電磁場(chǎng)課件3靜電場(chǎng)環(huán)路定律、高斯定律、電極化

電磁場(chǎng)歡迎學(xué)習(xí)作業(yè)P19:1-2-1、1-2-3P67:1-4、1-5梯度散度旋度

矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)亥姆霍茲定理高斯定理斯托克斯定理

梯度、散度、旋度計(jì)算公式：庫侖定律庫侖定律是一個(gè)實(shí)驗(yàn)定律，也可以說是牛頓萬有引力定律在電學(xué)和磁學(xué)中的“推論”。庫侖定律：真空中兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷之間的作用力與這兩個(gè)電荷所帶電量的乘積成正比，和它們距離的平方成反比，作用力的方向沿著這兩個(gè)點(diǎn)電荷的連線，同名電荷相斥，異名電荷相吸。庫侖定律是1784—1785年間庫侖通過扭秤實(shí)驗(yàn)總結(jié)出來的。q1q2rF電場(chǎng)強(qiáng)度定義點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度帶電體的電場(chǎng)強(qiáng)度推導(dǎo)庫倫定律電場(chǎng)強(qiáng)度E的定義和計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度E矢量場(chǎng)有什么特性呢？矢量恒等式直接微分得故靜電場(chǎng)強(qiáng)度的旋場(chǎng)為零。

1.靜電場(chǎng)的旋度1.1.1靜電場(chǎng)的環(huán)路定律靜止點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度兩邊取旋度可以證明，上述結(jié)論亦適用于點(diǎn)電荷群和連續(xù)分布帶電體產(chǎn)生的電場(chǎng)。表明：靜電場(chǎng)是一個(gè)無旋場(chǎng)。即任一分布形式的靜電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)的旋度恒等于零，即2.靜電場(chǎng)的環(huán)路定律

在靜電場(chǎng)中,電場(chǎng)強(qiáng)度沿著閉合回路的環(huán)量恒等于零。

電場(chǎng)力作功與路徑無關(guān)，靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)。由斯托克斯定理，得電場(chǎng)力作功：a.b.L1L2在靜電場(chǎng)中可通過求解電位函數(shù)(Potential)，再利用上式可方便地求得電場(chǎng)強(qiáng)度E。式中負(fù)號(hào)表示電場(chǎng)強(qiáng)度的方向從高電位指向低電位。2)已知電荷分布，求電位：點(diǎn)電荷群連續(xù)分布電荷體1)電位的引出以點(diǎn)電荷為例推導(dǎo)電位：根據(jù)矢量恒等式1.1.2電位函數(shù)(ElectricPotential)3)E與的微分關(guān)系

在靜電場(chǎng)中，任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向總是沿著電位減少的最快方向，其大小等于電位的最大變化率。在直角坐標(biāo)系中：？()？()根據(jù)E與的微分關(guān)系，試問靜電場(chǎng)中的某一點(diǎn)可以通過先求得電位，再來計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度。標(biāo)量電位函數(shù)的引入，把靜電場(chǎng)矢量問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)量場(chǎng)問題，給求解分析問題帶來了很大方便。線積分式中設(shè)P0為電位參考點(diǎn)，即，則P點(diǎn)電位為所以4)

與E的積分關(guān)系5)

電位參考點(diǎn)的選擇原則

場(chǎng)中任意兩點(diǎn)的電位差與參考點(diǎn)無關(guān)。

同一個(gè)物理問題，只能選取一個(gè)參考點(diǎn)。

選擇參考點(diǎn)盡可能使電位表達(dá)式比較簡(jiǎn)單，且要有意義。例如：點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)：表達(dá)式無意義電荷分布在有限區(qū)域時(shí)，選擇無窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)。一般工程上，選大地或設(shè)備外殼為電位參考零點(diǎn)。電位計(jì)算——疊加積分法（1）點(diǎn)電荷的電勢(shì)：點(diǎn)電荷系的電勢(shì)：電勢(shì)疊加原理（2）連續(xù)帶電體的電勢(shì)：+q.PrP注：電勢(shì)是標(biāo)量，積分是標(biāo)量疊加，電勢(shì)疊加比電場(chǎng)疊加要簡(jiǎn)便，一般通過先求電位再來求電場(chǎng)。取電荷元，則任意點(diǎn)P處的電勢(shì)：例.計(jì)算均勻帶電q的圓環(huán)軸線上任意一點(diǎn)P的電勢(shì)。Rx解：先考慮環(huán)上電荷元dq在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)，再對(duì)環(huán)電荷進(jìn)行積分求總電勢(shì)。討論：(1)當(dāng)x=0，(2)當(dāng)x>>R，相當(dāng)于點(diǎn)電荷(3)若是一帶電圓盤？dq=2rdr.P6)

電場(chǎng)（力）線與等位線（面）E線：曲線上每一點(diǎn)切線方向應(yīng)與該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向一致，若dl是電場(chǎng)線的長(zhǎng)度元，E

矢量將與dl

方向一致，電力線微分方程在直角坐標(biāo)系中：微分方程的解即為電場(chǎng)線E的方程。當(dāng)取不同的C值時(shí)，可得到不同的等位線（面）。

在靜電場(chǎng)中電位相等的點(diǎn)的曲面稱為等位面，即等位線(面)方程:-++++++++++++++-------------

電場(chǎng)線的性質(zhì)：

(1)電場(chǎng)線起自正電荷,止于負(fù)電荷，或延伸到無窮遠(yuǎn)處。

(2)電場(chǎng)線不形成閉合曲線。

(3)在沒有電荷處,任兩條電場(chǎng)線不會(huì)相交,也不會(huì)中斷。平行電極板的電場(chǎng)正負(fù)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)在球坐標(biāo)系中：代入上式，得其中，表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。圖1.2.2電偶極子r1r2例.畫出電偶極子（正負(fù)電子對(duì)）的等位線和電力線。解：先分別考慮正負(fù)點(diǎn)電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)，再對(duì)正負(fù)電荷的電勢(shì)進(jìn)行疊加。因，則，。由電勢(shì)求電場(chǎng)，得電偶極子產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度圖1.2.2電偶極子r1r2求出電偶極子的等位線方程和電場(chǎng)線方程。電偶極子的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度分別為：1）電場(chǎng)線微分方程（球坐標(biāo)系）：將和分量代入上式，解得Ｅ線方程為2）等位線方程（球坐標(biāo)系）：電力線與等位線（面）的性質(zhì)：

E線不能相交;

E線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷;

E線愈密處，場(chǎng)強(qiáng)愈大;

E線與等位線（面）處處正交；電偶極子的等位線和電力線

相鄰兩等位面之間的電位差相等；

等位面愈密處，電場(chǎng)強(qiáng)度愈大。?

對(duì)上式等號(hào)兩端分別求散度，利用矢量計(jì)算性質(zhì)，得1.1.3靜電場(chǎng)的高斯定律1)靜電場(chǎng)的散度——高斯定律的微分形式靜止帶電體產(chǎn)生的電場(chǎng)所以δ—單位沖激函數(shù)高斯定律微分形式：說明靜電場(chǎng)是一個(gè)有源場(chǎng)，電荷就是場(chǎng)的散度源。物理意義:2)高斯定律的積分形式散度定理靜電場(chǎng)中任何一閉合曲面

S的電通量E，等于該曲面所包圍內(nèi)的電荷的代數(shù)和的0

分之一倍。SE+q例證：點(diǎn)電荷電場(chǎng)的高斯面積分高斯定理的應(yīng)用：①當(dāng)電荷分布具有某種對(duì)稱性時(shí)，可用高斯定理求出該電荷系統(tǒng)的電場(chǎng)的分布。比用庫侖定律簡(jiǎn)便。②當(dāng)已知場(chǎng)強(qiáng)分布時(shí)，可用高斯定理求出任一區(qū)域的電荷。高斯定理的意義：2.正負(fù)電荷就是場(chǎng)源電場(chǎng)線穿出電場(chǎng)線穿入無凈電場(chǎng)線穿出①定理中E是所取的封閉面S（高斯面）上的場(chǎng)強(qiáng)，它是由S面內(nèi)的電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)。②

E只決定于S面包圍的電荷，S面外的電荷對(duì)E無貢獻(xiàn)。說明：1.用電通量方程表示電場(chǎng)與場(chǎng)源電荷之間的關(guān)系。3)利用高斯定理求電場(chǎng)強(qiáng)度當(dāng)場(chǎng)源電荷分布具有某種對(duì)稱性時(shí)，應(yīng)用高斯定理，選取適當(dāng)?shù)母咚姑?，使面積分中的E能以標(biāo)量形式提出來，即可求出場(chǎng)強(qiáng)。均勻帶電球殼無限大均勻帶電平面均勻帶電細(xì)棒S

常見的電量分布的對(duì)稱性有：無限長(zhǎng)例.

用高斯定理求均勻帶電的無限長(zhǎng)圓柱棒的電場(chǎng)分布,已知線電荷密度。解：取以棒為軸，r為半徑，高為h的圓筒形封閉面為高斯面S(高斯柱面)。通過該面的電通量：00hr該電場(chǎng)分布具有軸對(duì)稱性。此閉合面包含的電荷總量:1.2.1導(dǎo)體和電介質(zhì)1物體靜電表現(xiàn)?

導(dǎo)體:內(nèi)部含有大量的自由電子，在電場(chǎng)作用下可以定向移動(dòng)。?

電介質(zhì)：電子被原子核所束縛而不能自由移動(dòng)，形成束縛電荷。2靜電場(chǎng)中導(dǎo)體性質(zhì)（靜電平衡）3.導(dǎo)體表面電場(chǎng)強(qiáng)度垂直于導(dǎo)體切面；2.導(dǎo)體是等位體，導(dǎo)體表面為等位面；1.導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度E為零，靜電平衡；Eo

導(dǎo)體內(nèi)部的場(chǎng)強(qiáng):=0導(dǎo)體的靜電平衡狀態(tài)——導(dǎo)體內(nèi)部和表面都沒有自由電荷作宏觀定向運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)。4.電荷分布在導(dǎo)體的外表面。電介質(zhì)在外電場(chǎng)作用下發(fā)生極化，形成有向排列的電偶極子，并在電介質(zhì)內(nèi)部和表面形成極化電荷。式中，為體積元內(nèi)電偶極矩的矢量和，P的方向從負(fù)極化電荷指向正極化電荷。無極性分子有極性分子電介質(zhì)的極化用極化強(qiáng)度P

表示電介質(zhì)的極化程度，即C/m2電偶極矩體密度1.2.2靜電場(chǎng)中的電介質(zhì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中，電極化強(qiáng)度P與電場(chǎng)強(qiáng)度E

成正比，即均勻：媒質(zhì)參數(shù)不隨空間位置不同而變化。各向同性：媒質(zhì)的特性不隨空間方向而改變,反之稱為各向異性；線性：媒質(zhì)的參數(shù)不隨電場(chǎng)的強(qiáng)度而變化；—電介質(zhì)的極化率—相對(duì)介電常數(shù)極化強(qiáng)度的計(jì)算極化電荷和自由電荷一樣，都會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng)。P+q-q采用電位梯度法求電場(chǎng)，先考慮一個(gè)電偶極子產(chǎn)生的電位，再對(duì)所有極化電荷求積分獲得總電位。極化強(qiáng)度P是電偶極矩體密度，根據(jù)疊加原理，體積V內(nèi)電偶極子產(chǎn)生的電位為：體積V內(nèi)電偶極矩產(chǎn)生的電位電介質(zhì)極化電荷產(chǎn)生的電位和電場(chǎng)式中而矢量恒等式：體積V內(nèi)電偶極矩產(chǎn)生的電位散度定理令為極化電荷體密度為極化電荷面密度有電介質(zhì)和自由電荷存在的場(chǎng)域中，任一點(diǎn)的電位及電場(chǎng)強(qiáng)度表示為電介質(zhì)極化后，由極化面電荷和極化體電荷共同作用產(chǎn)生電位。極化電荷體密度極化電荷面密度

根據(jù)電荷守恒原理，這兩部分極化電荷的總和為零。1.2.3電介質(zhì)中的靜電場(chǎng)電介質(zhì)中的高斯定理應(yīng)寫為：自由電荷極化電荷真空中的高斯定理為：當(dāng)有電介質(zhì)存在時(shí)，電場(chǎng)可看成是自由電荷和極化電荷共同在真空中引起的。+SEqqP自由電荷：極化電荷：代入整理，得引入：定義D

為電通量密度，或電位移矢量，則高斯定律一般形式為電介質(zhì)中的高斯定律應(yīng)用散度定理因此，微分式有這是高斯定律的微分形式，它表明靜電場(chǎng)中任一點(diǎn)上電通量密度(電位移矢量)D的散度等于該點(diǎn)的自由電荷體密度。高斯定理積分式關(guān)于介質(zhì)中的高斯定理的辨析：1.介質(zhì)中的高斯定理，方程右邊只含自由電荷電量q的代數(shù)和，不包含極化電荷的電量。2.高斯定理左邊的電位移矢量是高斯面內(nèi)自由電荷和極化電荷產(chǎn)生的矢量和，而不僅僅只是自由電荷、極化電荷單獨(dú)產(chǎn)生的電位移矢量。上式為電介質(zhì)的構(gòu)成方程，表明電介質(zhì)中電通量密度（電位移矢量）與電場(chǎng)強(qiáng)度之間的關(guān)系，其中ε

為介電常數(shù)。

在各向同性介質(zhì)中通常，先由高斯定理求出電通量密度D，再由構(gòu)成方程求得電場(chǎng)強(qiáng)度E。關(guān)于電位移矢量說明：1.電位移矢量沒有明確的物理意義，只是一個(gè)中間代換量。2.電位移矢量也可以用電位移矢量力線加以形象表述，但不一定與電力線方向一致。例：平板電容器中有一塊介質(zhì),畫出D、E

和P線分布。D、E與P

三者之間的關(guān)系D線E線P線D

線由正的自由電荷出發(fā)，終止于負(fù)的自由電荷；E

線由正電荷出發(fā)，終止于負(fù)電荷；P

線由負(fù)的極化電荷出發(fā)，終止于正的極化電荷。例：已知導(dǎo)體球(R1,Q),均勻電介質(zhì)同心球殼(r,

R2,R