初中八年級數(shù)學競賽培優(yōu)講義全套專題29幾何變換精品

專題29幾何變換閱讀與思考幾何變換是指把一個幾何圖形F變換成另一個幾何圖形F的方法，若僅改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，這種變換稱為合同變換，平移、對稱、旋轉是常見的合同變換.平移變換如圖1，如果把圖形F上的各點都按一定方向移動一定距離得到圖形F2后，則由勺到F2的變換叫平移變換.平移變換前后的對應線段相等且平行，對應角的兩邊分別平行且方向一致.對稱變換如圖2,將平面圖形F變換到與它成軸對稱的圖形F，這樣的幾何變換就叫做關于直線/（對稱軸）1 2的對稱變換.對稱變換前后的對應線段相等，對應角相等，其對稱軸是連結各對應點線段的垂直平分線.旋轉變換如圖3,將平面圖形勺繞這一平面內一定點M旋轉一個定角a，得到圖形F2，這樣的變換叫旋轉變換，M叫旋轉中心，a叫旋轉角.旋轉變換前后的圖形是全等的，對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段的夾角等于旋轉角例題與求解【例1】如圖，NAO氏450,角內有點P,PO=10，在角的兩邊上有兩點Q,R（均不同于0）,則△PQR的周長的最小值為. （黃岡市競賽試題）解題思路：作P點關于0A,0B的對稱點，確定Q,R的位置，化折線為直線，求^PQR的最小值.

【例2】如圖，P是等邊^(qū)ABC的內部一點，NAPB,NBPC,NCPA的大小之比是5:6:7，則以PA,PB,PC為邊的三角形的三個角的大小之比（從小到大）是（）A.2:3:4 B,3:4:5C.4:5:6 D.不能確定（全國通訊賽試題）解題思路：解本例的關鍵是如何構造以PA，PB，PC為邊的三角形，若把△PAB,^PBC，^PCA中的任個，繞一個頂點旋轉60。，就可以把PA，PB，PC有效地集中在一起.【例3】如圖，在^ABC中,AD^BC于D，NB=2NC，求證:AB+BD=CD.（天津市競賽試題）解題思路：用截長法或補短法證明，實質都利用AD翻折造全等.【例4】如圖，六邊形ABCDEF中，AB〃DE，BC〃FE，CD〃AF，對邊之差BC-FE=ED-AB=AF-CA0，求證:

該六邊形的各角都相等.該六邊形的各角都相等.（全俄數(shù)學奧林匹克競賽試題）解題思路：設法能將復雜的條件BC-FE=ED-AB=AF-CA0，用一個基本圖形表示，題設條件有平行條件，考慮實施平移變換.【例5】已知Rt△ABC中，AC=BC,ZACB=900，/MCN=45。（1）如圖1,當M、N在AB上時，求證：MN2=AM2+BN2（2）如圖2,將NMCN繞C點旋轉，當M在BA的延長線時，上述結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.（天津市中考試題）圖1圖2圖1圖2解題思路：MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需轉化為直角三角形可將4ACM沿直線CM對折，得△DCM連DN,只需證DN=BN,NMDN=90。；或將^ACM（或^BCM）旋轉.【例6】如圖，NDAC=12。，/DBC=240，/CAB=360，/ABD:480,求/DCA的度數(shù).

（日本算術奧林匹克試題）解題思路：已知角的度數(shù)都是12的倍數(shù)，360+240=600，這使我們想到構作正三角形.能力訓練.在如圖所示的單位正方形網格中，將4ABC向右平移3個單位后得到△AB'。'，則/BAA的度數(shù)是（泰安市中考試題）（第1題）A（第3（第1題）A（第3題）.如圖，P是等邊4ABC內一點，PA=6,PB=8,PC=10,則NAPB=.4 k? 4 9.如圖，直線J=x與雙曲線J=（k>0）交于點A,將直線J=x向右平移三個單位后，與雙曲13 2x 13 2

（武漢市中考試題）k AOn（武漢市中考試題）線y廣-交于點民與，軸交于點c.若前二2，則k= .如圖，^ABC中，NBAC=450,AD±BC,DB=3,DC=2,則4ABC的面積是,.如圖，P為正方形內一點，若PA:PB:PC=1:2:3，則NAPB的度數(shù)是（）.A.1200 B.135。 C.145。 D.1500（第5題）（第6（第5題）（第6題）.如圖，邊長為2的正方形ABCD的對角線交于點O,把邊BA、CD分別繞點B、C同時逆時針旋轉600,得1四邊形A'BCD'，下列結論：①四邊形A'BCD'為菱形；②S=S；③線段OD'的長四邊形A'BCD' 2正方形ABCDTOC\o"1-5"\h\z為％a-1.其中正確的結論有（ ）.A.0個 B.1個 C.2個 D.3個.如圖，A,B兩個電話機離電話線/的距離分別是3米，5米，CD=6米，若由L上一點分別向A,B連電話線，最短為（ ）.A.11米 B.10米 C.9米 D.8米.如圖，在4ABC中，NBAC=1200,P是△ABC內一點，若記x=PA+PB+PC,y=AB+AC/（（ ）.A.x<y B.x=y C.x>y D.x與y的大小關系不確定CDA第CDA第7題圖第8題圖.如圖，已知D是4ABC中BC邊的中點，過D作DE±DF,分別交AB于E,交AC于F,求證：BE+CF>EF.（天津市競賽試題）

.如圖，4ABC,△ABC其各邊交成六邊形DEFGHK,且EF〃KH,GH#DE,FG〃KD,KH—EF=FG—KD=DE—GH>0,求證：4慶8^^A'BC均為為正三角形.（“縉云杯”邀請賽試題）.如圖，已知△ABC中，AB=AC,P,Q分別為AC,AB上的點，且AP=PQ=QB二BC求NPCQ.（北京市競賽試題）

.如圖，已知在平面直角坐標系中，A,B兩點的坐標分別為A(2,-3),B(4,-1).(1)若P(x,0)是x軸上的一個動點，當4PAB的周長最短時，求x的值;(2)若C(a,0),D(a+3,0)是x軸上的兩個動點，當四邊形ABCD的周長最短時，求a的值;(3)設M,N分別為x軸，y軸上的動點，問：是否存在這樣的點M(m,0)和N(0,n)，使四邊形ABMN的周長最短？若存在，求出m,n的值；若不存在，請說明理由.(浙江省湖州市中考試題).如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,分別以兩腰AB,CD為邊向兩邊作正方形ABGE和正方形DCHF,設線段AD的垂直平分線佼線段EF于點M,EP±Z^P,FQ±/于Q,求證：EP=FQ.(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題).如圖所示，已知Rt4ABC中，AB=BC,在Rt^ADE中，AD=DE,連結EC,取EC中點M,連結DM和BM

（1）若點D在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合，如圖1,求證：BM=DM,且BM