2022年湖南省益陽市普通高校對口單招高等數學一自考模擬考試(含答案)

2022年湖南省益陽市普通高校對口單招高等數學一自考模擬考試(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.

3.設lnx是f(x)的一個原函數，則f'(x)=（）。A.

B.

C.

D.

4.設∫0xf(t)dt=xsinx，則f(x)=()A.sinx+xcosxB.sinx-xcosxC.xcosx-sinxD.-(sinx+xcosx)

5.圖示懸臂梁，若已知截面B的撓度和轉角分別為vB和θB，則C端撓度為()。

A.vC=2uB

B.uC=θBα

C.vC=uB+θBα

D.vC=vB

6.設y1，y2為二階線性常系數微分方程y"+p1y+p2y=0的兩個特解，則C1y1+C2y2()A.為所給方程的解，但不是通解B.為所給方程的解，但不一定是通解C.為所給方程的通解D.不為所給方程的解

7.設f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內可導，且f(0)=f(1)，則在(0，1)內曲線y=f(x)的所有切線中()．A.A.至少有一條平行于x軸B.至少有一條平行于y軸C.沒有一條平行于x軸D.可能有一條平行于y軸

8.

9.

10.設在點x=1處連續(xù)，則a等于()。A.-1B.0C.1D.211.設z=y2x，則等于()．A.2xy2x-11

B.2y2x

C.y2xlny

D.2y2xlny

12.A.A.arctanx2

B.2xarctanx

C.2xarctanx2

D.

13.

14.A.A.1/3B.3/4C.4/3D.315.設Y=x2-2x+a，貝0點x=1()。A.為y的極大值點B.為y的極小值點C.不為y的極值點D.是否為y的極值點與a有關16.若f(x)為[a，b]上的連續(xù)函數，（）。A.小于0B.大于0C.等于0D.不確定

17.

18.

19.

20.設函數y=f(x)的導函數，滿足f'(-1)=0，當x＜-1時，f'(x)＜0；x＞-1時，f'(x)＞0．則下列結論肯定正確的是()．A.A.x=-1是駐點，但不是極值點B.x=-1不是駐點C.x=-1為極小值點D.x=-1為極大值點二、填空題(20題)21.

22.設，則y'=______。23.24.25.26.27.28.函數f(x)=x3-12x的極小值點x=_______.

29.

30.設，將此積分化為極坐標系下的積分，此時I=______.

31.32.

33.

34.

35.36.37.設z=sin(x2y)，則=________。

38.

39.

40.三、計算題(20題)41.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

42.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區(qū)間和極值．43.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

44.

45.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

46.求微分方程的通解．

47.

48.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數a>0．49.50.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則51.52.求函數y=x-lnx的單調區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．53.

54.

55.

56.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．57.證明：58.求函數一的單調區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．59.設平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．60.求曲線在點(1，3)處的切線方程．四、解答題(10題)61.

62.

63.求微分方程y"-y'-2y=0的通解。

64.

65.

66.

67.設y=3x+lnx，求y'．

68.

69.某廠要生產容積為Vo的圓柱形罐頭盒，問怎樣設計才能使所用材料最省?

70.

五、高等數學(0題)71.極限

=__________.

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.B

2.B解析：

3.C

4.A

5.C

6.B如果y1，y2這兩個特解是線性無關的，即≠C，則C1y1+C2y2是其方程的通解。現在題設中沒有指出是否線性無關，所以可能是通解，也可能不是通解，故選B。

7.A本題考查的知識點有兩個：羅爾中值定理；導數的幾何意義．

由題設條件可知f(x)在[0，1]上滿足羅爾中值定理，因此至少存在一點ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=0．這表明曲線y=f(x)在點(ξ，f(ξ))處的切線必定平行于x軸，可知A正確，C不正確．

如果曲線y=f(x)在點(ξ，f(ξ))處的切線平行于y軸，其中ξ∈(0，1)，這條切線的斜率為∞，這表明f'(ξ)=∞為無窮大，此時說明f(x)在點x=ξ不可導．因此可知B，D都不正確．

本題對照幾何圖形易于找出解答，只需依題設條件，畫出一條曲線，則可以知道應該選A．

有些考生選B，D，這是由于不明確導數的幾何意義而導致的錯誤．

8.A

9.B解析：

10.C本題考查的知識點為函數連續(xù)性的概念。

由于y為分段函數，x=1為其分段點。在x=1的兩側f(x)的表達式不同。因此討論y=f(x)在x=1處的連續(xù)性應該利用左連續(xù)與右連續(xù)的概念。由于

當x=1為y=f(x)的連續(xù)點時，應有存在，從而有，即

a+1=2。

可得：a=1，因此選C。

11.D本題考查的知識點為偏導數的運算．

z=y2x，若求，則需將z認定為指數函數．從而有

可知應選D．

12.C

13.B

14.B

15.B本題考查的知識點為一元函數的極值。求解的一般步驟為：先求出函數的一階導數，令偏導數等于零，確定函數的駐點．再依極值的充分條件來判定所求駐點是否為極值點。由于y=x2-2x+a，可由y'=2x-2=0，解得y有唯一駐點x=1．又由于y"=2，可得知y"|x=1=2＞0。由極值的充分條件可知x=1為y的極小值點，故應選B。如果利用配方法，可得y=(x-1)2+a-1≥a-1，且y|x=1=a-1，由極值的定義可知x=1為y的極小值點，因此選B。

16.C

17.B

18.C

19.D

20.C本題考查的知識點為極值的第一充分條件．

由f'(-1)=0，可知x=-1為f(x)的駐點，當x＜-1時，f'(x)＜0；當x＞-1時，f'(x)＞1，由極值的第一充分條件可知x=-1為f(x)的極小值點，故應選C．

21.-2-2解析：22.本題考查的知識點為導數的運算。23.－24．

本題考查的知識點為連續(xù)函數在閉區(qū)間上的最大值．

若f(x)在(a，b)內可導，在[a，b]上連續(xù)，?？梢岳脤蹬卸╢(x)在[a，b]上的最值：

24.

本題考查的知識點為定積分的換元法．

解法1

解法2

令t＝1＋x2，則dt＝2xdx．

當x＝1時，t＝2；當x＝2時，t＝5．

這里的錯誤在于進行定積分變量替換，積分區(qū)間沒做變化．

25.解析：

26.27.e；本題考查的知識點為極限的運算．

注意：可以變形，化為形式的極限．但所給極限通?？梢韵茸冃危?/p>

28.22本題考查了函數的極值的知識點。f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),當x=2或x=-2時,f'(x)=0,當x＜-2時,f'(x)＞0；當-2＜x＜2時,f'(x)＜0;當x＞2時,f’(x)＞0,因此x=2是極小值點，

29.

30.

31.5．

本題考查的知識點為二元函數的偏導數．

解法1

解法2

32.

33.x

34.

35.

本題考查的知識點為不定積分的換元積分法．

36.1/6

本題考查的知識點為計算二重積分．

37.設u=x2y，則z=sinu，因此=cosu.x2=x2cos(x2y)。

38.ln2

39.11解析：

40.1本題考查了一階導數的知識點。

41.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％42.函數的定義域為

注意

43.

44.

45.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

46.

47.

48.

49.

50.由等價無窮小量的定義可知

51.

52.

53.

則

54.

55.由一階線性微分方程通解公式有

56.

57.

58.

列表：

說明

59.由二重積分物理意義知

60.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

61.本題考查的知識點為兩個：定積分表示－個確定的數值；計算定積分．

這是解題的關鍵!為了能求出A，可考慮將左端也轉化為A的表