圖像變換編碼

數(shù)字圖像處理

DIGITALIMAGEPROCESSING鄭州輕工業(yè)學(xué)院計(jì)算機(jī)與通信工程學(xué)院主講人：蔣斌第3單元圖像編碼第8章圖像編碼基礎(chǔ)第9章圖像變換編碼第10章其他圖像編碼方法

圖像處理的目的除了改善圖像的視覺(jué)效果外，還希望在保證一定視覺(jué)質(zhì)量的前提下減少數(shù)據(jù)量，從而減少圖像傳輸所需的時(shí)間。

第9章授課大綱9.1可分離和正交圖像變換9.2離散余弦變換9.3正交變換編碼9.4小波變換9.5小波變換編碼1-D可分離變換 正變換 反變換

正向變換核反向變換核9.1可分離和正交圖像變換2-D可分離變換 （傅里葉變換是一個(gè)例子）

反向變換核正向變換核變換核與原始函數(shù)及變換后函數(shù)無(wú)關(guān)9.1可分離和正交圖像變換可分離

1個(gè)2-D變換分成2個(gè)1-D變換對(duì)稱(chēng)

(h1與h2的函數(shù)形式一樣)9.1可分離和正交圖像變換可分離且對(duì)稱(chēng)

圖像矩陣對(duì)稱(chēng)變換矩陣反變換矩陣變換結(jié)果反變換9.1可分離和正交圖像變換正交 考慮變換矩陣： 酉矩陣（*代表共軛）： 如果A為實(shí)矩陣，且： 則A為正交矩陣，此時(shí)變換為正交變換 對(duì)9.1可分離和正交圖像變換一種可分離、正交、對(duì)稱(chēng)的變換見(jiàn)教材350頁(yè)JPEG編碼1-D離散余弦變換（DCT）9.2離散余弦變換2-D離散余弦變換（DCT）9.2離散余弦變換2-D離散余弦變換示例9.2離散余弦變換9.3正交變換編碼9.3.1正交變換編碼系統(tǒng)9.3.2子圖像尺寸選擇9.3.3變換選擇9.3.4比特分配9.3.1正交變換編碼系統(tǒng)圖像分解：減少變換的計(jì)算復(fù)雜度圖像變換：解除每個(gè)子圖像內(nèi)部像素之間的

相關(guān)性，或者說(shuō)將盡可能多的信息集中到盡可能少的變換系數(shù)上壓縮不是在變換中而是在量化變換系數(shù)時(shí)取得的9.3.2子圖像尺寸選擇影響變換編碼誤差和計(jì)算復(fù)雜度

（壓縮量和計(jì)算復(fù)雜度都隨子圖像尺寸的增加而增加）兩個(gè)條件/考慮：相鄰子圖像之間的相關(guān)（冗余）減少到某個(gè)可接受的水平；子圖像的長(zhǎng)和寬都是2的整數(shù)次冪最常用的子圖像尺寸：8×8和16×169.3.4比特分配比特分配：對(duì)變換子圖像的系數(shù)截?cái)唷⒘炕途幋a的全過(guò)程截?cái)嗾`差截除的變換系數(shù)的數(shù)量和相對(duì)重要性用來(lái)表示所保留系數(shù)的精度（量化）保留系數(shù)的2個(gè)準(zhǔn)則最大方差準(zhǔn)則，稱(chēng)為分區(qū)編碼最大幅度準(zhǔn)則，稱(chēng)為閾值編碼9.3.4比特分配分區(qū)編碼具有最大方差的變換系數(shù)帶有最多的圖像信息。事先確定模板并保留一定的系數(shù)，即分區(qū)9.3.4比特分配閾值編碼

根據(jù)子圖像特性，自適應(yīng)選擇保留系數(shù)

將系數(shù)排隊(duì)，與閾值比較確定取舍（游程/變長(zhǎng)碼）9.3.4比特分配閾值編碼

隨子圖像不同而保留不同位置的變換系數(shù)

常用三種對(duì)變換子圖像取閾值（即產(chǎn)生式(9.3.3)所示模板函數(shù)）的方法：

(1)對(duì)所有子圖像用一個(gè)全局閾值，壓縮的程度隨（不同）子圖像而異

(2)對(duì)各個(gè)子圖像分別用不同的閾值，舍去同數(shù)量系數(shù)，碼率是個(gè)常數(shù)9.3.4比特分配閾值編碼

(3)根據(jù)子圖像中系數(shù)的位置選取閾值，將取閾值和量化結(jié)合起來(lái)

9.4小波變換9.4.1小波變換基礎(chǔ)9.4.21-D小波變換9.4.3快速小波變換9.4.42-D小波變換9.4.1小波變換基礎(chǔ)9.4.1小波變換基礎(chǔ)序列展開(kāi)

基：展開(kāi)函數(shù)的集合{uk

(x)}

函數(shù)空間：由所有函數(shù)f(x)構(gòu)成

雙正交基：（幾何矢量解釋?zhuān)?.4.1）

例：雙正交基u1=[20]T，u2=[?11]T

對(duì)偶基為u'1=[1/21/2]T，u'2=[01]T

數(shù)學(xué)概念內(nèi)積對(duì)偶對(duì)任意對(duì)象A和B，若存在一個(gè)函數(shù)f,使得f(A)=B并且f(B)=A，那么就稱(chēng)A為f下B的對(duì)偶，B為f下A的對(duì)偶,并稱(chēng)f為A和B的對(duì)偶函數(shù)或?qū)ε歼\(yùn)算

數(shù)學(xué)概念正交在線(xiàn)性代數(shù)中，若內(nèi)積空間中兩向量的內(nèi)積為0，則它們正交一個(gè)內(nèi)積空間的正交基是元素兩兩正交的基。稱(chēng)基中的元素為基向量。假若，一個(gè)正交基的基向量的模長(zhǎng)都是單位長(zhǎng)度1，則稱(chēng)這正交基為標(biāo)準(zhǔn)正交基或"規(guī)范正交基"在矩陣論中，矩陣Q的轉(zhuǎn)置矩陣QT為其逆矩陣Q-1，則Q為正交矩陣QT=Q-1給定一個(gè)向量空間V,V的一組基是指可線(xiàn)性生成V的一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的子集，基的元素稱(chēng)為基向量9.4.1小波變換基礎(chǔ)縮放函數(shù)用展開(kāi)函數(shù)作為縮放函數(shù)，并對(duì)其進(jìn)行平移和2進(jìn)制縮放

k確定了uj,k

(x)沿X-軸的位置，j確定了uj,k(x

)沿X-軸的寬度（所以u(píng)(x)也稱(chēng)為尺度函數(shù)），系數(shù)2

j/2控制uj,k(x

)的幅度

給定一個(gè)初始j（下面常取為0），就可確定一個(gè)縮放函數(shù)空間Uj，Uj

的尺寸隨j

的增減而增減9.4.1小波變換基礎(chǔ)縮放函數(shù)各個(gè)縮放函數(shù)空間Uj，j=–∞,…,0,1,…,∞是嵌套的，即Uj

?Uj+1，Uj

中的展開(kāi)函數(shù)可以表示成Uj+1中展開(kāi)函數(shù)的加權(quán)和

用hu

(k)表示縮放函數(shù)系數(shù)，因?yàn)閡(x)=u0,0

(x)多分辨率細(xì)化方程

任何一個(gè)子空間的展開(kāi)函數(shù)都可用其下一個(gè)分辨率（1/2分辨率）的子空間的展開(kāi)函數(shù)來(lái)構(gòu)建9.4.1小波變換基礎(chǔ)小波函數(shù)

用v(x)表示小波函數(shù)與vj,k

(x)對(duì)應(yīng)的空間為Vj

空間Uj，Uj+1和Vj

有如下關(guān)系（⊕表示空間的并）

在Uj+1中，Uj

的補(bǔ)是Vj9.4.1小波變換基礎(chǔ)小波函數(shù)

每一個(gè)Vj

空間是與其同一級(jí)的Uj

空間和上一級(jí)的Uj+1空間的差

如果考慮把j取到趨近–∞，則有可能僅用小波函數(shù)，而完全不用縮放函數(shù)來(lái)表達(dá)所有的f(x)

Uj

中所有uj,k

(x)

與Vj

中所有vj,k

(x)

是正交的9.4.1小波變換基礎(chǔ)縮放函數(shù)和小波函數(shù)示例9.4.1小波變換基礎(chǔ)縮放函數(shù)和小波函數(shù)示例

隨著j的增加，縮放函數(shù)變窄變高

圖9.4.4：僅用j=0的縮放函數(shù)不夠，還需要j=1的縮放函數(shù)

f(x)是屬于U1的，而不是屬于U0的9.4.1小波變換基礎(chǔ)縮放函數(shù)和小波函數(shù)示例

哈爾小波函數(shù)9.4.21-D小波變換見(jiàn)教材例9.4.3，212頁(yè)9.4.21-D小波變換9.4.3快速小波變換在尺度j上的系數(shù)Wu(j,k)和Wv(j,k)都可用在尺度j+1的近似系數(shù)Wu(j+1,k)分別與縮放矢量hu和小波矢量hv卷積再進(jìn)行亞抽樣得到

9.4.42-D小波變換2-D變換函數(shù)需要1個(gè)2-D縮放函數(shù)u(x,y)和3個(gè)2-D小波函數(shù)vH

(x,y)，vV

(x,y)，vD

(x,y)，每一個(gè)都是1-D縮放函數(shù)和對(duì)應(yīng)的小波函數(shù)的乘積

可分離的縮放函數(shù)

水平邊緣

垂直邊緣

沿對(duì)角線(xiàn)的變化9.4.42-D小波變換9.5小波變換編碼在JPEG-2000及MPEG-4和H.264中都得到了應(yīng)用9.5.1小波變換編解碼系統(tǒng)9.5.2基于提升小波的編碼

9.5.1小波變換編解碼系統(tǒng)小波變換編碼也是一種變換編碼方式與采用正交變換（如DCT）的編解碼系統(tǒng)不同，小波變換編解碼系統(tǒng)中沒(méi)有圖像分塊的模塊小波變換的計(jì)算效率很高，且本質(zhì)上具有局部性小波變換編碼不會(huì)產(chǎn)生使用DCT變換在高壓縮比

時(shí)出現(xiàn)的塊效應(yīng)9.5.1小波變換編解碼系統(tǒng)小波變換編碼需考慮的幾個(gè)因素小波選擇

如：哈爾小波、雙正交小波分解層數(shù)選擇

影響小波編碼計(jì)算的復(fù)雜度和重建誤差量化設(shè)計(jì)

對(duì)小波編碼壓縮和重建誤差影響最大

需在不同尺度間調(diào)整量化間隔{例：P.327}9.5.2基于提升小波的編碼可以在當(dāng)前位置實(shí)現(xiàn)整數(shù)到整數(shù)的變換，運(yùn)

算速度快且節(jié)約內(nèi)存。它包括三個(gè)步驟：分裂（split）

將圖像數(shù)據(jù)

分解成偶數(shù)部分

和奇數(shù)部分

9.5.2基于提升小波的編碼預(yù)測(cè)（predict）保持偶數(shù)部分不變并用偶數(shù)部分來(lái)預(yù)測(cè)奇數(shù)部分，然后用奇數(shù)部分與預(yù)測(cè)值的差（稱(chēng)為細(xì)節(jié)系數(shù)）替代奇數(shù)部分

9.5.2基于提升小波的編碼更新（update）

構(gòu)造一個(gè)作用于細(xì)節(jié)函數(shù)的算子U，并疊加

到偶數(shù)部分上以

獲得近似圖像，

這里要保持原始

圖像的一些特性

9.5.2基于提升小波的編碼重建過(guò)程

三個(gè)運(yùn)算：

（M合并）

實(shí)驗(yàn)課復(fù)習(xí)—傅里葉變換

2-D傅里葉變換傅里葉變換定理快速傅里葉變換1-D正變換 對(duì)1個(gè)連續(xù)函數(shù)f(x)等間隔采樣2-D傅里葉變換

1-D反變換 變換表達(dá)頻譜（幅度）相位角2-D傅里葉變換

2-D傅里葉變換

變換對(duì)公式頻譜（幅度）相位角功率譜

圖像平均灰度：，傅立葉變換域中原點(diǎn)的頻譜分量：

F(0,0)與圖像均值的關(guān)系

2-D圖像傅里葉變換圖示2-D傅立葉變換分離性質(zhì)

1次2-D

2次1-D

傅里葉變換定理

1、平移定理

傅里葉變換定理

傅里葉變換以變換域的原點(diǎn)(0,0)為中心，由傅里葉變換的周期性和共軛對(duì)稱(chēng)性可知，變換域中的能量對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn)集中分布。為了在內(nèi)得到一個(gè)完整的頻譜，需要將頻譜的原點(diǎn)移至（N/2,N/2）處。

2D傅里葉變換的頻譜平移

利用平移性質(zhì)，當(dāng)

2D傅里葉變換的頻譜平移f(x,y)F(u,v)F(u-N/2,v-N/2)通過(guò)簡(jiǎn)單的變換域平移將F(u,v)的原點(diǎn)移動(dòng)到變換域方陣的中心，使低頻能量集中在變換域的中心部分。2D傅里葉變換的頻譜平移2.旋轉(zhuǎn)性借助極坐標(biāo)變換：將其帶入到傅里葉變換式中可以得到將f(x,y)旋轉(zhuǎn)θ對(duì)應(yīng)于F(u,v)也旋轉(zhuǎn)θ，反之亦然傅里葉變換定理

3.尺度變換（縮放）傅里葉變換定理

4、剪切定理 （水平方向）純剪切 （垂直方向）純剪切

傅里葉變換定理

5、組合剪切定理 平移＋旋轉(zhuǎn)＋尺度 水平剪切及垂直剪切

垂直剪切

傅里葉變換定理

6、仿射定理傅里葉變換定理

7、卷積定理

2-D

傅里葉變換定理

8、相關(guān)定理互相關(guān)：