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第4章連續(xù)時(shí)間傅立葉變換
TheContinuoustimeFourierTransform重點(diǎn):1、掌握傅立葉變換定義及其基本性質(zhì);2、牢記常用典型信號(hào)的傅立葉變換;3、掌握運(yùn)用傅立葉變換分析LTI系統(tǒng)的方法難點(diǎn):運(yùn)用傅立葉變換及相關(guān)性質(zhì)分析LTI系統(tǒng)4.0引言傅立葉在把傅立葉級(jí)數(shù)推廣到傅立葉積分的研究中基于如下的方法:把非周期函數(shù)看作一個(gè)周期函數(shù)在周期趨于無(wú)窮大時(shí)的極限。本章的地位:形成連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)頻域法的基礎(chǔ)。從非周期函數(shù)x(t)構(gòu)造出一個(gè)周期函數(shù),使得該周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)就等于x(t),隨著這個(gè)周期趨于無(wú)窮大,就會(huì)在一個(gè)愈來(lái)愈大的區(qū)間上等于x(t),這樣,的傅立葉級(jí)數(shù)表示也就趨于x(t)的傅立葉積分表示。T4.1非周期信號(hào)的表示——連續(xù)時(shí)間傅立葉變換(CFT)RepresentationofAperiodicsignals:TheContinuoustimeFourierTransform一、非周期信號(hào)傅立葉變換表示的導(dǎo)出對(duì)下面的連續(xù)時(shí)間周期方波:其傅立葉級(jí)數(shù)是T=4T1T=8T1T=16T1用周期延拓的方法構(gòu)造出一個(gè)周期函數(shù),即:周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)表示:假設(shè)一個(gè)具有有限持續(xù)期的非周期函數(shù)x(t):周期T的選擇:T大于x(t)的非零區(qū)間由于所以即是原函數(shù)x(t)的頻譜密度函數(shù),簡(jiǎn)稱頻譜函數(shù)。即由于ω0
=2π/T,則:傅立葉變換(CFT)Fouriertransform傅立葉正變換:傅立葉反變換:
x(t)和X(jω)分別為非周期函數(shù)的時(shí)域和頻域表示,兩者構(gòu)成一個(gè)傅立葉變換對(duì)。
X(jω)告訴我們將x(t)表示為不同頻率正弦信號(hào)的線性組合所需要的信息。X(jω)的物理含義是:
X(jω)反映了信號(hào)x(t)的頻譜隨頻率而變化的分布特性,是頻率ω的連續(xù)函數(shù)。一般而言,X(jω)是一個(gè)復(fù)函數(shù),通常將它表示為|X(jω)|
:描述了x(t)的幅頻特性,稱之為x(t)的幅度譜,它代表信號(hào)中各頻率分量的相對(duì)大?。好枋隽藊(t)的相頻特性,稱之為x(t)的相位譜,它代表信號(hào)中各頻率分量的相位關(guān)系。三、傅立葉變換的收斂
ConvergenceofFouriertransform
x(t)的傅立葉變換是否存在的條件應(yīng)該和傅立葉級(jí)數(shù)是否收斂所要求的那一組條件一樣。掌握一些典型信號(hào)的傅立葉變換,對(duì)于我們求一些其它信號(hào)的傅立葉變換,將會(huì)帶來(lái)很多方便。(1)單邊指數(shù)信號(hào):四、連續(xù)時(shí)間傅立葉變換舉例ExamplesofContinuoustimeFourierTransform(2)雙邊指數(shù)信號(hào):(3)矩形脈沖時(shí)域?qū)嵟?,頻域?qū)嵟??(4)含有奇異函數(shù)的傅立葉變換(一)單位沖激函數(shù)和常數(shù)1(二)符號(hào)函數(shù)sgn(t)(三)單位階躍信號(hào)u(t)(四)指數(shù)信號(hào)4.2周期信號(hào)的傅立葉變換
TheFourierTransformforPeriodicSignal將周期信號(hào)轉(zhuǎn)換為傅里葉級(jí)數(shù)故:一個(gè)傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)為{ak}的周期信號(hào)的傅立葉變換,是出現(xiàn)在成諧波關(guān)系的頻率kω0
上的一串沖激函數(shù),沖激函數(shù)的面積是對(duì)應(yīng)傅立葉系數(shù)的2π倍。example:周期為T(mén)的周期性脈沖串:-T1T0……該信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)是周期脈沖串的傅立葉變換0……4.3連續(xù)時(shí)間傅立葉變換性質(zhì)
PropertiesoftheContinuoustimeFourierTransformx(t)和X(jω)這對(duì)傅立葉變換對(duì)用下列符號(hào)表示:注:當(dāng)t=0時(shí)對(duì)當(dāng)ω=0時(shí)一、線性(Linearity)若二、時(shí)移性質(zhì)(TimeShifting)若則即:信號(hào)在時(shí)間上移位,并不改變它的傅立葉變換的模,只是引入相移。例x(t)12341.51x1(t)-0.50.51-1.51.51x2(t)而利用線性和時(shí)移性質(zhì)三、共軛及共軛對(duì)稱性
ConjugationandConjugateSymmetry若則若x(t)為實(shí)函數(shù)而:若x(t)為實(shí)偶函數(shù),那么X(jω)也是實(shí)偶函數(shù)。若x(t)為實(shí)奇函數(shù),那么X(jω)是虛奇函數(shù)。例1:信號(hào)x(t)如圖所示,求解:由于x(t)是實(shí)信號(hào),則:例2:因果實(shí)信號(hào)x(t)的傅立葉變換的實(shí)部求x(t)解:由于x(t)是實(shí)信號(hào),則:而:則:又因?yàn)椋呵遥汗剩核摹⑽⒎峙c積分
DifferentiationandIntegration若則討論利用傅立葉變換來(lái)分析由微分方程描述的LTI系統(tǒng)時(shí),特別有用!積分關(guān)系若則例:已知求:解:x(t)的導(dǎo)數(shù)為g(t)頻域微積分:例:已知求:解:則:故:五、時(shí)間與頻率的尺度變換
TimeandFrequencyScaling若則當(dāng)a=-1,信號(hào)在時(shí)域中壓縮(a>1)等效于在頻域中擴(kuò)展;反之,信號(hào)在時(shí)域中擴(kuò)展(a<1)則等效于在頻域中壓縮。信號(hào)在時(shí)域中沿縱軸翻褶等效于在頻域中頻譜也沿縱軸翻褶。補(bǔ)充:例:已知求:x(t)與X(jω)所覆蓋的面積分別等于X(jω)與x(t)在零點(diǎn)的數(shù)值X(0)或x(0).等效帶寬信號(hào)的等效脈沖寬度與占有的等效帶寬成反比,若要壓縮信號(hào)的持續(xù)時(shí)間,則不得不以展寬頻帶作為代價(jià)。所以在無(wú)線電通信中,通信速度和占有頻帶寬度是一對(duì)矛盾。tx(t)x(0)ωX(ω)X(0)例:4.24(作業(yè)題)六、對(duì)偶性(Duality)若則例:求:解:因?yàn)楣剩豪杭矗侯l移性質(zhì)基于頻移性質(zhì)的頻譜搬移技術(shù)在通信和信號(hào)處理中得到了廣泛的應(yīng)用,例如,載波幅度調(diào)制、同步解調(diào)、變頻和混頻等技術(shù)!因?yàn)閷?dǎo)出七、帕斯瓦爾定理
Parseval’sRelation(Energytheorem)信號(hào)的總能量既可以按每單位時(shí)間內(nèi)的能量在整個(gè)時(shí)間內(nèi)積分出來(lái),也可以按每單位頻率內(nèi)的能量在整個(gè)頻率范圍內(nèi)積分出來(lái)。為信號(hào)的能譜密度。例:已知x(t)的傅立葉變換如圖所示,(1)求x(t);(2)求的傅立葉變換Y(jω)(寫(xiě)出表達(dá)式,并畫(huà)出波形);(3)求的值。解:(1)(2)根據(jù)頻移特性:則:(3)根據(jù)帕斯瓦爾關(guān)系式:4.4、卷積性質(zhì)
TheConvolutionProperty在信號(hào)與系統(tǒng)的理論和方法中,最重要的變換性質(zhì)就是卷積性質(zhì)。卷積性質(zhì)將兩個(gè)信號(hào)的卷積映射為它們傅立葉變換的乘積。其中為頻率響應(yīng),它控制著每一頻率ω上輸入傅立葉變換復(fù)振幅的變化。用頻率響應(yīng)來(lái)描述系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)性質(zhì):例:已知下列關(guān)系:(1)y(t)=x(t)*h(t)(2)g(t)=x(3t)*h(3t)(3)x(t)的傅立葉變換是X(jω),h(t)的傅立葉變換是H(jω);求:利用傅立葉變換性質(zhì)證明g(t)為:g(t)=Ay(Bt)求出A和B的值。解:而:則:故:則:A=1/3,B=3例:考慮一信號(hào),其傅立葉變換為X(jω),假設(shè)給出以下條件:1.x(t)是實(shí)的且是非負(fù)的;A與t無(wú)關(guān)。求x(t)的閉合表達(dá)式。2、解:由(2),等式兩邊同時(shí)進(jìn)行傅立葉變換,則:則(3)根據(jù)帕斯瓦爾關(guān)系式:帶入x(t)的表達(dá)式,得|A|2=12由于x(t)是非負(fù)的實(shí)信號(hào),故:例:已知一連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng),其單位沖激響應(yīng)為求:(1)畫(huà)出的波形;(3)求系統(tǒng)的響應(yīng)y(t)。當(dāng)輸入信號(hào)為:(2)寫(xiě)出x(t)的傅立葉級(jí)數(shù)表示式:1、解:2、3、根據(jù)特征函數(shù)特征值的概念,而:例:研究如下所示的互聯(lián)系統(tǒng):已知:(2)當(dāng)輸入信號(hào)x(t)為如下圖所示周期方波信號(hào)時(shí),求系統(tǒng)的輸出y(t)。(1)試求該互聯(lián)系統(tǒng)的頻率相應(yīng)H(jω);解:而:故:(2)輸入信號(hào)是周期信號(hào),則先將其轉(zhuǎn)換為傅立葉級(jí)數(shù)的形式,然后根據(jù)特征函數(shù)特征值的概念進(jìn)行求解:周期T=1,則基波頻率為而:故:而:由于x(t)為實(shí)偶,故ak也為實(shí)偶:故:4.5相乘的性質(zhì)(頻域卷積性質(zhì))
TheMultiplicationProperty(Modulation)在時(shí)域中,一個(gè)信號(hào)和另一個(gè)信號(hào)相乘,可理解為用一個(gè)信號(hào)去調(diào)制另一個(gè)信號(hào)的幅度,叫做幅度調(diào)制。頻域卷積性質(zhì)在信號(hào)與系統(tǒng)的理論和方法以及在通信和信號(hào)處理中,有很多十分重要的應(yīng)用。例:求的傅立葉變換解:令4.5.1可變中心頻率的頻率選擇型濾波器利用幅度調(diào)制實(shí)現(xiàn)帶通濾波器帶通濾波器頻譜右移ωc通過(guò)帶寬為ω0的低通濾波器頻譜左移ωc4.6傅立葉變換性質(zhì)和基本傅立葉變換對(duì)列表
TablesofFourierPropertiesandofBasicFourierTransformPairs掌握表4.1和表4.2。4.7由線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng)
SystemCharacterizedbyLinearConstant-CoefficientDifferentialEquation連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的線性常微分方程描述:利用傅立葉變換的微分性質(zhì)。例:(1)求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)。(2)若系統(tǒng)的輸入信號(hào)是e-3tu(t),求響應(yīng)y(t)解:對(duì)微分方程兩邊同時(shí)進(jìn)行傅立葉變換:則:(2)若系統(tǒng)的輸入信號(hào)是e-3tu(t),則:補(bǔ)充:定義:稱為希爾伯特變換(1)求該系統(tǒng)的傅立葉變換(2)當(dāng)輸入信號(hào)為cos3t時(shí),輸出信號(hào)為多少?解:則:由于:根據(jù)對(duì)偶法則:故:(2)當(dāng)輸入信號(hào)為cos3t時(shí),例:設(shè)求證:解:代入:例:設(shè)輸入信號(hào)求沖激響應(yīng)分別為以下系統(tǒng)時(shí),分別求系統(tǒng)的輸出解:輸入信號(hào)是周期信號(hào),將其表示為傅立葉級(jí)數(shù)形式:則根據(jù)特征函數(shù)特征值的概念,輸出y(t)為:則:故:令:則:而:則:則:故:令:則:章末小結(jié)1、定義:2、常用信號(hào)的傅立葉變換3、周期信號(hào)的傅立葉變換周期信號(hào)需先轉(zhuǎn)換為傅立葉級(jí)數(shù)的形式,然后進(jìn)行傅立葉變換牢記單位沖激串的傅立葉變換:4、傅立葉變換的性質(zhì):(1)線性(
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