第04講平面一般力系

3.平面一般力系

定義：作用在物體上的各力的作用線都在同一平面內(nèi)，既不相交于一點(diǎn)又不完全平行，這樣的力系稱為平面一般力系。如圖起重機(jī)橫梁。

GQFAyFAxFT平面一般力系的簡化

1.力的平移定理FAOF′

F″

AOF′

M=因此：作用于剛體上的力，可平移到剛體上的任意一點(diǎn)，但必須附加一力偶，其附加力偶矩等于原力對平移點(diǎn)的力矩。

dd2.平面一般力系向平面內(nèi)任意一點(diǎn)的簡化

作用于簡化中心O點(diǎn)的平面匯交力系可合成為一個力，稱為該力系的主矢，其作用線過簡化中心點(diǎn)O。各附加力偶組成的平面力偶系的合力偶矩，稱為該力系的主矩。主矩等于各分力對簡化中心的力矩的代數(shù)和，作用在力系所在的平面上,如圖示。主矢的大小和方向?yàn)椋?.簡化結(jié)果及分析結(jié)果：平面一般力系向平面內(nèi)一點(diǎn)簡化，得到一個主矢和一個主矩，主矢的大小和方向與簡化中心的選擇無關(guān)。主矩的值一般與簡化中心的選擇有關(guān)。

分析：（1）若，則原力系簡化為一個力和一個力偶。在這種情況下，根據(jù)力的平移定理，這個力和力偶還可以繼續(xù)合成為一個合力FR，其作用線離O點(diǎn)的距離為，利用主矩的轉(zhuǎn)向來確定合力FR的作用線在簡化中心的哪一側(cè)。OFR′

MoOFR

dOMoFR′

OFR

d(2)若，則原力系簡化為一個力。在這種情況下，附加力偶系平衡，主矢即為原力系的合力FR，作用于簡化中心。(3)若，則原力系簡化為一個力偶，其矩等于原力系對簡化中心的主矩。在這種情況下，簡化結(jié)果與簡化中心的選擇無關(guān)。即無論力系向哪一點(diǎn)簡化都是一個力偶，且力偶矩等于主矩。(4)若，則原力系是平衡力系。同理，如果力系是平衡力系，該力系的主矢、主矩必然為零。因此，就是平面一般力系平衡的必要與充分條件。由此可得平面一般力系的平衡方程為

：例1：求圖示梁支座的約束反力。已知

：aaaFFAB解:取梁為研究對象。受力圖如圖示。建立坐標(biāo)系，列平衡方程：FyFxFByxFx-FBsin30o=0Fy+FBcos30o-2F=0-Fa-2Fa+3aFBcos30o=0即：求得：FB=2.3KNFx=1.15KNFy=2KN4.平面平行力系定義：平面力系中各力的作用線互相平行，則稱為平行力系，如圖所示。F1F2F3F4F5yxo4.平面平行力系平面平行力系的平衡方程：如取坐標(biāo)系中Oy軸與各力平行，各力在x軸上的投影恒等于零，即因此，平面平行力系的平衡方程為：或式中A、B兩點(diǎn)連線不能與各力的作用線平行。例2：如圖示為鐵路起重機(jī)，起重機(jī)重力G1=500kN，重心C在兩鐵軌的對稱面內(nèi)，最大起重力F=200kN。為保證起重機(jī)在空載和滿載時都不致翻倒，求平衡重力G及其距離x。尺寸如圖所示。

AB

空載時，以A點(diǎn)為矩心，列平衡方程：

GX-0.75G1=0(1)

解：設(shè)左邊鐵軌對起重機(jī)的支撐力為FA，左邊鐵軌對起重機(jī)的支撐力為FB。則：空載時，此時FB=0；滿載時，F(xiàn)A=0。

滿載時，以B點(diǎn)為矩心，列平衡方程：

G(X+1.5)+0.75G1-6F=0(2)

由（1）、（2）可得：

G=300KNX=1.25m例4-3起重機(jī)的自重（平衡重除外）G=400kN，平衡重W=250kN。當(dāng)起重機(jī)由于超載即將向右翻倒時，左輪的反力等與零。因此，為了保證安全工作，必須使一側(cè)輪（A或B）的向上反力不得小于50kN。求最大起吊量P為多少？解：畫支座反力FNA與FNB。令FNA=50kN。列平衡方程：

P=200kN

如為空載，仍應(yīng)處于平衡狀態(tài)，故

例題4.2平面力系的平衡5.物體系統(tǒng)的平衡條件由多個構(gòu)件通過一定的約束組成的系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)（物系）。系統(tǒng)外部物體對系統(tǒng)的作用力稱為物系外力；系統(tǒng)內(nèi)部各構(gòu)件之間的相互作用力稱為物系內(nèi)力。二者沒有嚴(yán)格的區(qū)別。

在求解物系的平衡問題時，不僅要考慮系統(tǒng)外力，同時還要考慮系統(tǒng)內(nèi)力。若整個物系處于平衡時，那么組成這一物系的所有構(gòu)件也處于平衡。既可以以整個系統(tǒng)為研究對象，也可以取單個構(gòu)件為研究對象。例3:如圖所示一三鉸拱橋。左右兩半拱通過鉸鏈C聯(lián)接起來，通過鉸鏈A、B與橋基聯(lián)接。已知G=40kN，P=10kN。試求鉸鏈A、B、C三處的約束反力。3m解:取整體為研究對象畫出受力圖，并建立如圖所示坐標(biāo)系。列平衡方程

解之得：取左半拱為研究對象畫出受力圖，并建立如圖所示坐標(biāo)系。列解平衡方程：解之得：所以：物體系統(tǒng)：由若干個物體通過適當(dāng)?shù)募s束相互連接而成的系統(tǒng)。靜定問題：單個物體或物體系未知量的數(shù)目正好等于它的獨(dú)立的平衡方程的數(shù)目。超靜定或靜不定：未知量的數(shù)目多于獨(dú)立的平衡方程的數(shù)目.

4.3物體系統(tǒng)的平衡獨(dú)立的平衡方程數(shù)：3未知力數(shù)：3獨(dú)立的平衡方程數(shù)=未知力數(shù)獨(dú)立的平衡方程數(shù)：3未知力數(shù)：4未知力數(shù)>獨(dú)立的平衡方程數(shù)靜定問題超靜定問題4.3物體系統(tǒng)的平衡獨(dú)立的平衡方程數(shù)：6未知力數(shù)：6獨(dú)立的平衡方程數(shù)=未知力數(shù)獨(dú)立的平衡方程數(shù)：6未知力數(shù)：7未知力數(shù)>獨(dú)立的平衡方程數(shù)靜定問題超靜定問題4.3物體系統(tǒng)的平衡求解過程中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)

首先判斷物體系統(tǒng)是否屬于靜定問題

恰當(dāng)?shù)剡x擇研究對象在一般情況下，首先以系統(tǒng)的整體為研究對象，這樣則不出現(xiàn)未知的內(nèi)力，易于解出未知量。當(dāng)不能求出未知量時應(yīng)立即選取單個物體或部分物體的組合為研究對象，一般應(yīng)先選受力簡單而作用有已知力的物體為研究對象，求出部分未知量后，再研究其它物體。4.3物體系統(tǒng)的平衡受力分析①首先從二力構(gòu)件入手，可使受力圖比較簡單，有利于解題。②解除約束時，要嚴(yán)格地按照約束的性質(zhì)，畫出相應(yīng)的約束力，切忌憑主觀想象畫力。對于一個銷釘連接三個或三個以上物體時，要明確所選對象中是否包括該銷釘？解除了哪些約束？然后正確畫出相應(yīng)的約束反力。③畫受力圖時，關(guān)鍵在于正確畫出鉸鏈約束力，除二力構(gòu)件外，通常用二分力表示鉸鏈反力。④不畫研究對象的內(nèi)力。⑤兩物體間的相互作用力應(yīng)該符合作用與反作用定律。4.3物體系統(tǒng)的平衡列平衡方程，求未知量①列出恰當(dāng)?shù)钠胶夥匠?，盡量避免在方程中出現(xiàn)不需要求的未知量。為此可恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用力矩方程，適當(dāng)選擇兩個未知力的交點(diǎn)為矩心，所選的坐標(biāo)軸應(yīng)與較多的未知力垂直。②判斷清楚每個研究對象所受的力系及其獨(dú)立方程的個數(shù)及物體系獨(dú)立平衡方程的總數(shù)，避免列出不獨(dú)立的平衡方程。③解題時應(yīng)從未知力最少的方程入手，避免聯(lián)立解。④校核。求出全部所需的未知量后，可再列一個不重復(fù)的平衡方程，將計算結(jié)果代入，若滿足方程，則計算無誤。4.3物體系統(tǒng)的平衡例題例4-4圖中AD＝DB＝2m，CD＝DE＝1.5m，Q＝120kN，不計桿和滑輪的重量。試求支座A和B的約束力和BC桿的內(nèi)力。解：解除約束，畫整體受力圖列平衡方程4.3物體系統(tǒng)的平衡可用，驗(yàn)算FAy如下：例題4.3物體系統(tǒng)的平衡為求BC桿內(nèi)力F，取CDE桿連滑輪為研究對象，畫受力圖。列方程：F=–150kN，說明BC桿受壓力。例題4.3物體系統(tǒng)的平衡求BC桿的內(nèi)力，也可以取ADB桿為研究對象，畫受力圖。例題4.3物體系統(tǒng)的平衡4.4.1平面靜定桁架的構(gòu)成問題的提出：工程應(yīng)用背景桁架：由一些直桿彼此在兩端用鉸鏈連接而成的幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)。平面桁架：所有桿件的軸線都在同一平面內(nèi)的桁架；空間桁架：桿件軸線不在同一平面內(nèi)的桁架。4.4平面靜定桁架節(jié)點(diǎn)：桁架中桿件與桿件相連接的鉸鏈節(jié)點(diǎn)構(gòu)造有榫接（圖a）焊接（圖b）鉚接（圖c）整澆（圖d）均可抽象簡化為光滑鉸鏈4.4.1平面靜定桁架的構(gòu)成4.4平面靜定桁架各直桿兩端均以光滑鉸鏈連接；所有載荷在桁架平面內(nèi)，作用于節(jié)點(diǎn)上；桿自重不計。如果桿自重需考慮時，也將其等效加于兩端節(jié)點(diǎn)上。計算桁架各桿受力時的幾點(diǎn)假設(shè)滿足以上假設(shè)條件的桁架稱為理想桁架。理想桁架中的各桿件都是二力桿。4.4.2桁架桿件的內(nèi)力計算4.4平面靜定桁架簡單桁架：桁架由三根桿與三個節(jié)點(diǎn)組成一個基本三角形，然后用兩根不平行的桿件連接出一個新的節(jié)點(diǎn)，依次類推而構(gòu)成。簡單桁架組合桁架簡單桁架與組合桁架都是靜定桁架其桿件數(shù)m及節(jié)點(diǎn)數(shù)n滿足：2n＝m+3組合桁架：由幾個簡單桁架，按照幾何形狀不變的條件組成的桁架。4.4.2桁架桿件的內(nèi)力計算4.4平面靜定桁架桁架桿件內(nèi)力計算的節(jié)點(diǎn)法節(jié)點(diǎn)法適用于求解全部桿件內(nèi)力的情況以各個節(jié)點(diǎn)為研究對象的求解方法

求解要點(diǎn)逐個考慮各節(jié)點(diǎn)的平衡、畫出它們的受力圖應(yīng)用平面匯交力系的平衡方程，根據(jù)已知力求出各桿的未知內(nèi)力。在受力圖中，一般均假設(shè)桿的內(nèi)力為拉力，如果所得結(jié)果為負(fù)值，即表示該桿受壓4.4.2桁架桿件的內(nèi)力計算4.4平面靜定桁架桁架桿件內(nèi)力計算的截面法適用于求桁架中某些指定桿件的內(nèi)力求解要點(diǎn)被截開桿件的內(nèi)力成為該研究對象外力，可應(yīng)用平面一般力系的平衡條件求出這些被截開桿件的內(nèi)力。由于平面一般力系只有3個獨(dú)立平衡方程，所以一般說來，被截桿件應(yīng)不超出3個。假想用一截面截取出桁架的某一部分作為研究對象求解方法

4.4.2桁架桿件的內(nèi)力計算4.4平面靜定桁架零桿：桁架某些不受力的桿件零桿對保證桁架幾何形狀是不可缺的。在計算中，先判斷零桿。最常見的零桿發(fā)生在圖示的節(jié)點(diǎn)處4.4.2桁架桿件的內(nèi)力計算4.4平面靜定桁架例4-9一屋架的尺寸及載荷如圖所示，求每根桿件的內(nèi)力。解：首先求支座A、H的反力，由整體受力圖(a)，列平衡方程

FAy＝FNH＝20(kN)例題4.4平面靜定桁架F6=30kN(拉)，F(xiàn)3=0(零桿)

選取A節(jié)點(diǎn)畫受力圖，列平衡方程F1=–33.5kN(壓)，F(xiàn)2=30kN(拉)選取B節(jié)點(diǎn)畫受力圖，列平衡方程例題4.4平面靜定桁架

F4=–22.4kN(拉)，F(xiàn)5=–11.2kN(壓)F8=–22.4kN(壓)，F(xiàn)7=10kN(拉)選取D節(jié)點(diǎn)畫受力圖，列平衡方程選取C節(jié)點(diǎn)畫受力圖，列平衡方程例題4.4平面靜定桁架由于結(jié)構(gòu)和載荷都對稱，所以左右兩邊對稱位置的桿件內(nèi)力相同，故計算半個屋架即可。現(xiàn)將各桿的內(nèi)力標(biāo)在各桿的旁邊，如圖（f）所示。圖中正號表示拉力，負(fù)號表示壓力，力的單位為kN。可取H節(jié)點(diǎn)進(jìn)行校核。例題4.4平面靜定桁架例4-10

求圖所示桁架中CD桿的內(nèi)力。

解：按常規(guī)解法的思路是先求出支座B的反力，然后以節(jié)點(diǎn)法由節(jié)點(diǎn)B、F、C依