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文檔簡介
2023年高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,是圓的一條直徑,為半圓弧的兩個三等分點,則()A. B. C. D.2.在等差數(shù)列中,若,則()A.8 B.12 C.14 D.103.一個正三棱柱的正(主)視圖如圖,則該正三棱柱的側面積是()A.16 B.12 C.8 D.64.我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果,哥德巴赫猜想的內(nèi)容是:每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和,例如:,,,那么在不超過18的素數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于16的概率為()A. B. C. D.5.如圖,在三棱錐中,平面,,,,,分別是棱,,的中點,則異面直線與所成角的余弦值為A.0 B. C. D.16.如圖,在△ABC中,點M是邊BC的中點,將△ABM沿著AM翻折成△AB'M,且點B'不在平面AMC內(nèi),點P是線段B'C上一點.若二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等,則直線AP經(jīng)過△AB'CA.重心 B.垂心 C.內(nèi)心 D.外心7.已知表示兩條不同的直線,表示兩個不同的平面,且則“”是“”的()條件.A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要8.函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點,則a的值為()A.3 B.-3 C.2 D.-29.已知向量,,且與的夾角為,則()A. B.1 C.或1 D.或910.已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的關于直線對稱的點在的圖像上,則的取值范圍是()A. B. C. D.11.公元263年左右,我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時,多邊形面積可無限逼近圓的面積,并創(chuàng)立了“割圓術”,利用“割圓術”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值,這就是著名的“徽率”。如圖是利用劉徽的“割圓術”思想設計的一個程序框圖,則輸出的值為()(參考數(shù)據(jù):)A.48 B.36 C.24 D.1212.已知雙曲線的一條漸近線傾斜角為,則()A.3 B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.五聲音階是中國古樂基本音階,故有成語“五音不全”.中國古樂中的五聲音階依次為:宮、商、角、徵、羽,如果把這五個音階全用上,排成一個五個音階的音序,且要求宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側,可排成______種不同的音序.14.已知兩個單位向量滿足,則向量與的夾角為_____________.15.甲、乙兩人下棋,兩人下成和棋的概率是,乙獲勝的概率是,則乙不輸?shù)母怕适莀____.16.的三個內(nèi)角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c,已知,則________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的各項均為整數(shù),它們的前項和分別為,且,.(1)求數(shù)列,的通項公式;(2)求;(3)是否存在正整數(shù),使得恰好是數(shù)列或中的項?若存在,求出所有滿足條件的的值;若不存在,說明理由.18.(12分)已知橢圓的左頂點為,左、右焦點分別為,離心率為,是橢圓上的一個動點(不與左、右頂點重合),且的周長為6,點關于原點的對稱點為,直線交于點.(1)求橢圓方程;(2)若直線與橢圓交于另一點,且,求點的坐標.19.(12分)已知函數(shù)的最大值為,其中.(1)求實數(shù)的值;(2)若求證:.20.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)等差數(shù)列中,,,分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù),且其中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669(1)請選擇一個可能的組合,并求數(shù)列的通項公式;(2)記(1)中您選擇的的前項和為,判斷是否存在正整數(shù),使得,,成等比數(shù)列,若有,請求出的值;若沒有,請說明理由.22.(10分)已知中,內(nèi)角所對邊分別是其中.(1)若角為銳角,且,求的值;(2)設,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
連接、,即可得到,,再根據(jù)平面向量的數(shù)量積及運算律計算可得;【詳解】解:連接、,,是半圓弧的兩個三等分點,,且,所以四邊形為棱形,.故選:B【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積及其運算律的應用,屬于基礎題.2、C【解析】
將,分別用和的形式表示,然后求解出和的值即可表示.【詳解】設等差數(shù)列的首項為,公差為,則由,,得解得,,所以.故選C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本量的求解,難度較易.已知等差數(shù)列的任意兩項的值,可通過構建和的方程組求通項公式.3、B【解析】
根據(jù)正三棱柱的主視圖,以及長度,可知該幾何體的底面正三角形的邊長,然后根據(jù)矩形的面積公式,可得結果.【詳解】由題可知:該幾何體的底面正三角形的邊長為2所以該正三棱柱的三個側面均為邊長為2的正方形,所以該正三棱柱的側面積為故選:B【點睛】本題考查正三棱柱側面積的計算以及三視圖的認識,關鍵在于求得底面正三角形的邊長,掌握一些常見的幾何體的三視圖,比如:三棱錐,圓錐,圓柱等,屬基礎題.4、B【解析】
先求出從不超過18的素數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)的所有可能結果,然后再求出其和等于16的結果,根據(jù)等可能事件的概率公式可求.【詳解】解:不超過18的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17共7個,從中隨機選取兩個不同的數(shù)共有,其和等于16的結果,共2種等可能的結果,故概率.故選:B.【點睛】古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù),本題不可以列舉出所有事件但可以用分步計數(shù)得到,屬于基礎題.5、B【解析】
根據(jù)題意可得平面,,則即異面直線與所成的角,連接CG,在中,,易得,所以,所以,故選B.6、A【解析】
根據(jù)題意P到兩個平面的距離相等,根據(jù)等體積法得到SΔPB'M【詳解】二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等,故P到兩個平面的距離相等.故VP-AB'M=VP-ACM,即故B'P=CP,故P為CB'中點.故選:A.【點睛】本題考查了二面角,等體積法,意在考查學生的計算能力和空間想象能力.7、B【解析】
根據(jù)充分必要條件的概念進行判斷.【詳解】對于充分性:若,則可以平行,相交,異面,故充分性不成立;若,則可得,必要性成立.故選:B【點睛】本題主要考查空間中線線,線面,面面的位置關系,以及充要條件的判斷,考查學生綜合運用知識的能力.解決充要條件判斷問題,關鍵是要弄清楚誰是條件,誰是結論.8、A【解析】
求出,對分類討論,求出單調(diào)區(qū)間和極值點,結合三次函數(shù)的圖像特征,即可求解.【詳解】,若,,在單調(diào)遞增,且,在不存在零點;若,,在內(nèi)有且只有一個零點,.故選:A.【點睛】本題考查函數(shù)的零點、導數(shù)的應用,考查分類討論思想,熟練掌握函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關鍵,屬于中檔題.9、C【解析】
由題意利用兩個向量的數(shù)量積的定義和公式,求的值.【詳解】解:由題意可得,求得,或,故選:C.【點睛】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義和公式,屬于基礎題.10、D【解析】
根據(jù)對稱關系可將問題轉(zhuǎn)化為與有且僅有四個不同的交點;利用導數(shù)研究的單調(diào)性從而得到的圖象;由直線恒過定點,通過數(shù)形結合的方式可確定;利用過某一點曲線切線斜率的求解方法可求得和,進而得到結果.【詳解】關于直線對稱的直線方程為:原題等價于與有且僅有四個不同的交點由可知,直線恒過點當時,在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增由此可得圖象如下圖所示:其中、為過點的曲線的兩條切線,切點分別為由圖象可知,當時,與有且僅有四個不同的交點設,,則,解得:設,,則,解得:,則本題正確選項:【點睛】本題考查根據(jù)直線與曲線交點個數(shù)確定參數(shù)范圍的問題;涉及到過某一點的曲線切線斜率的求解問題;解題關鍵是能夠通過對稱性將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點個數(shù)的問題,通過確定直線恒過的定點,采用數(shù)形結合的方式來進行求解.11、C【解析】
由開始,按照框圖,依次求出s,進行判斷。【詳解】,故選C.【點睛】框圖問題,依據(jù)框圖結構,依次準確求出數(shù)值,進行判斷,是解題關鍵。12、D【解析】
由雙曲線方程可得漸近線方程,根據(jù)傾斜角可得漸近線斜率,由此構造方程求得結果.【詳解】由雙曲線方程可知:,漸近線方程為:,一條漸近線的傾斜角為,,解得:.故選:.【點睛】本題考查根據(jù)雙曲線漸近線傾斜角求解參數(shù)值的問題,關鍵是明確直線傾斜角與斜率的關系;易錯點是忽略方程表示雙曲線對于的范圍的要求.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
按照“角”的位置分類,分“角”在兩端,在中間,以及在第二個或第四個位置上,即可求出.【詳解】①若“角”在兩端,則宮、羽兩音階一定在角音階同側,此時有種;②若“角”在中間,則不可能出現(xiàn)宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側;③若“角”在第二個或第四個位置上,則有種;綜上,共有種.故答案為:1.【點睛】本題主要考查利用排列知識解決實際問題,涉及分步計數(shù)乘法原理和分類計數(shù)加法原理的應用,意在考查學生分類討論思想的應用和綜合運用知識的能力,屬于基礎題.14、【解析】
由得,即得解.【詳解】由題意可知,則.解得,所以,向量與的夾角為.故答案為:【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計算和夾角的計算,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.15、【解析】乙不輸?shù)母怕蕿?,?16、【解析】
利用正弦定理邊化角可得,從而可得,進而求解.【詳解】由,由正弦定理可得,即,整理可得,又因為,所以,因為,所以,故答案為:【點睛】本題主要考查了正弦定理解三角形、兩角和的正弦公式,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2);(3)存在,1.【解析】
(1)利用基本量法直接計算即可;(2)利用錯位相減法計算;(3),令可得,,討論即可.【詳解】(1)設數(shù)列的公差為,數(shù)列的公比為,因為,所以,即,解得,或(舍去).所以.(2),,所以,所以.(3)由(1)可得,,所以.因為是數(shù)列或中的一項,所以,所以,因為,所以,又,則或.當時,有,即,令.則.當時,;當時,,即.由,知無整數(shù)解.當時,有,即存在使得是數(shù)列中的第2項,故存在正整數(shù),使得是數(shù)列中的項.【點睛】本題考查數(shù)列的綜合應用,涉及到等差、等比數(shù)列的通項,錯位相減法求數(shù)列的前n項和,數(shù)列中的存在性問題,是一道較為綜合的題.18、(1);(2)或【解析】
(1)根據(jù)的周長為,結合離心率,求出,即可求出方程;(2)設,則,求出直線方程,若斜率不存在,求出坐標,直接驗證是否滿足題意,若斜率存在,求出其方程,與直線方程聯(lián)立,求出點坐標,根據(jù)和三點共線,將點坐標用表示,坐標代入橢圓方程,即可求解.【詳解】(1)因為橢圓的離心率為,的周長為6,設橢圓的焦距為,則解得,,,所以橢圓方程為.(2)設,則,且,所以的方程為①.若,則的方程為②,由對稱性不妨令點在軸上方,則,,聯(lián)立①,②解得即.的方程為,代入橢圓方程得,整理得,或,.,不符合條件.若,則的方程為,即③.聯(lián)立①,③可解得所以.因為,設所以,即.又因為位于軸異側,所以.因為三點共線,即應與共線,所以,即,所以,又,所以,解得,所以,所以點的坐標為或.【點睛】本題考查橢圓的標準方程以及應用、直線與橢圓的位置關系,考查分類討論思想和計算求解能力,屬于較難題.19、(1)1;(2)證明見解析.【解析】
(1)利用零點分段法將表示為分段函數(shù)的形式,由此求得的最大值,進而求得的值.(2)利用(1)的結論,將轉(zhuǎn)化為,求得的取值范圍,利用換元法,結合函數(shù)的單調(diào)性,證得,由此證得不等式成立.【詳解】(1)當時,取得最大值.(2)證明:由(1)得,,,當且僅當時等號成立,令,則在上單調(diào)遞減當時,.【點睛】本小題主要考查含有絕對值的函數(shù)的最值的求法,考查利用基本不等式進行證明,屬于中檔題.20、(1)當時,在上單調(diào)遞增;當時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;(2).【解析】
(1)對a分三種情況討論求出函數(shù)的單調(diào)性;(2)對a分三種情況,先求出每一種情況下函數(shù)f(x)的最小值,再解不等式得解.【詳解】(1),當時,,在上單調(diào)遞增;當時,,,,,∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當時,,,,,∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.綜上:當時,在上單調(diào)遞增;當時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)由(1)可知:當時,,∴成立.當時,,,∴.當時,,,∴,即.綜上.【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式的恒成立問題,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.21、(1)見解析,或;(2)存在,.【解析】
(1)滿足題意有兩種組合:①,,,②,,,分別計算即可;(2)由(1)分別討論兩種情況,假設存在正整數(shù),使得,,成等比數(shù)列,即,解方程是否存在正整數(shù)解即可.【詳解】(1)由題意可知:有兩種組合滿足條件:①,,,此時等差數(shù)列,,,所以其通項公式為.②,,,此時等差數(shù)列,,,所以其通項公式為.(2)若選擇①,.則.若,,成等比數(shù)列,則,即,整理,得,即
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