電磁場課件3靜電場環(huán)路定律、高斯定律、電極化

電磁場歡迎學(xué)習(xí)作業(yè)P19:1-2-1、1-2-3P67:1-4、1-5梯度散度旋度

矢量場標量場亥姆霍茲定理高斯定理斯托克斯定理

梯度、散度、旋度計算公式：庫侖定律庫侖定律是一個實驗定律，也可以說是牛頓萬有引力定律在電學(xué)和磁學(xué)中的“推論”。庫侖定律：真空中兩個靜止的點電荷之間的作用力與這兩個電荷所帶電量的乘積成正比，和它們距離的平方成反比，作用力的方向沿著這兩個點電荷的連線，同名電荷相斥，異名電荷相吸。庫侖定律是1784—1785年間庫侖通過扭秤實驗總結(jié)出來的。q1q2rF電場強度定義點電荷的電場強度帶電體的電場強度推導(dǎo)庫倫定律電場強度E的定義和計算電場強度E矢量場有什么特性呢？矢量恒等式直接微分得故靜電場強度的旋場為零。

1.靜電場的旋度1.1.1靜電場的環(huán)路定律靜止點電荷的電場強度兩邊取旋度可以證明，上述結(jié)論亦適用于點電荷群和連續(xù)分布帶電體產(chǎn)生的電場。表明：靜電場是一個無旋場。即任一分布形式的靜電荷產(chǎn)生的電場的旋度恒等于零，即2.靜電場的環(huán)路定律

在靜電場中,電場強度沿著閉合回路的環(huán)量恒等于零。

電場力作功與路徑無關(guān)，靜電場是保守場。由斯托克斯定理，得電場力作功：a.b.L1L2在靜電場中可通過求解電位函數(shù)(Potential)，再利用上式可方便地求得電場強度E。式中負號表示電場強度的方向從高電位指向低電位。2)已知電荷分布，求電位：點電荷群連續(xù)分布電荷體1)電位的引出以點電荷為例推導(dǎo)電位：根據(jù)矢量恒等式1.1.2電位函數(shù)(ElectricPotential)3)E與的微分關(guān)系

在靜電場中，任意一點的電場強度E的方向總是沿著電位減少的最快方向，其大小等于電位的最大變化率。在直角坐標系中：？()？()根據(jù)E與的微分關(guān)系，試問靜電場中的某一點可以通過先求得電位，再來計算電場強度。標量電位函數(shù)的引入，把靜電場矢量問題轉(zhuǎn)化為標量場問題，給求解分析問題帶來了很大方便。線積分式中設(shè)P0為電位參考點，即，則P點電位為所以4)

與E的積分關(guān)系5)

電位參考點的選擇原則

場中任意兩點的電位差與參考點無關(guān)。

同一個物理問題，只能選取一個參考點。

選擇參考點盡可能使電位表達式比較簡單，且要有意義。例如：點電荷產(chǎn)生的電場：表達式無意義電荷分布在有限區(qū)域時，選擇無窮遠處為參考點。一般工程上，選大地或設(shè)備外殼為電位參考零點。電位計算——疊加積分法（1）點電荷的電勢：點電荷系的電勢：電勢疊加原理（2）連續(xù)帶電體的電勢：+q.PrP注：電勢是標量，積分是標量疊加，電勢疊加比電場疊加要簡便，一般通過先求電位再來求電場。取電荷元，則任意點P處的電勢：例.計算均勻帶電q的圓環(huán)軸線上任意一點P的電勢。Rx解：先考慮環(huán)上電荷元dq在P點產(chǎn)生的電勢，再對環(huán)電荷進行積分求總電勢。討論：(1)當x=0，(2)當x>>R，相當于點電荷(3)若是一帶電圓盤？dq=2rdr.P6)

電場（力）線與等位線（面）E線：曲線上每一點切線方向應(yīng)與該點電場強度E的方向一致，若dl是電場線的長度元，E

矢量將與dl

方向一致，電力線微分方程在直角坐標系中：微分方程的解即為電場線E的方程。當取不同的C值時，可得到不同的等位線（面）。

在靜電場中電位相等的點的曲面稱為等位面，即等位線(面)方程:-++++++++++++++-------------

電場線的性質(zhì)：

(1)電場線起自正電荷,止于負電荷，或延伸到無窮遠處。

(2)電場線不形成閉合曲線。

(3)在沒有電荷處,任兩條電場線不會相交,也不會中斷。平行電極板的電場正負點電荷的電場在球坐標系中：代入上式，得其中，表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。圖1.2.2電偶極子r1r2例.畫出電偶極子（正負電子對）的等位線和電力線。解：先分別考慮正負點電荷在P點產(chǎn)生的電勢，再對正負電荷的電勢進行疊加。因，則，。由電勢求電場，得電偶極子產(chǎn)生的電場強度圖1.2.2電偶極子r1r2求出電偶極子的等位線方程和電場線方程。電偶極子的電位和電場強度分別為：1）電場線微分方程（球坐標系）：將和分量代入上式，解得Ｅ線方程為2）等位線方程（球坐標系）：電力線與等位線（面）的性質(zhì)：

E線不能相交;

E線起始于正電荷，終止于負電荷;

E線愈密處，場強愈大;

E線與等位線（面）處處正交；電偶極子的等位線和電力線

相鄰兩等位面之間的電位差相等；

等位面愈密處，電場強度愈大。?

對上式等號兩端分別求散度，利用矢量計算性質(zhì)，得1.1.3靜電場的高斯定律1)靜電場的散度——高斯定律的微分形式靜止帶電體產(chǎn)生的電場所以δ—單位沖激函數(shù)高斯定律微分形式：說明靜電場是一個有源場，電荷就是場的散度源。物理意義:2)高斯定律的積分形式散度定理靜電場中任何一閉合曲面

S的電通量E，等于該曲面所包圍內(nèi)的電荷的代數(shù)和的0

分之一倍。SE+q例證：點電荷電場的高斯面積分高斯定理的應(yīng)用：①當電荷分布具有某種對稱性時，可用高斯定理求出該電荷系統(tǒng)的電場的分布。比用庫侖定律簡便。②當已知場強分布時，可用高斯定理求出任一區(qū)域的電荷。高斯定理的意義：2.正負電荷就是場源電場線穿出電場線穿入無凈電場線穿出①定理中E是所取的封閉面S（高斯面）上的場強，它是由S面內(nèi)的電荷產(chǎn)生的場強。②

E只決定于S面包圍的電荷，S面外的電荷對E無貢獻。說明：1.用電通量方程表示電場與場源電荷之間的關(guān)系。3)利用高斯定理求電場強度當場源電荷分布具有某種對稱性時，應(yīng)用高斯定理，選取適當?shù)母咚姑?，使面積分中的E能以標量形式提出來，即可求出場強。均勻帶電球殼無限大均勻帶電平面均勻帶電細棒S

常見的電量分布的對稱性有：無限長例.

用高斯定理求均勻帶電的無限長圓柱棒的電場分布,已知線電荷密度。解：取以棒為軸，r為半徑，高為h的圓筒形封閉面為高斯面S(高斯柱面)。通過該面的電通量：00hr該電場分布具有軸對稱性。此閉合面包含的電荷總量:1.2.1導(dǎo)體和電介質(zhì)1物體靜電表現(xiàn)?

導(dǎo)體:內(nèi)部含有大量的自由電子，在電場作用下可以定向移動。?

電介質(zhì)：電子被原子核所束縛而不能自由移動，形成束縛電荷。2靜電場中導(dǎo)體性質(zhì)（靜電平衡）3.導(dǎo)體表面電場強度垂直于導(dǎo)體切面；2.導(dǎo)體是等位體，導(dǎo)體表面為等位面；1.導(dǎo)體內(nèi)部電場強度E為零，靜電平衡；Eo

導(dǎo)體內(nèi)部的場強:=0導(dǎo)體的靜電平衡狀態(tài)——導(dǎo)體內(nèi)部和表面都沒有自由電荷作宏觀定向運動的狀態(tài)。4.電荷分布在導(dǎo)體的外表面。電介質(zhì)在外電場作用下發(fā)生極化，形成有向排列的電偶極子，并在電介質(zhì)內(nèi)部和表面形成極化電荷。式中，為體積元內(nèi)電偶極矩的矢量和，P的方向從負極化電荷指向正極化電荷。無極性分子有極性分子電介質(zhì)的極化用極化強度P

表示電介質(zhì)的極化程度，即C/m2電偶極矩體密度1.2.2靜電場中的電介質(zhì)實驗結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中，電極化強度P與電場強度E

成正比，即均勻：媒質(zhì)參數(shù)不隨空間位置不同而變化。各向同性：媒質(zhì)的特性不隨空間方向而改變,反之稱為各向異性；線性：媒質(zhì)的參數(shù)不隨電場的強度而變化；—電介質(zhì)的極化率—相對介電常數(shù)極化強度的計算極化電荷和自由電荷一樣，都會產(chǎn)生電場。P+q-q采用電位梯度法求電場，先考慮一個電偶極子產(chǎn)生的電位，再對所有極化電荷求積分獲得總電位。極化強度P是電偶極矩體密度，根據(jù)疊加原理，體積V內(nèi)電偶極子產(chǎn)生的電位為：體積V內(nèi)電偶極矩產(chǎn)生的電位電介質(zhì)極化電荷產(chǎn)生的電位和電場式中而矢量恒等式：體積V內(nèi)電偶極矩產(chǎn)生的電位散度定理令為極化電荷體密度為極化電荷面密度有電介質(zhì)和自由電荷存在的場域中，任一點的電位及電場強度表示為電介質(zhì)極化后，由極化面電荷和極化體電荷共同作用產(chǎn)生電位。極化電荷體密度極化電荷面密度

根據(jù)電荷守恒原理，這兩部分極化電荷的總和為零。1.2.3電介質(zhì)中的靜電場電介質(zhì)中的高斯定理應(yīng)寫為：自由電荷極化電荷真空中的高斯定理為：當有電介質(zhì)存在時，電場可看成是自由電荷和極化電荷共同在真空中引起的。+SEqqP自由電荷：極化電荷：代入整理，得引入：定義D

為電通量密度，或電位移矢量，則高斯定律一般形式為電介質(zhì)中的高斯定律應(yīng)用散度定理因此，微分式有這是高斯定律的微分形式，它表明靜電場中任一點上電通量密度(電位移矢量)D的散度等于該點的自由電荷體密度。高斯定理積分式關(guān)于介質(zhì)中的高斯定理的辨析：1.介質(zhì)中的高斯定理，方程右邊只含自由電荷電量q的代數(shù)和，不包含極化電荷的電量。2.高斯定理左邊的電位移矢量是高斯面內(nèi)自由電荷和極化電荷產(chǎn)生的矢量和，而不僅僅只是自由電荷、極化電荷單獨產(chǎn)生的電位移矢量。上式為電介質(zhì)的構(gòu)成方程，表明電介質(zhì)中電通量密度（電位移矢量）與電場強度之間的關(guān)系，其中ε

為介電常數(shù)。

在各向同性介質(zhì)中通常，先由高斯定理求出電通量密度D，再由構(gòu)成方程求得電場強度E。關(guān)于電位移矢量說明：1.電位移矢量沒有明確的物理意義，只是一個中間代換量。2.電位移矢量也可以用電位移矢量力線加以形象表述，但不一定與電力線方向一致。例：平板電容器中有一塊介質(zhì),畫出D、E

和P線分布。D、E與P

三者之間的關(guān)系D線E線P線D

線由正的自由電荷出發(fā)，終止于負的自由電荷；E

線由正電荷出發(fā)，終止于負電荷；P

線由負的極化電荷出發(fā)，終止于正的極化電荷。例：已知導(dǎo)體球(R1,Q),均勻電介質(zhì)同心球殼(r,

R2,R