機構(gòu)求其對應(yīng)的破壞荷載3P4P2PMuMu3P4P2P5P4P1.5Pl1.25PlPl②檢驗內(nèi)力狀態(tài)是否滿足內(nèi)力局限條件.③內(nèi)力狀態(tài)不滿足內(nèi)力局限條件0.5Mu0.75Mul/4l/4l/43PABDCl/4E4P2P①再取破壞機構(gòu)求其對應(yīng)的破壞荷載3P4P2PMuMu3P4P2P5P4P1.5Pl1.25PlPl②檢驗內(nèi)力狀態(tài)是否滿足內(nèi)力局限條件.③內(nèi)力狀態(tài)滿足內(nèi)力局限條件1.375Mu0.5Mul/4l/4l/43PABDCl/4E4P2P解法2：用上、下限定理求解的范圍或近似解①取一破壞機構(gòu)求其對應(yīng)的破壞荷載3P4P2PMuMu3P4P2P5P4P1.5Pl1.25PlPl②檢驗內(nèi)力狀態(tài)是否滿足內(nèi)力局限條件.③內(nèi)力狀態(tài)不滿足內(nèi)力局限條件1.375Mu0.5Mul/4l/4l/43PABDCl/4E4P2P解法2：用上、下限定理求解的范圍或近似解3P4P2PMuMuM圖不滿足內(nèi)力局限條件，將其乘以1/1.375進行折減，就滿足了內(nèi)力局限條件。④Mu0.36Mu3P4P2P0.72Mu0.72Mu相應(yīng)的荷載便成為可接受荷載：⑤由上、下限定理知：⑥若取平均值為極限荷載的近似值，則得到：l/4l/4l/43PABDCl/4E4P2P①考慮A、C出現(xiàn)塑性鉸而形成的破壞機構(gòu)3P4P2PMuMu3P4P2P5P4P1.5Pl1.25PlPl解法3：窮舉法3P4P2PMuMu3P4P2PMuMu③考慮A、E出現(xiàn)塑性鉸而形成的破壞機構(gòu)②考慮A、D出現(xiàn)塑性鉸而形成的破壞機構(gòu)例：試用窮舉法和試算法求圖12-7（a）所示連續(xù)梁的極限荷載。各跨極限彎矩Mu相同。解：窮舉法：由AB跨獨立破壞得：由BC跨獨立破壞得：由CD跨獨立破壞得：E解：試算法：選取破壞機構(gòu)如圖（c），列虛功方程：所以可破壞荷載為：演算屈服條件，可見當(dāng)x<1時，MA、M1、M2均小于Mu，說明屈服條件得到滿足。根據(jù)單值定理得：

注意：①由于連續(xù)梁容易給出所有的破壞機構(gòu)，求極限荷載用窮舉法比用試算法簡單。②同一結(jié)構(gòu)在同一荷載作用下，其極限內(nèi)力狀態(tài)可能不止一種，但與各極限內(nèi)力狀態(tài)相應(yīng)的極限荷載值是相同的。也就是說極限荷載值是唯一的，而極限內(nèi)力狀態(tài)則不一定是唯一的。在剛架中塑性鉸的形成還要受到軸力的影響。不過在軸力較小時，可忽略其影響。Pu2lABDCPlMuMuMuMuθθ三次超靜定結(jié)構(gòu)，形成四個塑性鉸，進入極限狀態(tài)，破壞機構(gòu)只有一種可能列虛功方程：或列水平投影平衡：Pu2Mu/l2Mu/l§15-5剛架的極限荷載如能完備的列出來可能的破壞機構(gòu)，并求出各機構(gòu)相應(yīng)的可破壞荷載剛架各種可能破壞機構(gòu)基本機構(gòu)：梁機構(gòu)、

梁機構(gòu)側(cè)移機構(gòu)、側(cè)移機構(gòu)結(jié)點機構(gòu)結(jié)點機構(gòu)組合機構(gòu)：將兩種或兩種以上的基本機構(gòu)組合。剛架的基本機構(gòu)數(shù)m=h－n超靜定次數(shù)可能出現(xiàn)的塑性鉸總數(shù)在不同基本機構(gòu)中，如某塑性鉸轉(zhuǎn)向相反，組合后該塑性鉸閉合。這種求Pu方法稱為窮舉法。一般情況下，n次超靜定結(jié)構(gòu)出現(xiàn)（n+1）個塑性鉸后，形成破壞機構(gòu)。MuMu2Mu例：求圖示結(jié)構(gòu)的極限荷載。PuMuMuMuMuθθ2PuABDCP2PABDCP2P梁機構(gòu)側(cè)移機構(gòu)結(jié)合機構(gòu)塑性鉸C閉合對側(cè)移機構(gòu)對梁機構(gòu)θθ2θ對組合機構(gòu)θθ2θθθABDCP1.5l2PllE基本機構(gòu)數(shù)：MuP2PMuMu0.44Mu2Mu由上例可知：當(dāng)不考慮軸力影響時，只要能完備地定出剛架的各種可能的破壞機構(gòu)，則不難根據(jù)上限定理求出其極限荷載。但是，在復(fù)雜情況下，欲無遺漏地定出所有可能的破壞機構(gòu)是比較困難，而且一一尋求各自的可破壞荷載，再去進行比較也是相當(dāng)麻煩。為此，可采用試算法：求出與它相應(yīng)的可破壞荷載并繪出剛架的彎矩圖，先假定一破壞機構(gòu)，如果滿足，則此可破壞荷載也是可接受荷載，由唯一性定理知它就是極限荷載。然后再檢查它的彎矩圖分布是否滿足屈服條件，選擇破壞機構(gòu)和進行機構(gòu)組合時，應(yīng)使外荷載作的功盡可能的大些，而塑性鉸處極限彎矩所作的功盡可能的小些。為此，在挑選基本機構(gòu)進行組合時，應(yīng)盡量使較多的塑性鉸閉合，而達到塑性鉸處極限彎矩所作的功較小，由這樣的破壞機構(gòu)求得的可破壞荷載就會較小，有可能是極限荷載。試算法對梁機構(gòu)MuMu2MuABDCP2P梁機構(gòu)θθ2θ2MuMuMuABDC2P(4.5－x)Mu設(shè)MB=xMu則：必有MB或MA>MuxMu1.5lllMuNCD=-QDBCA對組合機構(gòu)ABDCP2P結(jié)合機構(gòu)θθ2θθθMu2MuMuMu前例求出MCE=0.44Mu。

各截面彎矩≤Mu1.5lllABDC2PE2PMuMCE所以:既是可破壞荷載又是可接受荷載？P2P3m3m3m3m