第四章 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換

第4章連續(xù)時(shí)間傅立葉變換

TheContinuoustimeFourierTransform重點(diǎn)：1、掌握傅立葉變換定義及其基本性質(zhì)；2、牢記常用典型信號(hào)的傅立葉變換；3、掌握運(yùn)用傅立葉變換分析LTI系統(tǒng)的方法難點(diǎn)：運(yùn)用傅立葉變換及相關(guān)性質(zhì)分析LTI系統(tǒng)4.0引言傅立葉在把傅立葉級(jí)數(shù)推廣到傅立葉積分的研究中基于如下的方法：把非周期函數(shù)看作一個(gè)周期函數(shù)在周期趨于無(wú)窮大時(shí)的極限。本章的地位：形成連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)頻域法的基礎(chǔ)。從非周期函數(shù)x(t)構(gòu)造出一個(gè)周期函數(shù)，使得該周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)就等于x(t)，隨著這個(gè)周期趨于無(wú)窮大，就會(huì)在一個(gè)愈來(lái)愈大的區(qū)間上等于x(t)，這樣，的傅立葉級(jí)數(shù)表示也就趨于x(t)的傅立葉積分表示。T4.1非周期信號(hào)的表示——連續(xù)時(shí)間傅立葉變換(CFT)RepresentationofAperiodicsignals:TheContinuoustimeFourierTransform一、非周期信號(hào)傅立葉變換表示的導(dǎo)出對(duì)下面的連續(xù)時(shí)間周期方波：其傅立葉級(jí)數(shù)是T=4T1T=8T1T=16T1用周期延拓的方法構(gòu)造出一個(gè)周期函數(shù)，即：周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)表示：假設(shè)一個(gè)具有有限持續(xù)期的非周期函數(shù)x(t):周期T的選擇：T大于x(t)的非零區(qū)間由于所以即是原函數(shù)x(t)的頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱頻譜函數(shù)。即由于ω0

=2π/T,則：傅立葉變換（CFT）Fouriertransform傅立葉正變換：傅立葉反變換：

x(t)和X(jω)分別為非周期函數(shù)的時(shí)域和頻域表示，兩者構(gòu)成一個(gè)傅立葉變換對(duì)。

X(jω)告訴我們將x(t)表示為不同頻率正弦信號(hào)的線性組合所需要的信息。X(jω)的物理含義是：

X(jω)反映了信號(hào)x(t)的頻譜隨頻率而變化的分布特性，是頻率ω的連續(xù)函數(shù)。一般而言，X(jω)是一個(gè)復(fù)函數(shù)，通常將它表示為|X(jω)|

：描述了x(t)的幅頻特性，稱之為x(t)的幅度譜,它代表信號(hào)中各頻率分量的相對(duì)大?。好枋隽藊(t)的相頻特性，稱之為x(t)的相位譜，它代表信號(hào)中各頻率分量的相位關(guān)系。三、傅立葉變換的收斂

ConvergenceofFouriertransform

x(t)的傅立葉變換是否存在的條件應(yīng)該和傅立葉級(jí)數(shù)是否收斂所要求的那一組條件一樣。掌握一些典型信號(hào)的傅立葉變換，對(duì)于我們求一些其它信號(hào)的傅立葉變換，將會(huì)帶來(lái)很多方便。（1）單邊指數(shù)信號(hào)：四、連續(xù)時(shí)間傅立葉變換舉例ExamplesofContinuoustimeFourierTransform（2）雙邊指數(shù)信號(hào)：（3）矩形脈沖時(shí)域?qū)嵟?，頻域?qū)嵟??(4)含有奇異函數(shù)的傅立葉變換(一)單位沖激函數(shù)和常數(shù)1（二）符號(hào)函數(shù)sgn(t)（三）單位階躍信號(hào)u(t)（四）指數(shù)信號(hào)4.2周期信號(hào)的傅立葉變換

TheFourierTransformforPeriodicSignal將周期信號(hào)轉(zhuǎn)換為傅里葉級(jí)數(shù)故：一個(gè)傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)為{ak}的周期信號(hào)的傅立葉變換，是出現(xiàn)在成諧波關(guān)系的頻率kω0

上的一串沖激函數(shù)，沖激函數(shù)的面積是對(duì)應(yīng)傅立葉系數(shù)的2π倍。example：周期為T(mén)的周期性脈沖串：-T1T0……該信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)是周期脈沖串的傅立葉變換0……4.3連續(xù)時(shí)間傅立葉變換性質(zhì)

PropertiesoftheContinuoustimeFourierTransformx(t)和X(jω)這對(duì)傅立葉變換對(duì)用下列符號(hào)表示：注：當(dāng)t=0時(shí)對(duì)當(dāng)ω=0時(shí)一、線性(Linearity)若二、時(shí)移性質(zhì)(TimeShifting)若則即：信號(hào)在時(shí)間上移位，并不改變它的傅立葉變換的模，只是引入相移。例x(t)12341.51x1(t)-0.50.51-1.51.51x2(t)而利用線性和時(shí)移性質(zhì)三、共軛及共軛對(duì)稱性

ConjugationandConjugateSymmetry若則若x(t)為實(shí)函數(shù)而：若x(t)為實(shí)偶函數(shù)，那么X(jω)也是實(shí)偶函數(shù)。若x(t)為實(shí)奇函數(shù)，那么X(jω)是虛奇函數(shù)。例1：信號(hào)x(t)如圖所示，求解：由于x(t)是實(shí)信號(hào)，則：例2：因果實(shí)信號(hào)x(t)的傅立葉變換的實(shí)部求x(t)解：由于x(t)是實(shí)信號(hào)，則：而：則：又因?yàn)椋呵遥汗剩核摹⑽⒎峙c積分

DifferentiationandIntegration若則討論利用傅立葉變換來(lái)分析由微分方程描述的LTI系統(tǒng)時(shí)，特別有用！積分關(guān)系若則例：已知求：解：x(t)的導(dǎo)數(shù)為g(t)頻域微積分：例：已知求：解：則：故：五、時(shí)間與頻率的尺度變換

TimeandFrequencyScaling若則當(dāng)a=-1,信號(hào)在時(shí)域中壓縮（a>1）等效于在頻域中擴(kuò)展；反之，信號(hào)在時(shí)域中擴(kuò)展（a<1）則等效于在頻域中壓縮。信號(hào)在時(shí)域中沿縱軸翻褶等效于在頻域中頻譜也沿縱軸翻褶。補(bǔ)充：例：已知求：x(t)與X(jω)所覆蓋的面積分別等于X(jω)與x(t)在零點(diǎn)的數(shù)值X(0)或x(0).等效帶寬信號(hào)的等效脈沖寬度與占有的等效帶寬成反比，若要壓縮信號(hào)的持續(xù)時(shí)間，則不得不以展寬頻帶作為代價(jià)。所以在無(wú)線電通信中，通信速度和占有頻帶寬度是一對(duì)矛盾。tx(t)x(0)ωX(ω)X(0)例：4.24(作業(yè)題）六、對(duì)偶性(Duality)若則例：求：解：因?yàn)楣剩豪杭矗侯l移性質(zhì)基于頻移性質(zhì)的頻譜搬移技術(shù)在通信和信號(hào)處理中得到了廣泛的應(yīng)用，例如，載波幅度調(diào)制、同步解調(diào)、變頻和混頻等技術(shù)！因?yàn)閷?dǎo)出七、帕斯瓦爾定理

Parseval’sRelation(Energytheorem)信號(hào)的總能量既可以按每單位時(shí)間內(nèi)的能量在整個(gè)時(shí)間內(nèi)積分出來(lái)，也可以按每單位頻率內(nèi)的能量在整個(gè)頻率范圍內(nèi)積分出來(lái)。為信號(hào)的能譜密度。例：已知x(t)的傅立葉變換如圖所示，（1）求x(t)；（2）求的傅立葉變換Y(jω)（寫(xiě)出表達(dá)式，并畫(huà)出波形）；（3）求的值。解：（1）（2）根據(jù)頻移特性：則：（3）根據(jù)帕斯瓦爾關(guān)系式：4.4、卷積性質(zhì)

TheConvolutionProperty在信號(hào)與系統(tǒng)的理論和方法中，最重要的變換性質(zhì)就是卷積性質(zhì)。卷積性質(zhì)將兩個(gè)信號(hào)的卷積映射為它們傅立葉變換的乘積。其中為頻率響應(yīng)，它控制著每一頻率ω上輸入傅立葉變換復(fù)振幅的變化。用頻率響應(yīng)來(lái)描述系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)性質(zhì)：例：已知下列關(guān)系：（1）y(t)=x(t)*h(t)（2）g(t)=x(3t)*h(3t)（3）x(t)的傅立葉變換是X（jω）,h(t)的傅立葉變換是H（jω）；求：利用傅立葉變換性質(zhì)證明g(t)為：g(t)=Ay(Bt)求出A和B的值。解：而：則：故：則：A=1/3,B=3例：考慮一信號(hào)，其傅立葉變換為X(jω），假設(shè)給出以下條件：1.x(t)是實(shí)的且是非負(fù)的；A與t無(wú)關(guān)。求x(t)的閉合表達(dá)式。2、解：由（2）,等式兩邊同時(shí)進(jìn)行傅立葉變換，則：則（3）根據(jù)帕斯瓦爾關(guān)系式：帶入x(t)的表達(dá)式，得|A|2=12由于x(t)是非負(fù)的實(shí)信號(hào)，故：例：已知一連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)，其單位沖激響應(yīng)為求：（1）畫(huà)出的波形；（3）求系統(tǒng)的響應(yīng)y(t)。當(dāng)輸入信號(hào)為：(2)寫(xiě)出x(t)的傅立葉級(jí)數(shù)表示式：1、解：2、3、根據(jù)特征函數(shù)特征值的概念，而：例：研究如下所示的互聯(lián)系統(tǒng)：已知：（2）當(dāng)輸入信號(hào)x(t)為如下圖所示周期方波信號(hào)時(shí)，求系統(tǒng)的輸出y(t)。（1）試求該互聯(lián)系統(tǒng)的頻率相應(yīng)H(jω)；解：而：故：（2)輸入信號(hào)是周期信號(hào)，則先將其轉(zhuǎn)換為傅立葉級(jí)數(shù)的形式，然后根據(jù)特征函數(shù)特征值的概念進(jìn)行求解：周期T=1，則基波頻率為而：故：而：由于x(t)為實(shí)偶，故ak也為實(shí)偶：故：4.5相乘的性質(zhì)（頻域卷積性質(zhì)）

TheMultiplicationProperty(Modulation)在時(shí)域中，一個(gè)信號(hào)和另一個(gè)信號(hào)相乘，可理解為用一個(gè)信號(hào)去調(diào)制另一個(gè)信號(hào)的幅度，叫做幅度調(diào)制。頻域卷積性質(zhì)在信號(hào)與系統(tǒng)的理論和方法以及在通信和信號(hào)處理中，有很多十分重要的應(yīng)用。例：求的傅立葉變換解：令4.5.1可變中心頻率的頻率選擇型濾波器利用幅度調(diào)制實(shí)現(xiàn)帶通濾波器帶通濾波器頻譜右移ωc通過(guò)帶寬為ω0的低通濾波器頻譜左移ωc4.6傅立葉變換性質(zhì)和基本傅立葉變換對(duì)列表

TablesofFourierPropertiesandofBasicFourierTransformPairs掌握表4.1和表4.2。4.7由線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng)

SystemCharacterizedbyLinearConstant-CoefficientDifferentialEquation連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的線性常微分方程描述：利用傅立葉變換的微分性質(zhì)。例：(1)求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)。(2)若系統(tǒng)的輸入信號(hào)是e-3tu(t)，求響應(yīng)y(t)解：對(duì)微分方程兩邊同時(shí)進(jìn)行傅立葉變換：則：(2)若系統(tǒng)的輸入信號(hào)是e-3tu(t)，則：補(bǔ)充：定義：稱為希爾伯特變換（1）求該系統(tǒng)的傅立葉變換（2）當(dāng)輸入信號(hào)為cos3t時(shí)，輸出信號(hào)為多少？解：則：由于：根據(jù)對(duì)偶法則：故：（2）當(dāng)輸入信號(hào)為cos3t時(shí)，例：設(shè)求證：解：代入：例：設(shè)輸入信號(hào)求沖激響應(yīng)分別為以下系統(tǒng)時(shí)，分別求系統(tǒng)的輸出解：輸入信號(hào)是周期信號(hào)，將其表示為傅立葉級(jí)數(shù)形式：則根據(jù)特征函數(shù)特征值的概念，輸出y(t)為：則：故：令：則：而：則：則：故：令：則：章末小結(jié)1、定義：2、常用信號(hào)的傅立葉變換3、周期信號(hào)的傅立葉變換周期信號(hào)需先轉(zhuǎn)換為傅立葉級(jí)數(shù)的形式，然后進(jìn)行傅立葉變換牢記單位沖激串的傅立葉變換：4、傅立葉變換的性質(zhì)：（1）線性（