【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué) 第七章第七節(jié) 立體幾何體中的向量方法 A

1．若直線l1，l2的方向向量分別為a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，則(

)A．l1∥l2

B．l1⊥l2C．l1與l2相交但不垂直

D．以上均不正確解析：∵a·b＝2×(－6)＋4×9＋6×(－4)＝0，∴a⊥b，從而l1⊥l2.答案：B2．已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為(

)A．45°B．135°C．45°或135°D．90°答案：C3．正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD所成角的余弦值為________．4．如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1

中，AC⊥BC，D為AB的中點(diǎn)，AC＝BC＝BB1.(1)求證：BC1⊥AB1；(2)求證：BC1∥平面CA1D.證明：如圖，以C1點(diǎn)為原點(diǎn)，C1A1，C1B1，C1C所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AC＝BC＝BB1＝2，則A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)．1．兩個(gè)重要向量(1)直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行(或重合)的向量，一條直線的方向向量有

個(gè)．(2)平面的法向量直線l⊥平面α，取直線l的方向向量，則這個(gè)向量叫做平面α的法向量．顯然一個(gè)平面的法向量有

個(gè)，它們是共線向量．無數(shù)無數(shù)2．直線的方向向量與平面的法向量在確定直線和平面位置關(guān)系中的應(yīng)用(1)直線l1的方向向量為u1＝(a1，b1，c1)，直線l2的方向向量為u2＝(a2，b2，c2)．如果l1∥l2，那么u1∥u2?u1＝λu2?a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2；如果l1⊥l2，那么u1⊥u2?u1·u2＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)直線l的方向向量為u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量為n＝(a2，b2，c2)．若l∥α，則u⊥n?u·n＝0?

.若l⊥α，則u∥n?u＝kn?

.(3)平面α的法向量為u1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量為u2＝(a2，b2，c2)．若α∥β，u1∥u2?u1＝ku2?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)；若α⊥β，則u1⊥u2?u1·u2＝0?

.a1a2＋b1b2＋c1c2＝0a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2a1a2＋b1b2＋c1c2＝03．利用空間向量求空間角(1)求兩條異面直線所成的角設(shè)a、b分別是兩異面直線l1、l2的方向向量，則(2)求直線與平面所成的角設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ.則sinθ＝|cos〈a，n〉|＝.考點(diǎn)一利用空間向量證明平行、垂直關(guān)系如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點(diǎn)M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°的角．(1)求證：CM∥平面PAD；(2)求證：平面PAB⊥平面PAD.如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分別為B1A、C1C、BC的中點(diǎn)．(1)求證：DE∥平面ABC；(2)求證：B1F⊥平面AEF.(2010·天津高考)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求異面直線EF與A1D所成角的余弦值；(2)證明AF⊥平面A1ED；(3)求二面角A1－ED－F的正弦值．考點(diǎn)二利用空間向量求空間角(2010·湖南高考)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)．(1)求直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結(jié)論．考點(diǎn)三利用空間向量解決存在性問題如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E為BC的中點(diǎn)．(1)求異面直線NE與AM所成角的余弦值；(2)在線段AN上是否存在點(diǎn)S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求線段AS的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．利用空間向量證明空間中線面關(guān)系，計(jì)算空間的各種角是高考對(duì)立體幾何的常規(guī)考法．它以代數(shù)運(yùn)算代替復(fù)雜的空間的想象，給解決立體幾何問題帶來了鮮活的方法．另外，空間向量還可以用來解決許多探索性問題，這類問題具有一定的思維深度，更能考查學(xué)生的能力，因此正逐漸成為高考命題的熱點(diǎn)題型．2．證明空間向量的平行、垂直的方法(1)證線線平行與垂直．若直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則：①l1∥l2?v1∥v2.②l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0.(2)證線面平行與垂直若直線l的方向向量為v，平面α的法向量為n，則：①l∥α?v⊥n.②l⊥α?v∥n.(3)證面面平行與垂直若平面α和β的法向量分別為n1，n2，則①α∥β?n1∥n2.②α⊥β?n1⊥n2.3．利用空間向量求空間角的方法(1)若異面直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，它們所成的角為θ，則cosθ＝|cos〈v1，v2〉|.(2)利用空間向量方法求直線與平面所成的角，可以有兩種辦法：①分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；②通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．(3)利用空間向量方法求二面角，也可以有兩種辦法：①分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)找到一個(gè)與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大??；②通過平面的法向量來求：設(shè)二面角的兩個(gè)面的法向量分別為n1和n2，則二面角的大小等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．[特別警示]利用空間向量方法求二面角時(shí)，注意結(jié)合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角．1．若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是(

)A．a(chǎn)＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a(chǎn)＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a(chǎn)＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a(chǎn)＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解析：若l∥α，則a·n＝0.而A中a·n＝－2，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D選項(xiàng)中a·n＝－3＋3＝0.答案：D2．設(shè)平面α的法向量為(1,2，－2)，平面β的法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k＝(

)A．2