四川大學數字邏輯第1章

第1章 數字概念與數制系統(tǒng)Chapter1:NumberSystemsandCodes計算機學院潘薇主要內容數字概念數制系統(tǒng)數制系統(tǒng)的轉換二進制編碼主要內容數字概念數制系統(tǒng)數制系統(tǒng)的轉換二進制編碼數字與模擬數字（Digital）——離散模擬（Analog）——連續(xù)溫度、時間、電量……數字與模擬數字與模擬模擬伏特表數字伏特表什么是數字系統(tǒng)?若信號的變化在時間上和數值上都是離散的，或者說斷續(xù)的，則稱為離散信號。離散信號的變化可以用不同的數字反映，所以又稱為數字信號。數字系統(tǒng)是一個能對數字信號進行加工、傳遞和存儲的實體，它由實現各種功能的數字邏輯電路相互連接而成。例如，數字計算機。用來處理數字信號的電子線路稱為數字電路。由于其各種功能是通過邏輯運算和邏輯判斷來實現的，所以又稱為數字邏輯電路或者邏輯電路。數字邏輯電路的特點電路的基本工作信號是二值信號。它表現為電路中電壓的“高”或“低”、開關的“接通”或“斷開”、晶體管的“導通”或“截止”等兩種穩(wěn)定的物理狀態(tài)電路結構簡單、功耗低、便于集成制造和系列化生產；產品價格低廉、使用方便、通用性好。由數字邏輯電路構成的數字系統(tǒng)工作速度快、精度高、功能強、可靠性好。數字系統(tǒng)綜述第四級：復雜的功能邏輯單元第三級：功能邏輯單元第二級：功能邏輯門單元第一級：電子元件超大規(guī)模集成VLSI，如微處理器中、大規(guī)模集成MSI與LSI，如加法器、計數器、乘法器小規(guī)模集成SSI，與門、非門、與非門，或者少量門的組合邏輯元件級，如晶體管、二極管、電阻、電容第五級：復雜系統(tǒng)2~4級單元的組合，面向事物處理功能的系統(tǒng)數字系統(tǒng)的歷史17世紀19世紀20世紀現代Pascal（機械加法器）1642Gottfried（乘法、除法器）1671Jacquard（織布機）CharlesBabbage（自動計算器）GeorgeBoole（布爾代數）Intel：第一個微處理器生產、通信、娛樂、科技、生活汽車控制系統(tǒng)B超診斷儀CT掃描儀數字存儲示波器生產過程控制系統(tǒng)生產過程控制、醫(yī)療設備飛行控制系統(tǒng)航天飛機導彈及發(fā)射控制系統(tǒng)軍用與航空航天設備數字系統(tǒng)無所不在……數字邏輯電路的類型根據一個電路是否具有記憶功能，可將數字邏輯電路分為：組合邏輯電路時序邏輯電路數字邏輯電路的類型組合邏輯電路:如果一個邏輯電路在任何時刻的穩(wěn)定輸出僅取決于該時刻的輸入，而與電路過去的輸入無關，則稱為組合邏輯(CombinationalLogic)電路。由于這類電路的輸出與過去的輸入信號無關，所以不需要有記憶功能。例如，一個“多數表決器”，表決的結果僅取決于參予表決的成員當時的態(tài)度是“贊成”還是“反對”，因此屬于組合電路。數字邏輯電路的類型時序邏輯電路:

如果一個邏輯電路在任何時刻的輸出不僅取決于該時刻的輸入，而且與過去的輸入相關，則稱為時序邏輯(SequentialLogic)電路。由于這類電路的輸出與過去的輸入相關，所以要用電路中記憶元件的狀態(tài)來反映過去的輸入信號。例如，一個統(tǒng)計串行輸入脈沖信號個數的計數器，它的輸出結果不僅與當時的輸入脈沖相關，還與前面收到的脈沖個數相關，因此，計數器是一個時序邏輯電路。數字邏輯電路的類型時序邏輯電路按照是否有統(tǒng)一的時鐘信號進行同步，又可進一步分為：同步時序邏輯電路異步時序邏輯電路數字邏輯電路的研究方法對數字系統(tǒng)中邏輯電路的研究有兩個主要任務：一是分析，二是設計。對一個已有的數字邏輯電路，研究它的工作性能和邏輯功能稱為邏輯分析。根據提出的邏輯功能，在給定條件下構造出實現預定功能的邏輯電路稱為邏輯設計。數字邏輯電路的研究方法傳統(tǒng)方法：傳統(tǒng)方法是建立在小規(guī)模集成電路基礎之上的，它以技術經濟指標作為評價一個設計方案優(yōu)劣的主要性能指標，設計時追求的是如何使一個電路達到最簡。如何達到最簡呢？在組合邏輯電路設計時，通過邏輯函數化簡，盡可能使電路中的邏輯門和連線數目達到最少。而在時序邏輯電路設計時，則通過狀態(tài)化簡和邏輯函數化簡，盡可能使電路中的觸發(fā)器、邏輯門和連線數目達到最少。數字邏輯電路的研究方法注意!一個最簡的方案并不等于一個最佳的方案！

最佳方案應滿足全面的性能指標和實際應用要求。所以，在用傳統(tǒng)方法求出一個實現預定功能的最簡結構之后，往往要根據實際情況進行相應調整。由于中、大規(guī)模集成電路的不斷發(fā)展，使芯片內部容納的邏輯器件越來越多，因而，實現某種邏輯功能所需要的門和觸發(fā)器數量已不再成為影響經濟指標的突出問題。數字邏輯電路的研究方法用中、大規(guī)模集成組件去構造滿足各種功能的邏輯電路時，如何尋求經濟合理的方案呢？要求設計人員必須注意：充分了解各種器件的邏輯結構和外部特性，做到合理選擇器件；充分利用每一個已選器件的功能，用靈活多變的方法完成各類電路或功能模塊的設計；盡可能減少芯片之間的相互連線。邏輯設計的新方法各類可編程邏輯器件(PLD)的出現，給邏輯設計帶來了一種全新的方法。人們不再用常規(guī)硬線連接的方法去構造電路，而是借助豐富的計算機軟件對器件進行編程燒錄來實現各種邏輯功能，這給邏輯設計帶來了極大的方便。面對日益復雜的集成電路芯片設計和數字系統(tǒng)設計，人們不得不越來越多地借助計算機進行輔助邏輯設計。目前，已有各種設計數字系統(tǒng)的軟件在市場上出售。計算機輔助邏輯設計方法正在不斷推廣和應用。不少人認為計算機設計自動化已形成計算機科學中的一個獨立的學科。邏輯設計的新方法VerilogHDL是一種硬件描述語言，用于從算法級、門級到開關級的多種抽象設計層次的數字系統(tǒng)建模。被建模的數字系統(tǒng)對象的復雜性可以介于簡單的門和完整的電子數字系統(tǒng)之間。Verilog的設計初衷是成為一種基本語法與C語言相近的硬件描述語言，可以讓電路設計人員更容易學習和接受。參考書籍：AVerilogHDLPrimer，byJ.Bhasker中文版：VerilogHDL入門夏宇聞甘偉譯主要內容數字概念數制系統(tǒng)數制系統(tǒng)的轉換二進制編碼數制系統(tǒng)簡介思考：什么是數？數制系統(tǒng)簡介數的本質是數軸上的一個點。數的表示形式被稱為數制：十進制、二進制……例如“10”，“10”是它的一個十進制名稱，如果以二進制方式來表達它，那么它應該叫做“1010”，十六進制則是“A”。雖然名稱不同，但是表示的是同一個數，這幾個名稱都表示數軸上距離原點10個單位距離的那一個點。數制系統(tǒng)簡介數制系統(tǒng)（Numbersystem）：數值的表示方法體系位置表示法（PositionalNotation）字符位置兩個基本要素：基數、位權基數：計數制中所用到的數碼的個數，r；例：十進制：r=10；二進制：r=2位權:不同數位上的固定常數例：十進制個位的權：1，十位的權：1012,345十進制數（Decimal）組成：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9進位規(guī)則：逢十進一。不同位置數的權不同，可用10i表示，i在(n-1)至-m間取值，n為十進制數的整數位位數，m為小數位位數。536.15910=(5×102)+(3×101)+(6×100)+(1×10-1)+(5×10-2)+(9×10-3)

基數位權MostSignificantBit(MSB)LeastSignificantBit(LSB)數制的一般表示二進制數（Binary）組成：0、1進位規(guī)則：逢二進一例：

(101101.10)2=1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+ 1×20+1×2-1+0×2-2

=32+0+8+4+0+1+0.5+0=(45.5)10二進制運算的基本規(guī)則加法:0+0=0，0+1=1，1+1=10=(1)0(進位)減法:0-0=0,1-1=1,1-0=1,0-1=(1)0-1=1(借位)乘法：0×0=0，0×1=0，1×1=1除法：與十進制相似，實質上是由減法和移位兩種操作實現的。加法、減法例：計算二進制數(10011)2與(01010)2的和 解：例：計算二進制數(10011)2與(01010)2的差 解：11（借位）乘法例：計算二進制數(10011)2與(01010)2的乘積 解：除法例：計算二進制數(10011)2與(01010)2的商 解：循環(huán)二進制的優(yōu)點和缺點二進制的優(yōu)點:運算簡單、物理實現容易、存儲和傳送方便、可靠。因為二進制中只有0和1兩個數字符號，可以用電子器件的兩種不同狀態(tài)來表示一位二進制數。例如，可以用晶體管的截止和導通表示1和0，或者用電平的高和低表示1和0等。所以，在數字系統(tǒng)中普遍采用二進制。二進制的缺點：數的位數太長且字符單調，使得書寫、記憶和閱讀不方便。因此，人們在進行指令書寫、程序輸入和輸出等工作時，通常采用八進制數和十六進制數作為二進制數的縮寫。八進制數（Octal）組成：0、1、2、3、4、5、6、7進位規(guī)則：逢八進一例：(312.64)8 =3×82+1×81+2×80+6×8-1+4×8-2=192+8+2+0.75+0.0625 =202.8125十六進制數（Hexadecimal）組成：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、FA～F的等值十進制數分別為10、11、12、13、14、15進位規(guī)則：逢十六進一例:(21A.5)16 =2×162+1×161+A×160+5×16-1 =512+16+10+0.3125 =538.3125十六進制的算術運算加法（逢16進1）將兩個十六進制數看成它們的十進制值如果這兩個數字的和小于等于1510，記下相應的十六進制數字如果這兩個數字的和大于1510，記下超出1610的量，并在下一列進一位。減法：逢-1借16乘法，除法：與十進制相似。十六進制的加減運算例：計算DF16+AC16。解：例：計算8416-2A16。解：思考“半斤八兩”是什么意思？

中國古時候的秤一斤有16兩，每一兩是一顆星，由北斗七星、南斗六星和福、祿、壽三星組成。思考八卦跟二進制有什么關系？八卦源于中國古代對基本的宇宙生成、日月關系和人生哲學的原始認識。“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，八卦化萬物”。思考為什么要使用二進制？從硬件的角度來看，計算機系統(tǒng)只能處理數字信號，主要使用僅有兩種狀態(tài)的數字信號，一種狀態(tài)代表1，一種狀態(tài)代表0。因此使用二進制數作為計算機系統(tǒng)的底層信息表示是計算機系統(tǒng)的硬件決定的。思考用二進制可以表示什么？數據、文字、圖像、聲音、程序……二進制、八進制與十六進制八進制十六進制二進制：硬件識別，但冗余編程語言中提供八進制數和十六進制數表示，比二進制數表達更簡練，而且和二進制數有著密切的聯系，與二進制數之間的相互轉換也很容易。用基r進行計數字符集合中的r個字符排序：0,1,…,r-1進位規(guī)則，逢r進一例：以3為基從0計到910解：字符集={0,1,2}0,1,2,3,4,5,6,7,8,90,1,2,10,11,12,20,21,22,100練習練習1.1：以5為基從0計到910

，并表示93710

。93710=1×625+2×125+2×25+2×5+2×1=122225解：字符集={0,1,2,3,4}0,1,2,3,4,5,6,7,8,90,1,2,3,4,10,11,12,13,14主要內容數字概念數制系統(tǒng)數制系統(tǒng)的轉換二進制編碼常見進制編碼對應表二進制到十六進制的轉換特點：因16=24，所以4位二進制數代表一位十六進制數方法：將二進制數從小數點處開始，分別向左、右按每四位分為一組，不足四位則以0補上，每組用相應的十六進制數表示，組合后可得到相應的十六進制數。例：將10101111.00010110112轉換成十六進制數。解：1010

1111.0001

0110

1100=AF.16C所以：10101111.00010110112=AF.16C16練習練習1.2：將二進制數(11101.01)2轉換成十六進制數 解：11101.01 =0001

1101.0100 =1D.4∴(11101.01)2=(1D.4)16練習1.3：將二進制數(11010101000.1111010111)2轉換成十六進制數 解：11010101000.1111010111 =0110

1010

1000.1111

0101

1100

=6A8.F5C∴(11010101000.1111010111)2=(6A8.F5C)16十六進制到二進制的轉換方法：將每個十六進制字符換為相應的四位二進制數，連接起來，(去掉首尾多余的0)。例：將(785.4AF)16轉換成二進制數。解：785.4AF =011110000101.010010101111 =11110000101.01001010111∴(785.4AF)16=(11110000101.01001010111)2八進制與二進制的互相轉換例：將(325.744)8轉換成二進制數。解：325.744 =011010101.111100100 =11010101.1111001∴(325.744)8=(11010101.1111001)2(011010

101000.111101011100)2(3250.7534)8思考八進制十六進制二進制練習1.4：

16位二進制數的最大值是什么？分別用八進制、十六進制、十進制表示。解：(177777)8,(FFFF)16,(65535)10.二進制到十進制的轉換方法：將二進制數按權展開，計算出相應的十進制值

(bn-1…b0.b-1…b-m)2=bn-12n-1+…+b020+b-12-1+…+b-m2-m=(N)10例：將11001.0112轉換成十進制數。解：11001.0112

=(1×24)+(1×23)+(0×22)+(0×21)+(1×20)+(0×2-1)+(1×2-2)+(1×2-3) =16+8+0+0+1+0+0.25+0.125 =25.37510十進制到二進制的轉換整數部分轉換為二進制小數部分轉換為二進制結果用小數點連接整數部分:除基取余法設N10的整數部分轉換成的二進制數為bn-1bn-2…b1b0，可列成下列等式：

N10=bn-12n-1+bn-22n-2+…+b121+b020

；將上式兩邊同除以2，兩邊的商A和余數B相等

A=bn-12n-2+bn-22n-3+…+b221+b1，

B=b0，同樣的，再將A除以2，可得余數b1，依次類推，便可求出二進制數的整數部分的每一位系數bn-1、…、b1、b0。在轉換中注意除以2一直進行到商數為0止。（LSB）例：將12110轉換成二進制12110=11110012（MSB）小數部分:乘基取整法設N10的小數部分轉換成二進制數為b-1b-2…b-m，可寫成等式：N10=b-12-1+b-22-2+…+b-m2-m

將上式兩邊同時乘以2得

2×N10=b-120+b-22-1+…+b-m2-m+1

觀察上式，發(fā)現乘積的整數部分C就是系數b-1，而乘積的小數部分D為：D=b-22-1+…+b-m2-m+1對D乘以2，則積的整數部分為系數b-2，依次類推，便可求出二進制數的小數部分的每一位系數乘2過程一直繼續(xù)到所需位數或達到小數部分為0止例：將0.12510轉換為二進制數解：0.12510×2=0.25整數=0

MSB 0.2510×2=0.5整數=0 0.510×2=1.0整數=1LSB 0.12510=0.0012練習練習1.5：將39.37510轉換為二進制數解：整數部分：3910=1001112

小數部分0.37510=0.0112 39.37510=100111.0112基轉換算法輸入N與rN/r=Q,R將R存為LSDQ/r=Q,R保存RQ=0?R=MSD(以r為基)輸出以r為基的數YESNO輸入N與r(r)(Nf)=Ip^FpIp=MSD(r)(Fp)=Ip^Fp保存IpFp=0?Ip=LSD輸出以r為基的數YESNO逐次除法逐次乘法十進制到任意進制的轉換整數部分：逐次除法小數部分：逐次乘法整數部分和小數部分相加（LSB）（MSB）整數部分：（235）10=（3223）4小數部分：0.2×4=0.8—>00.8×4=3.2—>30.2×4=0.8—>00.8×4=3.2—>3……（0.2）10=(0.0303…)4∴（235.2）10=(3223.0303...)4例：將（235.2）10轉換為四進制數任意進制到十進制的轉換方法：將r進制數按權展開，計算出相應的十進制值

(cn-1,,,c1c0c-1…c-m)r=(cn-1rn-1+…+c1r1+c0r0+c-1r-1+…+c-mr-m)10

例：將(324.2)5轉換為10進制 解：(324.2)5

=3×52+2×51+4×50+2/5 =75+10+4+0.4 =89.4 (324.2)5=(89.4)10練習練習1.6：將1342.87510轉換成二進制數、八進制數、十六進制數。10100111110.1112，2476.78，53E.E16練習1.7：一個四位八進制數轉換成二進制數需要用多少位來表示？10~12練習1.8：將35137轉換成二進制數和十六進制數。101000001002，50416主要內容數字概念數制系統(tǒng)數制系統(tǒng)的轉換二進制編碼碼（Code）是代表某事物的一個或者一組符號。十進制數的二進制編碼可靠性編碼字符編碼帶符號的二進制編碼編碼的目的：便于傳輸壓縮數據……二進制編碼十進制數的二進制編碼用4位二進制對十進制數字符號進行編碼通常稱為BCD碼（BinaryCodedDecimal）。根據代碼中每一位是否有固定的權，通常將BCD碼分為有權碼和無權碼兩種類型。常見的包括：8421BCD碼、2421BCD碼、余3碼等等。特點：適合算術運算有利于數據傳輸用四位二進制代碼表示一個十進制位其本質是十進制，表現形式為二進制碼是一種編碼方案，并非一種數制8421BCD碼8421碼：是用4位二進制碼表示一位十進制字符的一種有權碼，4位二進制碼從高位至低位的權依次為23、22、21、20，即為8、4、2、1,故稱為8421碼。按8421碼編碼的0～9與用4位二進制數表示的0～9完全一樣。所以，8421碼是一種人機聯系時廣泛使用的中間形式。注意：(1)8421碼中不允許出現1010～1111六種組合(因為沒有十進制數字符號與其對應)。(2)十進制數字符號的8421碼與相應ASCII碼的低四位相同，這一特點有利于簡化輸入輸出過程中BCD碼與字符代碼的轉換。8421BCD碼例：將275.510轉換成8421BCD碼。(275.5)10(001001110101.0101)BCD思考：將275.510轉換成二進制數并比較。275.510=100010011.12加權碼加權碼（weightedcode）是每個位置都分配了權的編碼。比如8421BCD碼各位的權如下：加權碼有一些有用的特性：自補碼：即算術補碼和邏輯補碼相同的編碼映像特性余3碼余3碼是由8421BCD碼基礎上加3構成的。余3碼是一種無權碼。余3碼是一種對9的自補代碼。練習練習1.9：將9275.610轉換成8421BCD碼，將8421BCD碼(100100000011.10000101)8421BCD轉換成對應的十進制數。(9275.6)10=(1001001001110101.0110)8421BCD(100100000011.10000101)8421BCD=(903.85)10可靠性編碼自然二進制碼可以直接由數/模轉換器轉換成模擬信號，但某些情況，例如從十進制的3轉換到4時二進制碼的每一位都要變，使數字電路產生很大的尖峰電流脈沖。格雷碼格雷碼的主要優(yōu)點是它在任意兩個相鄰的數之間轉換時，只有一個數位發(fā)生變化。大大地減少了由一個狀態(tài)到下一個狀態(tài)時邏輯的混淆。以中間為對稱的兩組代碼只有最左邊一位不同。整數的奇偶性與編碼中1的個數的奇偶性一致。無權碼奇偶檢驗碼奇偶檢驗碼是一種用來檢驗代碼在傳送過程中是否產生錯誤的代碼。奇檢驗：使信息位和檢驗位中“1”的個數共計為奇數；偶檢驗：使信息位和檢驗位中“1”的個數共計為偶數。

信息位——位數不限的一組二進制代碼

兩部分組成

奇偶檢驗位——僅有一位。

信息位(7位)采用奇檢驗的檢驗位

(1位)

采用偶檢驗的檢驗位

(1位)

100110001奇偶檢驗碼的工作原理檢

測器編碼器

x1

x2

x3

x4

11111100001FP(奇)發(fā)送端接收端字符編碼——ASCII碼ASCII是AmericanNationalStandardCodeforInformationInterchange美國國家信息交換標準代碼的簡稱。常用于通訊設備和計算機中。是一組八位二進制代碼，用1～7這七位二進制代碼表示十進制數字、英文字母及專用符號。第八位作奇偶校驗位。ASCII碼000001010011100101110111

NULDELSP0@P、pSOHDC1!1AQaqSTXDC2"2BRbrETXDC3#3CScsEOTDC4$4DTdtENQNAK%5EUeuACKSYN&6FVfvBELETB,7GWgwBSCAN(8HXhxHTEM)9IYiyLFSUB*：JZjzVTESC+；K［k{FFFS，<L＼l|CRGS-=M］m}SORS.>N∧n～

SIUS/?O－oDEL0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111高3位代碼(a7a6a5)

低4位代碼

(a4a3a2a1)

ASCII碼注：

NUL空白SOH序始STX文始ETX文終

EOT送畢ENQ詢問ACK承認BEL告警

BS退格HT橫表LF換行VT縱表

FF換頁CR回車SO移出SI移入

DEL轉義DC1機控1DC2機控2DC3機控3

DC4機控4NAK否認SYN同步ETB組終

CAN作廢EM載終SUB取代ESC擴展

FS卷隙GS群隙RS錄隙US元隙

SP間隔DEL抹掉帶符號的二進制編碼為了標記一個數的正負，人們通常在一個數的前面用“+”號表示正數，用“-”號表示負數。在數字系統(tǒng)中，符號和數值一樣是用0和1來表示的，用0表正，用1表示負。帶符號的二進制數表示方法：使用最高位表示符號而使用其它較低位表示數量。常用的編碼方式有原碼、反碼和補碼三種。原碼又稱為“符號-數值”表示增加一位符號位：正數：0；負數：1其余各位表示數值部分例：N1=+10011，N2=-10011，寫出其各自的原碼表示形式。解：[N1]原=0

10011 [N2]原=1

10011原碼加減運算規(guī)則符號位不參加運算，進行運算的是數值部分。比較符號位，符號位相同則符號位不變，數值部分相加；符號位不同，則先根據數值大小確定符號位，再數值部分相減的絕對值作為數值部分。原碼運算例：用原碼計算二進制數-00112與+10102的和。解：原碼原碼的優(yōu)點：簡單易懂，求取方便。原碼的缺點：加、減運算不方