湖南省瀏陽一中、株洲二中等湘東七校2023年高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為()A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,且z1是實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)a等于()A. B. C.- D.-3.設(shè)全集U=R,集合,則()A. B. C. D.4.下列函數(shù)中既關(guān)于直線對稱,又在區(qū)間上為增函數(shù)的是()A.. B.C. D.5.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,過原點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn),延長交右支于點(diǎn),若,則雙曲線的離心率是()A. B. C. D.6.已知函數(shù),,則的極大值點(diǎn)為()A. B. C. D.7.公元前世紀(jì),古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論:他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面米處開始與阿基里斯賽跑,并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)谋?當(dāng)比賽開始后,若阿基里斯跑了米,此時烏龜便領(lǐng)先他米,當(dāng)阿基里斯跑完下一個米時,烏龜先他米,當(dāng)阿基里斯跑完下-個米時,烏龜先他米....所以,阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律,若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為米時,烏龜爬行的總距離為()A.米 B.米C.米 D.米8.甲、乙、丙、丁四人通過抓鬮的方式選出一人周末值班(抓到“值”字的人值班).抓完鬮后,甲說:“我沒抓到.”乙說:“丙抓到了.”丙說:“丁抓到了”丁說:“我沒抓到."已知他們四人中只有一人說了真話,根據(jù)他們的說法,可以斷定值班的人是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁9.一物體作變速直線運(yùn)動,其曲線如圖所示,則該物體在間的運(yùn)動路程為()m.A.1 B. C. D.210.的展開式中的系數(shù)為()A.5 B.10 C.20 D.3011.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位),則z的虛部為()A.2 B. C.4 D.12.已知定義在上的函數(shù),若函數(shù)為偶函數(shù),且對任意,,都有,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.戊戌年結(jié)束,己亥年伊始,小康,小梁,小譚,小楊,小劉,小林六人分成四組,其中兩個組各2人,另兩個組各1人,分別奔赴四所不同的學(xué)校參加演講,則不同的分配方案有_________種(用數(shù)字作答),14.如圖所示,點(diǎn),B均在拋物線上,等腰直角的斜邊為BC,點(diǎn)C在x軸的正半軸上,則點(diǎn)B的坐標(biāo)是________.15.如圖,在△ABC中,AB=4,D是AB的中點(diǎn),E在邊AC上,AE=2EC,CD與BE交于點(diǎn)O,若OB=OC,則△ABC面積的最大值為_______.16.已知實(shí)數(shù)滿約束條件,則的最大值為___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為,(1)若,求不等式的解集;(2)證明:對任意的,恒有.18.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,解關(guān)于的不等式;(2)若對任意,都存在,使得不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)在上的值域;(Ⅱ)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知拋物線的焦點(diǎn)為,直線交于兩點(diǎn)(異于坐標(biāo)原點(diǎn)O).(1)若直線過點(diǎn),,求的方程;(2)當(dāng)時,判斷直線是否過定點(diǎn),若過定點(diǎn),求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn),說明理由.21.(12分)如圖,⊙的直徑的延長線與弦的延長線相交于點(diǎn),為⊙上一點(diǎn),,交于點(diǎn).求證:~.22.(10分)已知函數(shù)f(x)=x-lnx,g(x)=x2-ax.(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1](t>0)上的最小值m(t);(2)令h(x)=g(x)-f(x),A(x1,h(x1)),B(x2,h(x2))(x1≠x2)是函數(shù)h(x)圖像上任意兩點(diǎn),且滿足>1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)若?x∈(0,1],使f(x)≥成立,求實(shí)數(shù)a的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由函數(shù)f(x)的圖象可知,0<f(0)=a<1,f(1)=1-b+a=0,所以1<b<2.又f′(x)=2x-b,所以g(x)=ex+2x-b,所以g′(x)=ex+2>0,所以g(x)在R上單調(diào)遞增,又g(0)=1-b<0,g(1)=e+2-b>0,根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理可知,函數(shù)g(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(0,1),故選B.2、A【解析】分析:計(jì)算,由z1,是實(shí)數(shù)得,從而得解.詳解:復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1,是實(shí)數(shù),所以,即.故選A.點(diǎn)睛:本題主要考查了復(fù)數(shù)共軛的概念,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

求出集合M和集合N,,利用集合交集補(bǔ)集的定義進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】,,則,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算,考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的對稱性和單調(diào)性的特點(diǎn),利用排除法,即可得出答案.【詳解】A中,當(dāng)時,,所以不關(guān)于直線對稱,則錯誤;B中,,所以在區(qū)間上為減函數(shù),則錯誤;D中,,而,則,所以不關(guān)于直線對稱,則錯誤;故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)基本性質(zhì),根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的對稱性和單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為,連接,,,設(shè),則,,,和中,利用勾股定理計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為,連接,,,設(shè),則,,,,根據(jù)對稱性知四邊形為矩形,中:,即,解得;中:,即,故,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.6、A【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)數(shù)為零,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,求得極大值點(diǎn)即可.【詳解】因?yàn)椋士傻?,令,因?yàn)?,故可得或,則在區(qū)間單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故的極大值點(diǎn)為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn),屬基礎(chǔ)題.7、D【解析】

根據(jù)題意,是一個等比數(shù)列模型,設(shè),由,解得,再求和.【詳解】根據(jù)題意,這是一個等比數(shù)列模型,設(shè),所以,解得,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,還考查了建模解模的能力,屬于中檔題.8、A【解析】

可采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理,即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,假設(shè)甲:我沒有抓到是真的,乙:丙抓到了,則丙:丁抓到了是假的,?。何覜]有抓到就是真的,與他們四人中只有一個人抓到是矛盾的;假設(shè)甲:我沒有抓到是假的,那么丁:我沒有抓到就是真的,乙:丙抓到了,丙:丁抓到了是假的,成立,所以可以斷定值班人是甲.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了合情推理及其應(yīng)用,其中解答中合理采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與分析判斷能力,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

由圖像用分段函數(shù)表示,該物體在間的運(yùn)動路程可用定積分表示,計(jì)算即得解【詳解】由題中圖像可得,由變速直線運(yùn)動的路程公式,可得.所以物體在間的運(yùn)動路程是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的實(shí)際應(yīng)用,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.10、C【解析】

由知,展開式中項(xiàng)有兩項(xiàng),一項(xiàng)是中的項(xiàng),另一項(xiàng)是與中含x的項(xiàng)乘積構(gòu)成.【詳解】由已知,,因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為,所以展開式中的系數(shù)為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)式定理展開式中的特定項(xiàng),解決這類問題要注意通項(xiàng)公式應(yīng)寫準(zhǔn)確,本題是一道基礎(chǔ)題.11、A【解析】

對復(fù)數(shù)進(jìn)行乘法運(yùn)算,并計(jì)算得到,從而得到虛部為2.【詳解】因?yàn)?,所以z的虛部為2.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及虛部的概念,計(jì)算過程要注意.12、A【解析】

根據(jù)題意,分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱且在上為減函數(shù),則不等式等價于,解得的取值范圍,即可得答案.【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù),所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱,因?yàn)閷θ我?,,都有,所以函?shù)在上為減函數(shù),則,解得:.即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對稱性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,涉及不等式的解法,屬于綜合題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1080【解析】

按照先分組,再分配的分式,先將六人分成四組,其中兩個組各2人,另兩個組各1人有種,再分別奔赴四所不同的學(xué)校參加演講有種,然后用分步計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】將六人分成四組,其中兩個組各2人,另兩個組各1人有種,再分別奔赴四所不同的學(xué)校參加演講有種,則不同的分配方案有種.故答案為:1080【點(diǎn)睛】本題主要考查分組分配問題,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.14、【解析】

設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合拋物線方程、兩條直線垂直的條件以及兩點(diǎn)間的距離公式列方程,解方程求得的坐標(biāo).【詳解】設(shè),由于在拋物線上,所以.由于三角形是等腰直角三角形,,所以.由得,化為,可得,所以,解得,則.所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程和運(yùn)用,考查方程思想和運(yùn)算能力,屬于中檔題.15、【解析】

先根據(jù)點(diǎn)共線得到,從而得到O的軌跡為阿氏圓,結(jié)合三角形和三角形的面積關(guān)系可求.【詳解】設(shè)B,O,E共線,則,解得,從而O為CD中點(diǎn),故.在△BOD中,BD=2,,易知O的軌跡為阿氏圓,其半徑,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的面積問題,把所求面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).16、8【解析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)平移計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)約束條件,畫出可行域,圖中陰影部分為可行域.又目標(biāo)函數(shù)表示直線在軸上的截距,由圖可知當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時截距最大,故的最大值為8.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問題,畫出圖像是解題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】

(1)求出的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性,再利用函數(shù)單調(diào)性解函數(shù)型不等式;(2)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷在區(qū)間上單調(diào)遞減,結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】(1)若,則.設(shè),則,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.又當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,,所以所以在上單調(diào)遞增,又,所以不等式的解集為.(2)設(shè),再令,,在上單調(diào)遞減,又,,,,,.即【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性,再利用函數(shù)的單調(diào)性來解決不等式問題,屬于較難題.18、(1);(2).【解析】

(1)分類討論去絕對值號,然后解不等式即可.(2)因?yàn)閷θ我猓即嬖?,使得不等式成立,等價于,根據(jù)絕對值不等式易求,根據(jù)二次函數(shù)易求,然后解不等式即可.【詳解】解:(1)當(dāng)時,,則當(dāng)時,由得,,解得;當(dāng)時,恒成立;當(dāng)時,由得,,解得.所以的解集為(2)對任意,都存在,得成立,等價于.因?yàn)?,所以,且|,①當(dāng)時,①式等號成立,即.又因?yàn)椋诋?dāng)時,②式等號成立,即.所以,即即的取值范圍為:.【點(diǎn)睛】知識:考查含兩個絕對值號的不等式的解法;恒成立問題和存在性問題求參變數(shù)的范圍問題;能力:分析問題和解決問題的能力以及運(yùn)算求解能力;中檔題.19、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)把代入,可得,令,求出其在上的值域,利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.(Ⅱ)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增,再利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得解不等式組即可求解.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時,,此時函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為.最大值為,故函數(shù)在上的值域?yàn)?;(Ⅱ)因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減,故在上單調(diào)遞增,則解得,綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域、利用對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍以及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì),屬于中檔題.20、(1)(2)直線過定點(diǎn)【解析】

設(shè).(1)由題意知,.設(shè)直線的方程為,由得,則,由根與系數(shù)的關(guān)系可得,所以.由,得,解得.所以拋物線的方程為.(2)設(shè)直線的方程為,由得,由根與系數(shù)的關(guān)系可得,所以,解得.所以直線的方程為,所以時,直線過定點(diǎn).21、證明見解析【解析】

根據(jù)相似三角形的判定定理,已知兩個三角形有公共角,題中未給出線段比例關(guān)系,故可根據(jù)判定定理一需找到另外一組相等角,結(jié)合平面幾何的知識證得即可.【詳解】證明:∵,所以,又因?yàn)?,所以.在與中,,,故~.【點(diǎn)睛】本題考查平面幾何中同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系、相似三角形的判定定理;考查邏輯推理能力和數(shù)形結(jié)合思想;分析圖形,找出角與角之間的關(guān)系是證明本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.22、(1)m(t)=(2)a≤2-2.(3)a≤2-2.【解析】

(1)是研究在動區(qū)間上的最值問題,這類問題的研究方法就是通過討論函數(shù)的極值點(diǎn)與所研究的區(qū)間的大小關(guān)系來進(jìn)行求解.(2)注意到函數(shù)h(x)的圖像上任意不同兩點(diǎn)A,B連線的斜率總大于1,等價于h(x1)-h(huán)(x2)<x1-x2(x1<x2)恒成立,從而構(gòu)造函數(shù)F(x)=h(x)-x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,進(jìn)而等價于F′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立來加以研究.(3)用處理恒成立問題來處理有解問題,先分離變量轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)函數(shù)的最值,得到a≤,再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)M(x)=的最大值,這要用到二次求導(dǎo),才可確定函數(shù)單調(diào)性,進(jìn)而確定函數(shù)最值.【詳解】(1)f′(x)=1-,x>0,令f′(x)=0,則x=1.當(dāng)t≥1時,f(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞增,f(x)

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