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文檔簡介
2023年高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)在復平面內對應的點的坐標為,則下列結論正確的是()A. B.復數(shù)的共軛復數(shù)是C. D.2.一只螞蟻在邊長為的正三角形區(qū)域內隨機爬行,則在離三個頂點距離都大于的區(qū)域內的概率為()A. B. C. D.3.某工廠利用隨機數(shù)表示對生產的600個零件進行抽樣測試,先將600個零件進行編號,編號分別為001,002,……,599,600.從中抽取60個樣本,下圖提供隨機數(shù)表的第4行到第6行:若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),則得到的第6個樣本編號是()A.324 B.522 C.535 D.5784.已知雙曲線(,)的左、右頂點分別為,,虛軸的兩個端點分別為,,若四邊形的內切圓面積為,則雙曲線焦距的最小值為()A.8 B.16 C. D.5.已知的面積是,,,則()A.5 B.或1 C.5或1 D.6.已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合,且拋物線的準線被雙曲線截得的線段長為,那么該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.7.若為虛數(shù)單位,則復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓的右焦點為,若F到直線的距離為,則E的離心率為()A. B. C. D.9.設過拋物線上任意一點(異于原點)的直線與拋物線交于兩點,直線與拋物線的另一個交點為,則()A. B. C. D.10.雙曲線:(),左焦點到漸近線的距離為2,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.11.在中,內角所對的邊分別為,若依次成等差數(shù)列,則()A.依次成等差數(shù)列 B.依次成等差數(shù)列C.依次成等差數(shù)列 D.依次成等差數(shù)列12.我國著名數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就,哥德巴赫猜想內容是“每個大于的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”(注:如果一個大于的整數(shù)除了和自身外無其他正因數(shù),則稱這個整數(shù)為素數(shù)),在不超過的素數(shù)中,隨機選取個不同的素數(shù)、,則的概率是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的二項展開式中,含項的系數(shù)為__________.14.已知△的三個內角為,,,且,,成等差數(shù)列,則的最小值為__________,最大值為___________.15.(5分)已知,且,則的值是____________.16.已知數(shù)列的前項和為,,,,則滿足的正整數(shù)的所有取值為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)為響應“堅定文化自信,建設文化強國”,提升全民文化修養(yǎng),引領學生“讀經典用經典”,某廣播電視臺計劃推出一檔“閱讀經典”節(jié)目.工作人員在前期的數(shù)據(jù)采集中,在某高中學校隨機抽取了120名學生做調查,統(tǒng)計結果顯示:樣本中男女比例為3:2,而男生中喜歡閱讀中國古典文學和不喜歡的比例是7:5,女生中喜歡閱讀中國古典文學和不喜歡的比例是5:3.(1)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)聯(lián)表判斷是否有的把握認為喜歡閱讀中國古典文學與性別有關系?男生女生總計喜歡閱讀中國古典文學不喜歡閱讀中國古典文學總計(2)為做好文化建設引領,實驗組把該校作為試點,和該校的學生進行中國古典文學閱讀交流.實驗人員已經從所調查的120人中篩選出4名男生和3名女生共7人作為代表,這7個代表中有2名男生代表和2名女生代表喜歡中國古典文學.現(xiàn)從這7名代表中任選3名男生代表和2名女生代表參加座談會,記為參加會議的人中喜歡古典文學的人數(shù),求5的分布列及數(shù)學期望附表及公式:.18.(12分)如圖,四棱錐中,底面,,點在線段上,且.(1)求證:平面;(2)若,,,,求二面角的正弦值.19.(12分)在以為頂點的五面體中,底面為菱形,,,,二面角為直二面角.(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)求二面角的余弦值.20.(12分)已知函數(shù),(Ⅰ)當時,證明;(Ⅱ)已知點,點,設函數(shù),當時,試判斷的零點個數(shù).21.(12分)2019年是五四運動100周年.五四運動以來的100年,是中國青年一代又一代接續(xù)奮斗、凱歌前行的100年,是中口青年用青春之我創(chuàng)造青春之中國、青春之民族的100年.為繼承和發(fā)揚五四精神在青年節(jié)到來之際,學校組織“五四運動100周年”知識競賽,競賽的一個環(huán)節(jié)由10道題目組成,其中6道A類題、4道B類題,參賽者需從10道題目中隨機抽取3道作答,現(xiàn)有甲同學參加該環(huán)節(jié)的比賽.(1)求甲同學至少抽到2道B類題的概率;(2)若甲同學答對每道A類題的概率都是,答對每道B類題的概率都是,且各題答對與否相互獨立.現(xiàn)已知甲同學恰好抽中2道A類題和1道B類題,用X表示甲同學答對題目的個數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.22.(10分)已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求和的普通方程;(2)過坐標原點作直線交曲線于點(異于),交曲線于點,求的最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
首先求得,然后根據(jù)復數(shù)乘法運算、共軛復數(shù)、復數(shù)的模、復數(shù)除法運算對選項逐一分析,由此確定正確選項.【詳解】由題意知復數(shù),則,所以A選項不正確;復數(shù)的共軛復數(shù)是,所以B選項不正確;,所以C選項不正確;,所以D選項正確.故選:D【點睛】本小題考查復數(shù)的幾何意義,共軛復數(shù),復數(shù)的模,復數(shù)的乘法和除法運算等基礎知識;考查運算求解能力,推理論證能力,數(shù)形結合思想.2、A【解析】
求出滿足條件的正的面積,再求出滿足條件的正內的點到頂點、、的距離均不小于的圖形的面積,然后代入幾何概型的概率公式即可得到答案.【詳解】滿足條件的正如下圖所示:其中正的面積為,滿足到正的頂點、、的距離均不小于的圖形平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,陰影部分區(qū)域的面積為.則使取到的點到三個頂點、、的距離都大于的概率是.故選:A.【點睛】本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式的應用,考查計算能力,屬于中等題.3、D【解析】
因為要對600個零件進行編號,所以編號必須是三位數(shù),因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),大于600的,重復出現(xiàn)的舍去,直至得到第六個編號.【詳解】從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),編號內的數(shù)據(jù)依次為:,因為535重復出現(xiàn),所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為,故第6個數(shù)據(jù)為578.選D.【點睛】本題考查了隨機數(shù)表表的應用,正確掌握隨機數(shù)表法的使用方法是解題的關鍵.4、D【解析】
根據(jù)題意畫出幾何關系,由四邊形的內切圓面積求得半徑,結合四邊形面積關系求得與等量關系,再根據(jù)基本不等式求得的取值范圍,即可確定雙曲線焦距的最小值.【詳解】根據(jù)題意,畫出幾何關系如下圖所示:設四邊形的內切圓半徑為,雙曲線半焦距為,則所以,四邊形的內切圓面積為,則,解得,則,即故由基本不等式可得,即,當且僅當時等號成立.故焦距的最小值為.故選:D【點睛】本題考查了雙曲線的定義及其性質的簡單應用,圓錐曲線與基本不等式綜合應用,屬于中檔題.5、B【解析】∵,,∴①若為鈍角,則,由余弦定理得,解得;②若為銳角,則,同理得.故選B.6、A【解析】
由拋物線的焦點得雙曲線的焦點,求出,由拋物線準線方程被曲線截得的線段長為,由焦半徑公式,聯(lián)立求解.【詳解】解:由拋物線,可得,則,故其準線方程為,拋物線的準線過雙曲線的左焦點,.拋物線的準線被雙曲線截得的線段長為,,又,,則雙曲線的離心率為.故選:.【點睛】本題考查拋物線的性質及利用過雙曲線的焦點的弦長求離心率.弦過焦點時,可結合焦半徑公式求解弦長.7、B【解析】
由共軛復數(shù)的定義得到,通過三角函數(shù)值的正負,以及復數(shù)的幾何意義即得解【詳解】由題意得,因為,,所以在復平面內對應的點位于第二象限.故選:B【點睛】本題考查了共軛復數(shù)的概念及復數(shù)的幾何意義,考查了學生概念理解,數(shù)形結合,數(shù)學運算的能力,屬于基礎題.8、A【解析】
由已知可得到直線的傾斜角為,有,再利用即可解決.【詳解】由F到直線的距離為,得直線的傾斜角為,所以,即,解得.故選:A.【點睛】本題考查橢圓離心率的問題,一般求橢圓離心率的問題時,通常是構造關于的方程或不等式,本題是一道容易題.9、C【解析】
畫出圖形,將三角形面積比轉為線段長度比,進而轉為坐標的表達式。寫出直線方程,再聯(lián)立方程組,求得交點坐標,最后代入坐標,求得三角形面積比.【詳解】作圖,設與的夾角為,則中邊上的高與中邊上的高之比為,,設,則直線,即,與聯(lián)立,解得,從而得到面積比為.故選:【點睛】解決本題主要在于將面積比轉化為線段長的比例關系,進而聯(lián)立方程組求解,是一道不錯的綜合題.10、B【解析】
首先求得雙曲線的一條漸近線方程,再利用左焦點到漸近線的距離為2,列方程即可求出,進而求出漸近線的方程.【詳解】設左焦點為,一條漸近線的方程為,由左焦點到漸近線的距離為2,可得,所以漸近線方程為,即為,故選:B【點睛】本題考查雙曲線的漸近線的方程,考查了點到直線的距離公式,屬于中檔題.11、C【解析】
由等差數(shù)列的性質、同角三角函數(shù)的關系以及兩角和的正弦公式可得,由正弦定理可得,再由余弦定理可得,從而可得結果.【詳解】依次成等差數(shù)列,,正弦定理得,由余弦定理得,,即依次成等差數(shù)列,故選C.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義、正弦定理、余弦定理,屬于難題.解三角形時,有時可用正弦定理,有時也可用余弦定理,應注意用哪一個定理更方便、簡捷.如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時,則考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時,則要考慮兩個定理都有可能用到.12、B【解析】
先列舉出不超過的素數(shù),并列舉出所有的基本事件以及事件“在不超過的素數(shù)中,隨機選取個不同的素數(shù)、,滿足”所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】不超過的素數(shù)有:、、、、、,在不超過的素數(shù)中,隨機選取個不同的素數(shù),所有的基本事件有:、、、、、、、、、、、、、、,共種情況,其中,事件“在不超過的素數(shù)中,隨機選取個不同的素數(shù)、,且”包含的基本事件有:、、、,共種情況,因此,所求事件的概率為.故選:B.【點睛】本題考查古典概型概率的計算,一般利用列舉法列舉出基本事件,考查計算能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
寫出二項展開式的通項,然后取的指數(shù)為求得的值,則項的系數(shù)可求得.【詳解】,由,可得.含項的系數(shù)為.故答案為:【點睛】本題考查了二項式定理展開式、需熟記二項式展開式的通項公式,屬于基礎題.14、【解析】
根據(jù)正弦定理可得,利用余弦定理以及均值不等式,可得角的范圍,然后構造函數(shù),利用導數(shù),研究函數(shù)性質,可得結果.【詳解】由,,成等差數(shù)列所以所以又化簡可得當且僅當時,取等號又,所以令,則當,即時,當,即時,則在遞增,在遞減所以由,所以所以的最小值為最大值為故答案為:,【點睛】本題考查等差數(shù)列、正弦定理、余弦定理,還考查了不等式、導數(shù)的綜合應用,難點在于根據(jù)余弦定理以及不等式求出,考驗分析能力以及邏輯思維能力,屬難題.15、【解析】
由于,且,則,得,則.16、20,21【解析】
由題意知數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列,則根據(jù)為奇數(shù)和為偶數(shù)分別算出求和公式,代入數(shù)值檢驗即可.【詳解】解:由題意知數(shù)列的奇數(shù)項構成公差為的等差數(shù)列,偶數(shù)項構成公比為的等比數(shù)列,則;.當時,,.當時,,.由此可知,滿足的正整數(shù)的所有取值為20,21.故答案為:20,21【點睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列通項與求和公式,是綜合題,分清奇數(shù)項和偶數(shù)項是解題的關鍵.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析,沒有(2)見解析,【解析】
(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表,計算出的值,由此判斷出沒有的把握認為喜歡閱讀中國古典文學與性別有關系.(2)先判斷出的所有可能取值,然后根據(jù)古典概型概率計算公式,計算出分布列并求得數(shù)學期望.【詳解】(1)男生女生總計喜歡閱讀中國古典文學423072不喜歡閱讀中國古典文學301848總計7248120所以,沒有的把握認為喜歡閱讀中國古典文學與性別有關系.(2)設參加座談會的男生中喜歡中國古典文學的人數(shù)為,女生中喜歡古典文學的人數(shù)為,則.且;;.所以的分布列為則.【點睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨立性檢驗,考查隨機變量分布列和數(shù)學期望的求法,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于中檔題.18、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)要證明平面,只需證明,,即可求得答案;(2)先根據(jù)已知證明四邊形為矩形,以為原點,為軸,為軸,為軸,建立坐標系,求得平面的法向量為,平面的法向量,設二面角的平面角為,,即可求得答案.【詳解】(1)平面,平面,.,,.又,平面.(2)由(1)可知.在中,,..又,,四邊形為矩形.以為原點,為軸,為軸,為軸,建立坐標系,如圖:則:,,,,:,設平面的法向量為,即,令,則,由題平面,即平面的法向量為由二面角的平面角為銳角,設二面角的平面角為即二面角的正弦值為:.【點睛】本題主要考查了求證線面垂直和向量法求二面角,解題關鍵是掌握線面垂直判斷定理和向量法求二面角的方法,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.19、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)連接交于點,取中點,連結,證明平面得到答案.(Ⅱ)分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系,平面的法向量為,平面的法向量為,計算夾角得到答案.【詳解】(Ⅰ)連接交于點,取中點,連結因為為菱形,所以.因為,所以.因為二面角為直二面角,所以平面平面,且平面平面,所以平面所以因為所以是平行四邊形,所以.所以,所以,所以平面,又平面,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知兩兩垂直,分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設設平面的法向量為,由,取.平面的法向量為.所以二面角余弦值為.【點睛】本題考查了線線垂直,二面角,意在考查學生的計算能力和空間想象能力.20、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)1.【解析】
(Ⅰ)令,;則.易得,.即可證明;(Ⅱ),分①,②,③當時,討論的零點個數(shù)即可.【詳解】解:(Ⅰ)令,;則.令,,易得在遞減,在遞增,∴,∴在恒
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