2022衡水中學地理內部學習資料專題08 外接球與內切球（新高考地區(qū)專用）（原卷版）

專題08外接球與內切球技巧導圖技巧導圖技巧詳講技巧詳講外接球8大模型秒殺公式推導1.墻角模型使用范圍：3組或3條棱兩兩垂直；或可在長方體中畫出該圖且各頂點與長方體的頂點重合（2）推導過程：長方體的體對角線就是外接球的直徑秒殺公式：（4）圖示過程秒殺公式：2.漢堡模型（1）使用范圍：有一條側棱垂直與底面的柱體或椎體（2）推導過程第一步：取底面的外心O1,，過外心做高的的平行且長度相等，在該線上中點為球心的位置第二步：根據勾股定理可得（3）秒殺公式：（4）圖示過程3.斗笠模型（1）使用范圍：正棱錐或頂點的投影在底面的外心上（2）推導過程第一步：取底面的外心O1,，連接頂點與外心，該線為空間幾何體的高h第二步：在h上取一點作為球心O第三步：根據勾股定理（3）秒殺公式：（4）圖示過程4.折疊模型使用范圍：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊推導過程第一步：過兩個平面取其外心H1、H2，分別過兩個外心做這兩個面的垂線且垂線相交于球心O第二步：計算第三步：（3）秒殺技巧：（4）圖示過程5.切瓜模型（1）使用范圍：有兩個平面互相垂直的棱錐（2）推導過程：第一步：分別在兩個互相垂直的平面上取外心F、N，過兩個外心做兩個垂面的垂線，兩條垂線的交點即為球心O，取BC的中點為M，連接FM、MN、OF、ON第二步：（3）秒殺公式：（4）圖示過程6.麻花模型（1）使用范圍：對棱相等的三棱錐（2）推導過程：設3組對棱的長度分別為x、y、z,長方體的長寬高分別為a、b、c秒殺公式：圖示過程7.矩形模型（1）使用范圍：棱錐有兩個平面為直角三角形且斜邊為同一邊（2）推導過程：根據球的定義可知一個點到各個頂點的距離相等該點為球心可得，斜邊為球的直徑（3）秒殺公式：（4）圖示過程鱷魚模型使用范圍：適用所有的棱錐推導過程：（3）秒殺公式：（4）圖示過程內切球的半徑---等體積法推導過程秒殺公式：圖示過程特別說明：下面例題或練習都是常規(guī)方法解題，大家可以利用模型的秒殺公式例題舉證例題舉證技巧1外接球之墻角模型【例1】（2020·河南高三月考）已知長方體中，，，與平面所成角的正弦值為，則該長方體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【舉一反三】1．（2020·全國高三專題練習）棱長為的正方體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．2．（2019·綏德中學）球面上有四個點，若兩兩垂直，且，則該球的表面積為（）A． B． C． D．技巧2外接球之漢堡模型【例2】（2020·四川瀘州市·高三）已知四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，且平面，則該四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【舉一反三】1．（2020·廣州市廣外）各頂點都在一個球面上的正四棱柱（底面是正方形，側棱垂直于底面）高為2，體積為8，則這個球的表面積是（）A． B． C． D．2．（2020·遼寧省高三）如圖，在三棱錐A﹣BCD中，BD⊥平面ADC，BD＝1，AB＝2，BC＝3，AC＝，則三棱錐A﹣BCD外接球的體積為（）A．4π B．3π C．2π D．4π3．（2020·廣東廣州市·高三月考）在長方體中，，，點在正方形內，平面，則三棱錐的外接球表面積為（）A． B． C． D．4．（2020·全國高三月考（文））三棱柱中，平面，，，，，則該三棱柱的外接球的體積為（）A． B． C． D．技巧3外接球之斗笠模型【例3】（2020·江蘇南通市·高三期中）正三棱錐中，，，則該棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【舉一反三】1．（2020·秦皇島市撫寧區(qū)第一中學）已知正三棱錐的側棱長為，底面邊長為6，則該正三棱錐外接球的表面積是________.2．正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為（）A． B． C． D．技巧4外接球之折疊模型【例4】（2020·廣東省高三）在三棱錐A﹣BCD中，△ABD與△CBD均為邊長為2的等邊三角形，且二面角的平面角為120°，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A．7π B．8π C． D．【舉一反三】1．（2020·山東棗莊市·高三期中）已知二面角的大小為120°，且，，.若點P、A、B、C都在同一個球面上，則該球的表面積的最小值為______.2．（2020·南昌市八一中學）如圖所示，三棱錐S一ABC中，△ABC與△SBC都是邊長為1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小為，若S，A，B，C四點都在球O的表面上，則球O的表面積為（）A．π B．π C．π D．3π技巧5外接球之切瓜模型【例5】（2020·內蒙古赤峰市·高三月考）已知三棱錐中，，，，，面面，則此三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【舉一反三】1．（2020·四川瀘州市·高三一模）已知三棱錐中，平面平面，且和都是邊長為2的等邊三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（）A． B． C． D．技巧6外接球之麻花模型【例6】（2020·四川省眉山市彭山區(qū)第二中學）在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．技巧7外接球之矩形模型【例7】（2020·新疆維吾爾自治區(qū)）在四面體中，，，則四面體的外接球的表面積為()A． B． C． D．【舉一反三】1．（2020·黑龍江省哈爾濱三中）四面體中，，平面，，，，則該四面體外接球的表面積為（）A． B． C． D．2．（2020·重慶一中高三）已知四面體滿足：，，則四面體外接球的表面積為_______.技巧8內切球半徑【例8】（2020·全國）正四面體的外接球與內切球的表面積比為（）A． B． C． D．不確定【舉一反三】1．（2020·北京）如圖所示，球內切于正方體．如果該正方體的棱長為a，那么球的體積為（）A． B． C． D．2．（2020·山西大同一中）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為等邊三角形，若該棱柱存在外接球與內切球，則其外接球與內切球表面積之比為（）A．25︰1 B．1︰25 C．1︰5 D．5︰13．（2020·江蘇無錫市第六高級中學）正三棱柱有一個半徑為的內切球，則此棱柱的體積是（）.A． B． C． D．技巧強化技巧強化1．（2020·江蘇鎮(zhèn)江市·高三期中）直三棱柱的所有頂點都在同一球面上，且，，，則該球的表面積為（）A． B． C． D．2．（2020·江西高三其他模擬）在三棱錐中，，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．3．（2020·四川瀘州市·高三）已知四棱錐中，平面，底面是邊長為2的正方形，且，則該四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．4．（2020·四川宜賓市·高三）已知點P，A，B，C在同一個球的球表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PB=，BC=，PC=，則該球的表面積為（）A．6π B．8π C．12π D．16π5．（2020·江西贛州市·高三）四面體中，底面，，，則四面體的外接球表面積為（）A． B． C． D．6．（2020·全國高三專題練習））平行四邊形中，，且，沿將四邊形折起成平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．7．（2020·湖北省鄂州高中高三月考）張衡(78年~139年)是中國東漢時期偉大的天文學家?文學家?數(shù)學家.他的數(shù)學著作有《算罔論》，他曾經得出結論：圓周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方體的外接球與內切球上各有一個動點，，若線段的最小值為，利用張衡的結論可得該正方體的外接球的表面積為（）A．30 B． C． D．368．（2020·江蘇南京市第二十九中學高三期中）已知直三棱柱的頂點都在球上，且，，，則此直三棱柱的外接球的表面積是（）A． B． C． D．9．（2020·全國高三專題練習）已知三棱柱(側棱底面，底面是正三角形)內接于球O，與底面所成的角是45°.若正三棱柱的體積是，則球O的表面積是（）A． B． C． D．10．（2020·甘肅省民樂縣第一中學高三）在四棱錐中，，，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．11．（2020·天津紅橋區(qū)·高三期中）已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是（）A．10 B．20 C．24 D．3212．（2020·河南洛陽市·高三月考）我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱（側棱垂直于底面的三棱柱）稱之為“塹堵”．如圖，三棱柱為一個“塹堵”，底面是以為斜邊的直角三角形且，，點在棱上，且，當?shù)拿娣e取最小值時，三棱錐的外接球表面積為（）A． B． C． D．13．（2020·山西高三月考）已知正三棱柱的體積為54，，記三棱柱的外接球為球，則外接球的表面積是__________．14．（2020·濟南市·山東省實驗中學高三月考）在三棱錐中，側棱底面且則該三棱錐的外接球的體積為__________．15．（2020·湖南懷化市·高三期中）如圖所示，在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為______.16．（2020·廣東肇慶市·高三月考）鱉臑（biēnào）出自《九章算術·商功》：“斜解立方，得兩重堵．斜解壍堵，其一為陽馬，一為鱉臑．”鱉臑是我國對四個面均為直角三角形的三棱錐的古稱．如圖，三棱錐是一個鱉臑，其中，，，且，過點B向AC引垂線，垂足為E，過E作CD的平行線，交AD于點F，連接BF．設三棱錐的外接球的表面積為，三棱錐的外接球的表面積為，則________．17．（2020·上海市松江二中高三期中）若體積為8的正方體的各個頂點均在一球面上，則該球的體積為______.18．（2020·江蘇南通市·高三期中）在我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，把兩底面為直角三角形的直棱柱稱為“塹堵”，已知三棱柱是一個“塹堵”，其中，，，則這個“塹堵”的外接球的表面積為________.19．（2020·合肥市第六中學高三期中）在長方體中，，，點在正方形內，平面，則三棱錐的外接球表面積為______.20．（2020·湖南高三開學考試）在四面體中，平面，，，，則該四面體的外接球的表面積為________.21．（2020·全國高三月考）我國古代數(shù)學名著《九章算術》中將正四棱錐稱為方錐.已知某方錐各棱長均為2，則其內切球的體積為______.22．（2020·江西南昌市·南昌十中）已知在三棱錐中，，，，則當點到平面的距離最大時，三棱錐外接球的表面積為___