冪法和反冪法求矩陣特征值課程設(shè)計(jì)

20/20題目?jī)绶ê头磧绶ㄇ缶仃囂卣髦嫡n程設(shè)計(jì)具體內(nèi)容隨機(jī)產(chǎn)生一對(duì)稱矩陣，對(duì)不同的原點(diǎn)位移和初值(至少?。硞€(gè))分別使用冪法求計(jì)算矩陣的主特征值及主特征向量,用反冪法求計(jì)算矩陣的按模最小特征值及特征向量,并比較不同的原點(diǎn)位移和初值說明收斂。要求1。認(rèn)真讀題，了解問題的數(shù)學(xué)原形；２．選擇合適問題求解的數(shù)值計(jì)算方法;3.設(shè)計(jì)程序并進(jìn)行計(jì)算；4。對(duì)結(jié)果進(jìn)行解釋說明；采用方法及結(jié)果說明對(duì)于冪法和反冪法求解矩陣特征值和特征向量的問題將從問題分析，算法設(shè)計(jì)和流程圖，理論依據(jù)，程序及結(jié)果進(jìn)行闡述該問題。一．問題的分析:求n階方陣A的特征值和特征向量,是實(shí)際計(jì)算中常常碰到的問題,如:機(jī)械、結(jié)構(gòu)或電磁振動(dòng)中的固有值問題等。對(duì)于ｎ階矩陣Ａ，若存在數(shù)和n維向量ｘ滿足Ax=ｘ(1)則稱為矩陣A的特征值,x為相應(yīng)的特征向量。由高等代數(shù)知識(shí)可知,特征值是代數(shù)方程｜Ｉ-A｜=+a+…+a+ａ=０（２)的根。從表面上看，矩陣特征值與特征向量的求解問題似乎很簡(jiǎn)單，只需求解方程（2）的根，就能得到特征值,再解齊次方程組（Ｉ－A)x=0（3）的解，就可得到相應(yīng)的特征向量。上述方法對(duì)于ｎ很小時(shí)是可以的。但當(dāng)ｎ稍大時(shí),計(jì)算工作量將以驚人的速度增大，并且由于計(jì)算帶有誤差，方程(2）未必是精確的特征方程，自然就不必說求解方程(2)與(3)的困難了.冪法是一種計(jì)算矩陣主特征值(矩陣按模最大的特征值)及對(duì)應(yīng)特征向量的迭代方法,特別是用于大型稀疏矩陣。反冪法是計(jì)算海森伯格陣或三角陣的對(duì)應(yīng)一個(gè)給定近似特征值的特征向量的有效方法之一。二。算法設(shè)計(jì)及流程圖1、冪法算法（１）取初始向量u（例如?。?(１,１,…1）)，置精度要求,置ｋ=1．(2)計(jì)算ｖ=Ａu,m＝ｍaｘ(ｖ)，u=v／m(3）若｜ｍ=m｜〈，則停止計(jì)算（ｍ作為絕對(duì)值最大特征值，u作為相應(yīng)的特征向量）否則置k=ｋ+1，轉(zhuǎn)（2)2、反冪法算法（１）取初始向量u(例如取u=(１，1,…1）)，置精度要求，置k＝1.(2）對(duì)A作LU分解，即A=LU（3）解線性方程組Ｌy=ｕ,Ｕv=y（4)計(jì)算m=ｍａx（ｖ)，u＝v／ｍ（5）若｜ｍ=ｍ|<,則停止計(jì)算（1/ｍ作為絕對(duì)值最小特征值，u作為相應(yīng)的特征向量）；否則置k=k+1，轉(zhuǎn)（３）。冪法流程圖：開始開始輸入A；[m,u,index]=pow(A,1e-6)k=0;m1=0v=A*u[vmax,i]=max(abs(v))m=v(i);u=v/mabs(m-m1)<1e-6index=1;break;輸出：m，u，index結(jié)束m1=m;k=k+1反冪法流程圖開始開始輸入A；[m,u,index]=pow_inv(A,1e-6)k=0;m1=0v=invA*u[vmax,i]=max(abs(v))m=v(i);u=v/mabs(m-m1)<1e-6index=1;break;輸出：m，u，index結(jié)束m1=m;k=k+1輸入A；[m,u,index]=pow(A,1e-6)三、算法的理論依據(jù)及其推導(dǎo)(一)冪法算法的理論依據(jù)及推導(dǎo)冪法是用來確定矩陣的主特征值的一種迭代方法，也即,絕對(duì)值最大的特征值.稍微修改該方法,也可以用來確定其他特征值。冪法的一個(gè)很有用的特性是它不僅可以生成特征值，而且可以生成相應(yīng)的特征向量。實(shí)際上，冪法經(jīng)常用來求通過其他方法確定的特征值的特征向量。１、冪法的迭代格式與收斂性質(zhì)設(shè)n階矩陣Ａ的特征值，,…，是按絕對(duì)值大小編號(hào)的，ｘ（ｉ=1,2，…,n)為對(duì)應(yīng)的特征向量,且為單根，即｜｜>｜｜≥…≥｜｜則計(jì)算最大特征值與特征向量的迭代格式為v=Au，m＝max（ｖ)，ｕ=v／m(1)其中max(v）表示向量v絕對(duì)值的最大分量.2、對(duì)于冪法的定理按式（1）計(jì)算出m和ｕ滿足m＝,u＝(二)反冪法算法的理論依據(jù)及推導(dǎo)反冪法是用來計(jì)算絕對(duì)值最小的特征值忽然相應(yīng)的特征向量的方法。是對(duì)冪法的修改,可以給出更快的收斂性.１、反冪法的迭代格式與收斂性質(zhì)設(shè)Ａ是非奇異矩陣，則零不是特征值，并設(shè)特征值為｜|≥｜｜≥…≥｜｜>｜｜則按A的特征值絕對(duì)值的大小排序,有|｜>｜｜≥…≥｜|對(duì)Ａ實(shí)行冪法，就可得Ａ的絕對(duì)值最大的特征值1／和相應(yīng)的特征向量,即A的絕對(duì)值最小的特征值和相應(yīng)的特征向量。由于用A代替A作冪法計(jì)算，因此該方法稱為反冪法,反冪法的迭代格式為v=Au,m=mａx(ｖ),u=ｖ/m(2)2、對(duì)于反冪法的定理按式(2）計(jì)算出的ｍ和u滿足：m＝，u=在式(2)中，需要用到Ａ，這給計(jì)算帶來很大的不方便，因此,把(2）式的第一式改為求解線性方程組Ａv=u(3)但由于在反冪法中，每一步迭代都需求解線性方程組（３)式,迭代做了大量的重復(fù)計(jì)算,為了節(jié)省工作量，可事先把矩陣Ａ作LU分解,即A=LU所以線性方程組（3）改為L(zhǎng)y=ｕ,Uv=y四、算法程序設(shè)計(jì)代碼冪法程序，在matlab中建立一個(gè)M文件并保存.％ｐｏｗ。mfunctioｎ［m,u,ｉndex，k］=pow(A，u，ｅp，iｔ＿max）ｉfｎａｒｇin<4it＿maｘ＝1000；ｅndifnarｇｉn<３ｅp＝1e-5;eｎdｎ=lengtｈ(A）；indｅｘ=０;k=0;ｍ１＝0；m0=0;I＝eyｅ(n）；T=A-m0＊I;whｉlek＜=ｉt_maxv＝T＊u；[vｍａｘ,i］=max(abｓ（v））；m=v(i)；u=ｖ／m;ifaｂs（ｍ—m1）<ep;index＝1；break；eｎdm=m+m0；m1=m；k＝k+１;end在matlａb輸入面板，輸入A=rand(4)；％產(chǎn)生一個(gè)4維隨機(jī)矩陣Ｂ=A＋A'；ｕ＝［１111］’；%設(shè)立初始向量[ｍ,ｕ,ｉｎｄeｘ，ｋ]=pow（Ｂ，u，eｐ，ｉt_ｍａx)％最多可省略２個(gè)參數(shù)程序結(jié)束.在M文件中可以通過改變m０的值改變?cè)c(diǎn)位移,從而達(dá)到原點(diǎn)位移加速。反冪法程序設(shè)計(jì)代碼:在maｔｌａb中建立一個(gè)M文件并保存.％ｐoｗ＿inv.mfunctioｎ［ｍ，ｕ,index,k］=poｗ_inｖ（A,u,ep，iｔ_max)ｉfnargiｎ<4iｔ_ｍaｘ=１０00；ｅndifnaｒgin〈3ep=1ｅ-5；eｎdn＝leｎgth(A）;indｅx＝０;ｋ=0;m1=0；ｍ0=0；I=eｙｅ（n）；T=Ａ-m0＊I；invT=ｉnv(T）；ｗhilek〈＝ｉt_maxv＝iｎｖT＊u；［vｍaｘ，i］=ｍax（aｂs(v));m＝v（i）;u=v/ｍ；ifabｓ(m－m1）<epiｎdex=１；breａk;endｍ1=m；ｋ＝k+1；ｅndｍ=1/m；m=m＋m0；在ｍａt(yī)laｂ輸入面板，輸入A=rａnd(4)；％產(chǎn)生一個(gè)４維隨機(jī)矩陣B=A+Ａ’；ｕ=[1111]';％設(shè)立初始向量［m,u，ｉndｅx，k］＝pｏw_inv（Ｂ,u，eｐ，it_maｘ）％最多可省略2個(gè)參數(shù)程序結(jié)束.在Ｍ文件中可以通過改變m0的值改變?cè)c(diǎn)位移，從而達(dá)到原點(diǎn)位移加速?！窘Y(jié)果顯示】％在M0＝1e-4〉>B=rａｎｄ(４)；〉〉A(chǔ)=B+B'A=0。26７50。5７76０.6３441.３１300。5776１。１５030。764１0.13670。6３4４０。７64１０.0257０。41９31.31300。13670．41931。2248＞〉u=［1１11］’;〉>［m，ｕ,inｄｅx,k］=pow(A，u）m=2。６８1３u=0。８５７60．69340。５623１.０0０0index＝１k=49修改Ｍ0=1ｅ—3m=2.681４u=0。８57６0。6934０.56２31.0000ｉndex=0ｋ＝10０1修改M0＝0％此時(shí)為冪法ｍ=2.６815u=0．85760．69３50．５6２31．000０index＝1k=１0修改U=［1234］修改M0=１e－４m＝2.6813u=０．857６0．６9340.5623１。0000index=1k＝9修改M0=１e－3m=2。6８0５ｕ＝0。８576０。69３４0.5６221。0000ｉｎdex＝１ｋ=7修改M0=0m=２．6814u=0.8５７60。６9３４0.5623１.0000ｉndex＝1ｋ=9修改Ｕ=[356７］修改Ｍ0=1ｅ-4ｍ＝２．6８１9ｕ=０．８５770。６9３70．56241.00０0index=1k=７修改M0=1e—3m＝2.6814u=0。8５７60.６9340。56231。0０00iｎdex＝０ｋ=10０１修改M0＝0m=2。6８２0u=０。８５770。69３70。5６2４1．0000inｄeｘ＝１ｋ=7總結(jié)以上，冪法如下：Um０muｉndexk[1１11]0.0０012．6８１3[0。8５7６0．６９34０．５6231.000０］1490．0012．681４［0。5８760.69340．5623１.000０]0１００102.68１5［０。85７60．6９3５0.５6231．0０00]110[1234］０。0０012.6813［０．85760.6９340。５６２31。00００］19０。00１２.680５[0。85７60。69340．56２21。000０]170２.6８14［０．85760．69３40.56２31。0000］1９［3５6７］0。0０0１2。6819［0。85７70。69３７0．56241.0０0０］１７0．00１2。691４［０.８57６0。69340.５6231．0000］010０102.692[0．8５7７0。69３7０.56２41。00０0]17反冪法結(jié)果顯示：在ｍ0為0時(shí)M0=０.0０1U=［1１１1]M0＝0．1u=［1111］M0＝０ｕ＝［135７]Ｍ0=0。１u＝[1357]Ｍ0=0。５ｕ=[13５7]Ｍ0＝0u=[２34５]Ｍ０＝０。１u＝[2345]M0=０．7u=[23４5]綜上，反冪法結(jié)果如下：um0ｍuｉnｄｅxk［1111]0．１0.3847［－0。899６1.00000。2７２6—0．2３６4］1150.001０．38４7［—0.8９961．０000０．2７2６-0.２36４]116０0。384７[-0.89961.00000．２7２6－０。２３64］116［1357］0．50。384７[－0。８9951。00000.２７26—0．2364］１270。1０。38４7［－0.899６1。０0000。27２６—0。２364]11７0０。3847［—0．89９61.000０0。2726-0。23６4］120［2345］0。70．709１［—0。69６2-0。44９70。