初中數(shù)學(xué)北師大版九年級上冊第四章　圖形的相似 優(yōu)質(zhì)課獎(jiǎng)

《第4章圖形的相似》一、選擇題1．如圖，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格紙中的格點(diǎn)（即小正方形的頂點(diǎn)），要使△DEF與△ABC相似，則點(diǎn)F應(yīng)是G，H，M，N四點(diǎn)中的（）A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M2．△ABC與△DEF的相似比為1：4，則△ABC與△DEF的周長比為（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：163．如圖，在△ABC中，DE∥BC，若=，則=（）A． B． C． D．4．在研究相似問題時(shí)，甲、乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下：甲：將邊長為3、4、5的三角形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新三角形，它們的對應(yīng)邊間距為1，則新三角形與原三角形相似．乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴(kuò)張，得到新的矩形，它們的對應(yīng)邊間距均為1，則新矩形與原矩形不相似．對于兩人的觀點(diǎn)，下列說法正確的是（）A．兩人都對 B．兩人都不對 C．甲對，乙不對 D．甲不對，乙對5．如圖，△ABC中，P為AB上的一點(diǎn)，在下列四個(gè)條件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP?AB；④AB?CP=AP?CB，能滿足△APC和△ACB相似的條件是（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③6．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，EC交對角線BD于點(diǎn)F，則EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：27．四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′位似，O為位似中心，若OA：OA′=1：3，則S四邊形ABCD：S四邊形A′B′C′D′=（）A．1：9 B．1：3 C．1：4 D．1：58．小剛身高1.7m，測得他站立在陽光下的影長為0.85m，緊接著他把手臂豎直舉起，測得影長為1.1m，那么小剛舉起手臂超出頭頂（）A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m9．如圖，在△ABC中，DE∥BC，=，則下列結(jié)論中正確的是（）A．= B．=C．= D．=10．如圖，已知AB、CD、EF都與BD垂直，垂足分別是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的長是（）A． B． C． D．二、填空題11．若，則=．12．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=．13．已知一個(gè)三角形的三邊長分別為6，8和10，與其相似的一個(gè)三角形的最短邊長為18，則較小三角形與較大三角形的相似比k=．14．在△ABC中，AB=12cm，BC=18cm，AC=24cm，另一個(gè)與它相似的△A′B′C′的周長為18cm，則△A′B′C各邊長分別為．15．如圖，一束光線從點(diǎn)A（3，3）出發(fā)，經(jīng)過y軸上點(diǎn)C反射后經(jīng)過點(diǎn)B（1，0），則光線從點(diǎn)A到點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長為．16．如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位線，且EF=2，則AC的長為．17．如圖，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面積是8，則△ABC的面積為．18．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，且BE：EC=2：1，AE與BD交于點(diǎn)F，則△AFD與四邊形DEFC的面積之比是．三、解答題19．已知線段a，b，c，d成比例，且a=6dm，b=3dm，d=dm，求線段c的長度．20．若=，求的值．21．已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足，且a+b+c=12，請你探索△ABC的形狀．22．如圖，△ABC中，CD是邊AB上的高，且=．（1）求證：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大?。?3．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，AE=ED，DF=DC，連接EF并延長交BC的延長線于點(diǎn)G．（1）求證：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的邊長為4，求BG的長．24．某小區(qū)居民籌集資金1600元，計(jì)劃在兩底分別為10m、20m梯形空地上種植種植花木，如圖：（1）他們在△AMD和△BMC地帶上種植太陽花，單價(jià)為8元/m2，當(dāng)△AMD地帶種滿花后（圖中陰影部分），共花了160元，計(jì)算種滿△BMC地帶所需費(fèi)用．（2）若其余地帶有玫瑰、茉莉兩種可供選擇，單價(jià)分別為12元/m2、10元/m2，應(yīng)選哪種花木，剛好用完所籌資金？25．如圖，已知在△ABC和△EBD中，．（1）若△ABC與△EBD的周長之差為60cm，求這兩個(gè)三角形的周長．（2）若△ABC與△EBD的面積之和為812cm2，求這兩個(gè)三角形的面積．26．某一天，小明和小亮來到一河邊，想用遮陽帽和皮尺測量這條河的大致寬度，兩人在確保無安全隱患的情況下，先在河岸邊選擇了一點(diǎn)B（點(diǎn)B與河對岸岸邊上的一棵樹的底部點(diǎn)D所確定的直線垂直于河岸）．①小明在B點(diǎn)面向樹的方向站好，調(diào)整帽檐，使視線通過帽檐正好落在樹的底部點(diǎn)D處，如圖所示，這時(shí)小亮測得小明眼睛距地面的距離AB=1.7米；②小明站在原地轉(zhuǎn)動180°后蹲下，并保持原來的觀察姿態(tài)（除身體重心下移外，其他姿態(tài)均不變），這時(shí)視線通過帽檐落在了DB延長線上的點(diǎn)E處，此時(shí)小亮測得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距離CB=1.2米．根據(jù)以上測量過程及測量數(shù)據(jù)，請你求出河寬BD是多少米？

《第4章圖形的相似》參考答案與試題解析一、選擇題1．如圖，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格紙中的格點(diǎn)（即小正方形的頂點(diǎn)），要使△DEF與△ABC相似，則點(diǎn)F應(yīng)是G，H，M，N四點(diǎn)中的（）A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】壓軸題；網(wǎng)格型；數(shù)形結(jié)合．【分析】根據(jù)兩三角形三條邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似進(jìn)行解答．【解答】解：設(shè)小正方形的邊長為1，則△ABC的各邊分別為3、、，只能F是M或N時(shí)，其各邊是6、2，2．與△ABC各邊對應(yīng)成比例，故選C．【點(diǎn)評】此題考查三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似判定定理的應(yīng)用．2．△ABC與△DEF的相似比為1：4，則△ABC與△DEF的周長比為（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)．【分析】由相似三角形周長的比等于相似比即可得出結(jié)果．【解答】解：∵△ABC與△DEF的相似比為1：4，∴△ABC與△DEF的周長比為1：4；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)；熟記相似三角形周長的比等于相似比是解決問題的關(guān)鍵．3．如圖，在△ABC中，DE∥BC，若=，則=（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】平行線分線段成比例．【分析】直接利用平行線分線段成比例定理寫出答案即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴==，故選C．【點(diǎn)評】本題考查了平行線分線段成比例定理，了解定理的內(nèi)容是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)定義或定理，難度不大．4．在研究相似問題時(shí)，甲、乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下：甲：將邊長為3、4、5的三角形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新三角形，它們的對應(yīng)邊間距為1，則新三角形與原三角形相似．乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴(kuò)張，得到新的矩形，它們的對應(yīng)邊間距均為1，則新矩形與原矩形不相似．對于兩人的觀點(diǎn)，下列說法正確的是（）A．兩人都對 B．兩人都不對 C．甲對，乙不對 D．甲不對，乙對【考點(diǎn)】相似三角形的判定；相似多邊形的性質(zhì)．【專題】數(shù)形結(jié)合．【分析】甲：根據(jù)題意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可證得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得△ABC∽△A′B′C′；乙：根據(jù)題意得：AB=CD=3，AD=BC=5，則A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，則可得，即新矩形與原矩形不相似．【解答】解：甲：根據(jù)題意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴甲說法正確；乙：∵根據(jù)題意得：AB=CD=3，AD=BC=5，則A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，∴，，∴，∴新矩形與原矩形不相似．∴乙說法正確．故選：A．【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形以及相似多邊形的判定．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．5．如圖，△ABC中，P為AB上的一點(diǎn)，在下列四個(gè)條件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP?AB；④AB?CP=AP?CB，能滿足△APC和△ACB相似的條件是（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【分析】根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可對①②進(jìn)行判斷；根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可對③④進(jìn)行判斷．【解答】解：當(dāng)∠ACP=∠B，∠A公共，所以△APC∽△ACB；當(dāng)∠APC=∠ACB，∠A公共，所以△APC∽△ACB；當(dāng)AC2=AP?AB，即AC：AB=AP：AC，∠A公共，所以△APC∽△ACB；當(dāng)AB?CP=AP?CB，即=，而∠PAC=∠CAB，所以不能判斷△APC和△ACB相似．故選D．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．6．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，EC交對角線BD于點(diǎn)F，則EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】幾何圖形問題．【分析】根據(jù)題意得出△DEF∽△BCF，進(jìn)而得出=，利用點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)得出答案即可．【解答】解：∵?ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴=，∵點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，∴AE=DE=AD，∴=．故選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出△DEF∽△BCF是解題關(guān)鍵．7．四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′位似，O為位似中心，若OA：OA′=1：3，則S四邊形ABCD：S四邊形A′B′C′D′=（）A．1：9 B．1：3 C．1：4 D．1：5【考點(diǎn)】位似變換．【分析】四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′位似，四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，可知AD∥A′D′，△OAD∽△OA′D′，求出相似比從而求得S四邊形ABCD：S四邊形A′B′C′D′的值．【解答】解：∵四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′位似，∴四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，∴AD∥A′D′，∴△OAD∽△OA′D′，∴OA：O′A′=AD：A′D′=1：3，∴S四邊形ABCD：S四邊形A′B′C′D′=1：9．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了位似的相關(guān)知識，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其對應(yīng)的面積比等于相似比的平方．8．小剛身高1.7m，測得他站立在陽光下的影長為0.85m，緊接著他把手臂豎直舉起，測得影長為1.1m，那么小剛舉起手臂超出頭頂（）A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用．【分析】根據(jù)在同一時(shí)物體的高度和影長成正比，設(shè)出手臂豎直舉起時(shí)總高度x，即可列方程解出x的值，再減去身高即可得出小剛舉起的手臂超出頭頂?shù)母叨龋窘獯稹拷猓涸O(shè)手臂豎直舉起時(shí)總高度xm，列方程得：=，解得x=，﹣=0.5m，所以小剛舉起的手臂超出頭頂?shù)母叨葹?.5m．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是明確在同一時(shí)刻物體的高度和影長成正比．9．如圖，在△ABC中，DE∥BC，=，則下列結(jié)論中正確的是（）A．= B．=C．= D．=【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得，然后由=，即可判斷A、B的正誤，然后根據(jù)相似三角形的周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方即可判斷C、D的正誤．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵=，∵=，故A、B選項(xiàng)均錯(cuò)誤；∵△ADE∽△ABC，∴==，=（）2=，故C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟記相似三角形的對應(yīng)邊之比等于相似比；相似三角形的周長之比等于相似比；相似三角形的面積之比等于相似比的平方．10．如圖，已知AB、CD、EF都與BD垂直，垂足分別是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的長是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】易證△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得=，=，從而可得+=+=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．【解答】解：∵AB、CD、EF都與BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，∴=，=，∴+=+==1．∵AB=1，CD=3，∴+=1，∴EF=．故選C．【點(diǎn)評】本題主要考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)+=1是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題11．若，則=．【考點(diǎn)】比例的性質(zhì)．【專題】常規(guī)題型．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)求出的值，然后兩邊加1進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：∵，∴﹣2=，=2+=，∴+1=+1，即=．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)已知條件求出的值是解題的關(guān)鍵．12．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=3．【考點(diǎn)】比例的性質(zhì)．【分析】根據(jù)等比性質(zhì)，可得答案．【解答】解：由等比性質(zhì)，得k===3，故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì)，利用了等比性質(zhì)：===k?k==．13．已知一個(gè)三角形的三邊長分別為6，8和10，與其相似的一個(gè)三角形的最短邊長為18，則較小三角形與較大三角形的相似比k=．【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)．【分析】由一個(gè)三角形的三邊長分別為6，8和10，與其相似的一個(gè)三角形的最短邊長為18，根據(jù)相似比等于對應(yīng)邊的比，即可求得答案．【解答】解：∵一個(gè)三角形的三邊長分別為6，8和10，與其相似的一個(gè)三角形的最短邊長為18，∴較小三角形與較大三角形的相似比k==．故答案為：．【點(diǎn)評】此題考查了相似比的定義．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是熟記定義．14．在△ABC中，AB=12cm，BC=18cm，AC=24cm，另一個(gè)與它相似的△A′B′C′的周長為18cm，則△A′B′C各邊長分別為4cm，6cm，8cm．【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)．【分析】由△A′B′C′∽△ABC，根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比，即可求得答案．【解答】解：∵△A′B′C′∽△ABC，∴△A′B′C′的周長：△ABC的周長=A′B′：AB，∵在△ABC中，AB=12cm，BC=18cm，AC=24cm，∴△ABC的周長為：54cm，∵△A′B′C′的周長為18cm，∴A′B′：AB=A′C′：AC=B′C′：BC=，∴A′B′=4cm，B′C′=6cm，A′C′=8cm．故答案為：4cm，6cm，8cm．【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．如圖，一束光線從點(diǎn)A（3，3）出發(fā)，經(jīng)過y軸上點(diǎn)C反射后經(jīng)過點(diǎn)B（1，0），則光線從點(diǎn)A到點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長為5．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】延長AC交x軸于B′．根據(jù)光的反射原理，點(diǎn)B、B′關(guān)于y軸對稱，CB=CB′．路徑長就是AB′的長度．結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用勾股定理求解．【解答】解：如圖所示，延長AC交x軸于B′．則點(diǎn)B、B′關(guān)于y軸對稱，CB=CB′．作AD⊥x軸于D點(diǎn)．則AD=3，DB′=3+1=4．∴AB′=AC+CB′=AC+CB=5．即光線從點(diǎn)A到點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長為5．【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形的有關(guān)知識，同時(shí)滲透光學(xué)中反射原理，構(gòu)造直角三角形是解決本題關(guān)鍵．16．如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位線，且EF=2，則AC的長為．【考點(diǎn)】三角形中位線定理．【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出DB，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式計(jì)算即可得解．【解答】解：∵EF是△ODB的中位線，∴DB=2EF=2×2=4，∵AC∥BD，∴△AOC∽△BOD，∴=，即=，解得AC=．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面積是8，則△ABC的面積為18．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】根據(jù)相似三角形的判定，可得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得答案．【解答】解；∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵=，∴=（）2=，，∴S△ABC=18，故答案為：18．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形判定與性質(zhì)，利用了相似三角形的判定與性質(zhì)．18．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，且BE：EC=2：1，AE與BD交于點(diǎn)F，則△AFD與四邊形DEFC的面積之比是9：11．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)題意，先設(shè)CE=x，S△BEF=a，再求出S△ADF的表達(dá)式，利用四部分的面積和等于正方形的面積，得到x與a的關(guān)系，那么兩部分的面積比就可以求出來．【解答】解：設(shè)CE=x，S△BEF=a，∵CE=x，BE：CE=2：1，∴BE=2x，AD=BC=CD=AD=3x；∵BC∥AD∴∠EBF=∠ADF，又∵∠BFE=∠DFA；∴△EBF∽△ADF∴S△BEF：S△ADF===，那么S△ADF=a．∵S△BCD﹣S△BEF=S四邊形EFDC=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF，∴x2﹣a=9x2﹣×3x?2x﹣，化簡可求出x2=；∴S△AFD：S四邊形DEFC=：=：=9：11，故答案為9：11．【點(diǎn)評】此題運(yùn)用了相似三角形的判定和性質(zhì)，還用到了相似三角形的面積比等于相似比的平方．三、解答題19．已知線段a，b，c，d成比例，且a=6dm，b=3dm，d=dm，求線段c的長度．【考點(diǎn)】比例線段．【分析】根據(jù)比例線段的定義得出=，即=，解之可得c．【解答】解：根據(jù)題意，=，即=，解得：c=3，答：線段c的長度為3dm．【點(diǎn)評】本題主要考查比例線段，掌握比例線段的定義是關(guān)鍵．20．若=，求的值．【考點(diǎn)】比例的性質(zhì)．【分析】首先由已知條件可得x=，然后再代入即可求值．【解答】解：∵=，∴8x﹣6y=x﹣y，x=，∴==．【點(diǎn)評】此題主要考查了比例的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積．21．已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足，且a+b+c=12，請你探索△ABC的形狀．【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理．【專題】探究型．【分析】令=k．根據(jù)a+b+c=12，得到關(guān)于k的方程，求得k值，再進(jìn)一步求得a，b，c的值，從而判定三角形的形狀．【解答】解：令=k．∴a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，∴a=3k﹣4，b=2k﹣3，c=4k﹣8．又∵a+b+c=12，∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）=12，∴k=3．∴a=5，b=3，c=4．∴△ABC是直角三角形．【點(diǎn)評】此題能夠利用方程求得k的值，進(jìn)一步求得三角形的三邊長，根據(jù)勾股定理的逆定理判定三角形的形狀．22．如圖，△ABC中，CD是邊AB上的高，且=．（1）求證：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大?。究键c(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）由兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，即可證明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【解答】（1）證明：∵CD是邊AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟記相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理．23．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，AE=ED，DF=DC，連接EF并延長交BC的延長線于點(diǎn)G．（1）求證：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的邊長為4，求BG的長．【考點(diǎn)】相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)；平行線分線段成比例．【專題】計(jì)算題；證明題．【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)，可得∠A=∠D，根據(jù)已知可得，根據(jù)有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得CG的長，即可求得BG的長．【解答】（1）證明：∵ABCD為正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD為正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的邊長為4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定（有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似）、正方形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識的綜合應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．24．（10分）（2023?富順縣校級模擬）某小區(qū)居民籌集資金1600元，計(jì)劃在兩底分別為10m、20m梯形空地上種植種植花木，如圖：（1）他們在△AMD和△BMC地帶上種植太陽花，單價(jià)為8元/m2，當(dāng)△AMD地帶種滿花后（圖中陰影部分），共花了160元，計(jì)算種滿△BMC地帶所需費(fèi)用．（2）若其余地帶有玫瑰、茉莉兩種可供選擇，單價(jià)分別為12元/m2、10元/m2，應(yīng)選哪種花木，剛好用完所籌資金？【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題．【分析】（1）易得△AMD∽△BMC，根據(jù)BC=2AD可得S△BMC=4S△AMD，據(jù)此可得種滿△BMC的花費(fèi)；（2）根據(jù)每平方米8元來看，△AMD面積為20平米方米，△BMC面積為80平方米，因此可以得出梯形的高也就是兩三角形高的和為12米，那么可得梯形面積為180平方米，還有80平方米未種，800元未用，所以要選擇每平方米十元的茉莉花．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是梯形，∴AD∥BC，∴∠MAD=∠MCB，∠MDA=∠MBC，∴△AMD∽△CMB，∴S△AMD：S△BMC=（10：20）2=1：4．∵種植△AMD地帶花費(fèi)160元，單價(jià)為8元/m2，∴S△AMD=20m2∴S△CMB=80m2∴△BMC地帶所需的費(fèi)用為8×80=640（元）；（2）設(shè)△AMD的高為h1，△BMC的高為h2，梯形ABCD的高為h．∵S△AMD=×10h1=20，∴h1=4，∵S△BCM=×20h2=80，∴h2=8，∴S梯形ABCD=（AD+BC）?h=×（10+20）×（4+8）=180．∴S△AMB+S△DMC=180﹣20﹣80=80（m2），∵160+640+80×12=1760（元），160+640+80×1