大學(xué)物理第二章氣體動(dòng)理論

第二章氣體分子運(yùn)動(dòng)論

(Kinetictheoryofgases)§2.1理想氣體的壓強(qiáng)與溫度§2.2溫度的微觀意義§2.3能量均分定理§2.4麥克斯韋速率分布律§2.5麥克斯韋速率分布律的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證（自學(xué)）§2.6玻耳茲曼分布律（自學(xué)）§2.7實(shí)際氣體等溫線（自學(xué)）§2.8范德瓦爾斯方程（自學(xué)）§2.9氣體分子的平均自由程§2.10輸運(yùn)過(guò)程（自學(xué)）§2.1理想氣體的壓強(qiáng)與溫度本節(jié)是典型的微觀研究方法。

一般氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的概念：分子的密度31019

個(gè)分子/cm3=3千億個(gè)億；分子之間有一定的間隙，有一定的作用力；分子熱運(yùn)動(dòng)的平均速度約v=500m/s；

分子的平均碰撞次數(shù)約z=1010

次/秒。一.微觀模型二．理想氣體壓強(qiáng)公式的推導(dǎo)三．理想氣體的溫度和分子平均平動(dòng)動(dòng)能1.對(duì)單個(gè)分子的力學(xué)性質(zhì)的假設(shè)一.微觀模型分子當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)，不占體積；（因?yàn)榉肿拥木€度<<分子間的平均距離）分子之間除碰撞的瞬間外，無(wú)相互作用力（忽略重力）彈性碰撞（動(dòng)能不變）服從牛頓力學(xué)分子數(shù)目太多，無(wú)法解那么多的聯(lián)立方程。即使能解也無(wú)用，因?yàn)榕鲎蔡l繁，運(yùn)動(dòng)情況瞬息萬(wàn)變，必須用統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)研究。(理想氣體的微觀假設(shè))定義:某一事件i發(fā)生的概率為Pi

Ni----事件i發(fā)生的次數(shù)

N----各種事件發(fā)生的總次數(shù)統(tǒng)計(jì)規(guī)律有以下幾個(gè)特點(diǎn):（1）只對(duì)大量偶然的事件才有意義.（2）它是不同于個(gè)體規(guī)律的整體規(guī)律(量變到質(zhì)變).（3）總是伴隨著漲落.NNPiNilim￥?=例:扔硬幣2.對(duì)分子集體的統(tǒng)計(jì)假設(shè)什么是統(tǒng)計(jì)規(guī)律性大量偶然事件從整體上反映出來(lái)的一種規(guī)律性。對(duì)大量分子組成的氣體系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)：VNdVdNn==dV----體積元（宏觀小，微觀大）（1）分子的速度各不相同，而且通過(guò)碰撞不斷變化著；（2）平衡態(tài)時(shí)分子按位置的分布是均勻的，即分子數(shù)密度到處一樣，不受重力影響；（3）平衡態(tài)時(shí)分子的速度按方向的分布是各向均勻的Axyz123lllimvixi分子與器壁碰撞一次獲得的動(dòng)量增量

2mvmvmvixixix=i分子一次碰撞給予器壁的沖量2mvix每1秒鐘給予器壁的沖量等于i分子給器壁的沖力ixixixv21=2mvmv21ll碰撞一次所需時(shí)間:vix21lmvix二、壓強(qiáng)公式的推導(dǎo)123llli分子給予器壁的沖力:N個(gè)分子給予器壁的壓強(qiáng)=FSPFSv2=nmx（n：分子數(shù)密度）mvix21lmvixFΣ21=lmvixΣ221=3=lllmvixΣ213NNi=1N2lllN個(gè)分子的平均沖力：v=x222++vvvyz2可證明：x2vv=32由統(tǒng)計(jì)假設(shè)：222vvv==xyzv=12Pmn3=23n()2mv2壓強(qiáng)公式：說(shuō)明：1.壓力公式是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，不是經(jīng)典力學(xué)規(guī)律。壓強(qiáng)公式將宏觀量P

和分子熱運(yùn)動(dòng)平動(dòng)動(dòng)能（微觀量）的統(tǒng)計(jì)平均值聯(lián)系起來(lái)，從而說(shuō)明了壓強(qiáng)的微觀本質(zhì)。2.對(duì)于其它形狀的容器，經(jīng)過(guò)一定的推算，也能得出同一結(jié)論。3.分子熱運(yùn)動(dòng)平均平動(dòng)動(dòng)能M=0mNmolmolPTR=VMM,=MmN,VTR0N()N玻爾茲曼恒量

kPTRV==MMmolk0==RN23×11.3810J.KRTV0NNmm=Pn=kTVTR0=N()N§2.2溫度的微觀意義比較這兩式得：t=32kTT理想氣體溫標(biāo)或熱力學(xué)溫標(biāo)v2=33kTm=RTMmol=1.73RTMmolmv122=32kT方均根速率:溫度的統(tǒng)計(jì)意義：溫度（宏觀量）是分子熱運(yùn)動(dòng)平均平動(dòng)動(dòng)能大小的量度。溫度是統(tǒng)計(jì)概念，只能用于大量分子，溫度標(biāo)志物體內(nèi)部分子無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)的劇烈程度。t=32kT例.在0oC時(shí)，H2分子

smv/18361002.227331.8332==-O2分子

smv/461103227331.8332==-確定一質(zhì)點(diǎn)在空間的位置需要三個(gè)坐標(biāo)：M(x,y,z)確定一剛性桿子在空間位置需要六個(gè)坐標(biāo)：約束條件：6個(gè)坐標(biāo)中只有5個(gè)是獨(dú)立的。12222111MM())(xxyyzz,,,,,2MM1l自由度:確定一物體在空間位置所需之獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。

1.質(zhì)點(diǎn)及剛性桿子的自由度一、自由度y111=xzzxy()))((222222++l研究氣體的能量時(shí)，氣體分子不能再看成質(zhì)點(diǎn)，微觀模型要修改，因?yàn)榉肿佑衅絼?dòng)動(dòng)能，還有轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，振動(dòng)動(dòng)能?！?.3能量均分定理GαβγxyzoPθG：x,y,zGP:αβγ,,繞GP轉(zhuǎn)角：θ約束條件：αγβcoscoscos2221=++剛體自由度數(shù)6{平動(dòng)自由度3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度3個(gè)

2.

剛體的自由度獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)——6個(gè)飛機(jī)：自由度為3（經(jīng)度、緯度、高度）火車(chē)：被限制在一曲線上運(yùn)動(dòng)，自由度為1；（經(jīng)度、緯度）輪船：被限制在一曲面上運(yùn)動(dòng)，自由度為2，自由度轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)雙原子分子523三原子多原子分子633單原子分子3033.

剛性分子的自由度iv2==zxyvv22kT1mvyzmvmv22211=x2kTkT22+++111222+xmvmvzy21mv===222221112kT能量按自由度均分原理：處于平衡態(tài)的氣體kT21分子每一自由度所占有的能量都為

二、能量按自由度均分原理分子熱運(yùn)動(dòng)的平均動(dòng)能1mol理想氣體的內(nèi)能：==kTEiiNmol02RT2M

kg理想氣體的內(nèi)能：=MimolM2ERTε=2kTi

三、理想氣體的內(nèi)能理想氣體內(nèi)能：系統(tǒng)中所有分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能之總和。（不包括分子間相互作用的能量）可以證明，當(dāng)討論：1.內(nèi)能是氣體狀態(tài)的單值函數(shù)理想氣體：E=E(T)2.在實(shí)際上當(dāng)TT=0E,0!量子力學(xué)=0時(shí)仍有零點(diǎn)能存在?！?.4麥克斯韋速率分布律單個(gè)分子速率不可預(yù)知，大量分子的速率分布是遵循統(tǒng)計(jì)規(guī)律，是確定的，這個(gè)規(guī)律也叫麥克斯韋速率分布律。速率分布函數(shù)：按統(tǒng)計(jì)假設(shè)分子速率通過(guò)碰撞不斷改變，不好說(shuō)正處于哪個(gè)速率的分子數(shù)多少，但用某一速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的比例為多少的概念比較合適，這就是分子按速率的分布。設(shè)總分子數(shù)N，速率區(qū)間v~v+dv，該區(qū)間內(nèi)分子數(shù)dNv則dNvN=f(v)dv速率分布函數(shù)速率v附近單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。顯然f(v)dv=1

0歸一化條件釷方向選擇φωωL速率選擇器屏金屬蒸汽vt=Lvφ12ωt=,L1vωφ=tt=令得：2通過(guò)改變?chǔ)乜色@得不同速率區(qū)間的分子。只有滿足此條件的分子才能同時(shí)通過(guò)兩縫。二、分子速率分布的測(cè)定——斯特恩實(shí)驗(yàn)分子實(shí)速驗(yàn)率數(shù)分據(jù)布的100~200速率區(qū)間百分?jǐn)?shù)200~300300~400400~500500~600600~700700~800800~900900100＜＞20.6%1.4%8.1%16.5%21.4%15.1%9.2%4.8%2.0%0.9%(m/s)

1859年麥克斯韋從理論上得到速率分布定律。1920年斯特恩從實(shí)驗(yàn)上證實(shí)了速率分布定律。速率分布函數(shù)：dN=N1dv(v)vfo24mv=vπ()mπ32e2kT22kTNfv(v)=limΔΔΔ0NvΔΔvNN+vv的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比：ΔΔvvv+的分子數(shù)N：三、麥克斯韋分子速率分布定律圖中小矩形面積f(v)=dvNdN(v)fvdvv歸一化條件：物理意義：所有速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)百分比之和應(yīng)等于1。f(v)dv=dNdvdNN=dN.v的表示vvdv+速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。在vf(v)0m大m小四、三種速率

1.

平均速率v1NNNΣ1vv2=2=ΔΔΔ+++vvΔ...NNNNNii12表示vv的分子總數(shù)。vf(v)dvv12Nvf(v)0T小T大當(dāng)ΔNi0時(shí)

2.方均根速率=23RTMmolvvNΣv=ΔNii8RTπMmolvf(v)dv=08=vf(v)dv

v22=80=3RTMmolv=vdNN=dNv()Ndvdv得：vvvvp2f(v)o由ef(v)=0evvp=2RTMmolvvv2＞＞p3.最可幾速率f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2溫度越高，速率大的分子數(shù)越多麥克斯韋速率分布函數(shù)f(v)=4

m2kT3/2v2e-mv/2kT2最概然速率vp不要問(wèn)速率剛好等于某一值的分子數(shù)多少，沒(méi)有意義。vp=2RTMmol例1.20個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速率如下：2個(gè)具有速率v0,3個(gè)具有速率2v0,5個(gè)具有速率3v0,4個(gè)具有速率4v0,3個(gè)具有速率5v0,2個(gè)具有速率6v0,1個(gè)具有速率7v0。試計(jì)算:(1)平均速率；(2)方均根速率；(3)最概然速率。NviΣ=iNv=v0++++++2v012v07v06v015v016v015v20=3.99v0=2v02+3(2v0)2+5(3v0)2+4(4v0)2+3(5v0)2+2(6v0)2+(7v0)220iv2NΣ=iNv2=vp3v0解：MH2=2×10-3kg/mol

MHg=0.20

kg/mol

TR3Mv2==v2=o23×

8.31×300

32×10-3

484m/s=v2=Hg3×

8.31×300

0.20193m/sMo2=32×10-3kg/mol

解：(1)=6.21×10-21JEk23==×1.38×10-23×300

kT23(2)平均平動(dòng)動(dòng)能=v2=H23×

8.31×300

2×10-3

1934m/s

例2.計(jì)算在300K溫度下，氫、氧和水銀蒸汽分子的方均根速率和平均平動(dòng)動(dòng)能。例3.設(shè)N個(gè)粒子的系統(tǒng)的速率分布函數(shù)為：>0，NVvkd()=vdv>k為常量()Nd=v0>Vv(1)畫(huà)出分布函數(shù)圖；(2)用N和V定出常量K；(3)用V表示出算術(shù)平均速率和方均根速率。=ò0ò0VNdvNkvdk=NvkNdvvdVvO==13v2ò0ò0VNdNkvdv221V==ò0ò0VNdNkvdvv2V(3)k=Ndvvd(2)解：(1)分布函數(shù)Nf(v)如圖k=NV∴dNvN=f(v)dv§2.9氣體分子的平均自由程氣體分子自由程線度~10-8m一個(gè)分子連續(xù)兩次碰撞之間經(jīng)歷的平均自由路程叫平均自由程一個(gè)分子單位時(shí)間里受到平均碰撞次數(shù)叫平均碰撞頻率Z單位時(shí)間內(nèi)分子經(jīng)歷的平均距離v，平均碰撞Z次

Zv=凡是分子中心位于管內(nèi)的分子（例如B、C分子）都將與A分子進(jìn)行碰撞。

一秒鐘內(nèi)分子將與分子中心位于管內(nèi)的所有分子進(jìn)行碰撞，所以平均碰撞次數(shù)為：（n：分子數(shù)密度）π2z=vnd以A分子運(yùn)動(dòng)路徑（折線）為軸線，作一半徑為d，總長(zhǎng)度為v

的圓管。D2dvdAA平均碰撞頻率ZBCEFG考慮到其它分子都在運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)精確計(jì)算得到分子平均碰撞次數(shù)為：nd2z=π2vPn=kTdλπkTnP2=π2=122d22nnddz=v==vvππ122λ平均自由程對(duì)空氣分子

d~3.510-10mnd2z=π2v分子平均碰撞次數(shù)標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下

Z~6.5109，