空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系

空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系[A級(jí) 基礎(chǔ)題——基穩(wěn)才能樓高 ]1．下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為 ( )①如果兩個(gè)平面有三個(gè)不在一條直線上的公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合；②兩條直線可以確定一個(gè)平面；③空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)；④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈l.A．1 B．2C．3 D．4解析：選 B 根據(jù)公理 2，可判斷①是真命題；兩條異面直線不能確定一個(gè)平面，故②是假命題；在空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線不一定共面 (如墻角)，故③是假命題；根據(jù)平面的性質(zhì)可知④是真命題．綜上，真命題的個(gè)數(shù)為 2.2．已知異面直線 a，b分別在平面 α，β內(nèi)，且α∩β＝c，那么直線 c一定( )A．與a，b都相交B．只能與 a，b中的一條相交C．至少與 a，b中的一條相交D．與a，b都平行解析：選C如果c與，都平行，那么由平行線的傳遞性知，平行，與異面矛盾．故abab選C.3．已知A，B，C，D是空間四點(diǎn)，命題甲： A，B，C，D四點(diǎn)不共面，命題乙：直線 AC和不相交，則甲是乙成立的()BDA．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A若，，，D四點(diǎn)不共面，則直線和不共面，所以和不相ABCACBDACBD交；若直線AC和BD不相交，若直線AC和BD平行時(shí)，A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以甲是乙成立的充分不必要條件．4．(2019·銀川一中模擬 )已知P是△ABC所在平面外的一點(diǎn)， M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，若MN＝BC＝4，PA＝43，則異面直線PA與MN所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：選A如圖，取AC的中點(diǎn)，連接，，由已知條件可得DDNDMDN＝2 3，DM＝2.在△MND中，∠DNM為異面直線 PA與MN所成的角，則16＋12－4 3cos∠DNM＝ ＝ ，∴∠DNM＝30°.2×4×23 21[B級(jí) 保分題——準(zhǔn)做快做達(dá)標(biāo) ]1．下列說法錯(cuò)誤的是 ( )A．兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)B．過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直C．如果共點(diǎn)的三條直線兩兩垂直，那么它們中每?jī)蓷l直線確定的平面也兩兩垂直D．如果兩條直線和一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線一定平行解析：選 D 兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)， A正確，排除 A；過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直， B正確，排除 B；如果共點(diǎn)的三條直線兩兩垂直，那么它們中每?jī)蓷l直線確定的平面也兩兩垂直， C正確，排除 C；如果兩條直線和一個(gè)平面所成的角相等，那么這兩條直線不一定平行， D錯(cuò)誤，選D.2．(2019·長(zhǎng)春質(zhì)檢 )平面α，β的公共點(diǎn)多于兩個(gè)，則①α，β平行；②α，β至少有三個(gè)公共點(diǎn)；③α，β至少有一條公共直線；④α，β至多有一條公共直線．以上四個(gè)判斷中不成立的個(gè)數(shù)為 ( )A．0 B．1C．2 D．3解析：選 C 由條件知，當(dāng)平面 α，β的公共點(diǎn)多于兩個(gè)時(shí)，若所有公共點(diǎn)共線，則α，β相交；若公共點(diǎn)不共線，則 α，β重合．故①一定不成立；②成立；③成立；④不成立．3．(2019·云南大理模擬 )給出下列命題，其中正確的兩個(gè)命題是 ( )①直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等，則此直線與平面平行；②夾在兩個(gè)平行平面間的兩條異面線段的中點(diǎn)連線平行于這兩個(gè)平面；③直線m⊥平面α，直線n⊥直線m，則n∥α；④a，b是異面直線，則存在唯一的平面 α，使它與a，b都平行且與 a，b的距離相等．A．①與② B．②與③C．③與④ D．②與④解析：選D 直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等，則此直線可能與平面平行，也可能和平面相交；直線 m⊥平面α，直線m⊥直線n，則直線n可能平行于平面 α，也可能在平面 α內(nèi)，因此①③為假命題．4．(2019·成都模擬 )在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，平面 α與棱AB，AC，A1C1，A1B1分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，且直線AA1∥平面α.有下列三個(gè)命題：2①四邊形EFGH是平行四邊形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正確的命題有 ( )A．①② B．②③C．①③ D．①②③解析：選 C 由題意畫出草圖如圖所示，因?yàn)?AA1∥平面α，平面α∩平面 AA1B1B＝EH，所以 AA1∥EH.同理 AA1∥GF，所以 EH∥GF.又ABC-A1B1C1是直三棱柱，易知 EH＝GF＝AA1，所以四邊形 EFGH是平行四邊形，故①正確；若平面α∥平面BCC1B1，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②錯(cuò)誤；由 AA1⊥平面BCFE，結(jié)合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH?平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正確．綜上可知，故選 C.5.(2019·廣州模擬 )如圖是一個(gè)幾何體的平面展開圖， 其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論：①直線BE與直線CF異面；②直線BE與直線AF異面；③直線EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 ( )A．1 B．2C．3 D．4解析：選B 畫出該幾何體，如圖所示，①因?yàn)?E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點(diǎn)，所以 EF∥AD，所以EF∥BC，直線BE與直線CF是共面直線，故①不正確；②直線 BE與直線AF滿足異面直線的定義，故②正確；③由E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點(diǎn)，可知 EF∥AD，所以EF∥BC，因?yàn)镋F?平面PBC，BC?平面PBC，所以直線EF∥平面PBC，故③正確；④因?yàn)锽E與PA的關(guān)系不能確定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正確．所以正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是2.6．(2019·常德期末)一個(gè)正方體的展開圖如圖所示，A，B，C，D為原正方體的頂點(diǎn)，則在原來的正方體中()A．AB∥CD B．AB與CD相交C．AB⊥CD D．AB與CD所成的角為 60°3解析：選D 如圖，把展開圖中的各正方形按圖①所示的方式分別作為正方體的前、 后、左、右、上、下面還原，得到圖②所示的直觀圖，可得選項(xiàng) A、B、C不正確．圖②中， DE∥AB，∠CDE為AB與CD所成的角，△CDE為等邊三角形，∴∠ CDE＝60°.∴正確選項(xiàng)為 D.7．(2019·成都檢測(cè) )在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著 《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑 ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，則異面直線 AC與BD所成角的余弦值為()11A.2B．－233C.2D．－2解析：選A如圖，分別取，，，的中點(diǎn)，，，，ABADBCBDEFGO連接EF，EG，OG，F(xiàn)O，F(xiàn)G，則EF∥BD，EG∥AC，所以∠FEG為異面直線AC與BD所成的角．易知FO∥AB，因?yàn)锳B⊥平面BCD，所以FO⊥OG，設(shè)AB＝2a，則EG＝EF＝2a，F(xiàn)G＝a2＋a2＝2a，所以∠FEG＝60°，1所以異面直線 AC與BD所成角的余弦值為 2，故選A.8．(2019·福州質(zhì)檢)在三棱柱-111中，，F(xiàn)分別為棱1，1的中點(diǎn)，則在空ABCABCEAACC間中與直線AB，EF，BC都相交的直線()11A．不存在B．有且只有兩條C．有且只有三條D．有無數(shù)條解析：選D在EF上任意取一點(diǎn)M，直線AB與M確定一個(gè)平面，11這個(gè)平面與 BC有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N，當(dāng)M的位置不同時(shí)確定不同的平面，從而與 BC有不同的交點(diǎn) N，而直線MN與A1B1，EF，BC分別有交點(diǎn)P，M，N，如圖，故有無數(shù)條直線與直線A1B1，EF，BC都相交．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中CF CG2點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且 ＝ ＝，則下列說法中正確CBCD3的是________(填序號(hào))．EF與GH平行；4EF與GH異面；EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上；④EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上．解析：連接EH，F(xiàn)G(圖略)，依題意，可得EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，故EH∥FG，所以E，F(xiàn)，G，1 2H共面．因?yàn)镋H＝2BD，F(xiàn)G＝3BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF與GH必相交，設(shè)交點(diǎn)為M.因?yàn)辄c(diǎn)M在EF上，故點(diǎn)M在平面ACB上．同理，點(diǎn)M在平面ACD上，所以點(diǎn)M是平面ACB與平面ACD的交點(diǎn)，又AC是這兩個(gè)平面的交線，所以點(diǎn)M一定在直線AC上．答案：④10．(2019·南京模擬)已知α，β為兩個(gè)不同的平面，m，n為兩條不同的直線，則下列命題中正確的是________(填上所有正確命題的序號(hào))．①若α∥β，m?α，則m∥β；②若m∥α，n?α，則m∥n；③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，則m⊥β.解析：由α∥β，m?α，可得m∥β，所以①正確；由m∥α，n?α，可得m，n平行或異面，所以②不正確；由α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，可得m與β相交或m?β，所以③不正確；由n⊥α，n⊥β，可得α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，所以④正確．綜上，正確命題的序號(hào)是①④ .答案：①④11．(2019·廣東百校聯(lián)盟聯(lián)考 )如圖，E是正方體 ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1上的一點(diǎn)，且BD1∥平面B1CE，則異面直線BD1與CE所成角的余弦值為________．解析：不妨設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，連接BC1，設(shè)B1C∩BC1＝O，連接EO，如圖所示，在△BC1D1中，當(dāng)點(diǎn)E為C1D1的中點(diǎn)時(shí)，BD1∥OE，則BD1∥平面B1CE，據(jù)此可得∠OEC為直線BD1與CE所成的角．在△中，邊長(zhǎng)＝5，＝2，＝3，由余弦定理可得cos∠OECECOCOEOEC＝3＋5－215.即異面直線BD1與CE所成角的余弦值為1523×5＝55.15答案：512．(2019·廣西南寧二中、柳州高中聯(lián)考 )如圖，在直角梯形 ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分別是AD，BE的中點(diǎn)，將三角形 ADE沿AE折起，下列說法正確的是 ________(填上所有正確的序號(hào) )．5①不論D折至何位置(不在平面內(nèi))都有MN∥平面DEC；②不論D折至何位置都有 MN⊥AE；③不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))都有MN∥AB.解析：如圖，①易證 ABCE為矩形，連接 AC，則N在AC上，連接CD，BD，易證在△ACD中，MN為中位線，MN∥DC，又MN?平面DEC，∴MN∥平面DEC.①正確．②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，ED∩EC＝E，AE⊥平面CED，又CD?平面CED，AE⊥CD，∴MN⊥AE，②正確．MN與AB異面．假若MN∥AB，則MN與AB確定平面MNBA，從而BE?平面MNBA，AD?平面MNBA，與BE和AD是異面直線矛盾．③錯(cuò)誤．答案：①②在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，且異面直線A1B與B1C1所成的角等于60°，設(shè)AA1＝a.(1)求a的值；求三棱錐B1-A1BC的體積．解：(1)∵BC∥BC，∴∠ABC就是異面直線AB與BC所成的角，即∠ABC＝60°.又11111111⊥平面，＝，則1＝1，∴△1為等邊三角形，由＝＝1，∠＝90°AAABCABACABACABCABACBAC?BC＝2，∴AB＝2?2aa1113211111111＝1.6如圖所示，A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)．求證：直線EF與BD是異面直線；若AC⊥