初中數(shù)學(xué)人教版九年級上冊第二十四章圓2圓的有關(guān)性質(zhì)

第二十四章圓24．1圓的有關(guān)性質(zhì)24．1.1圓經(jīng)歷圓的概念的形成過程，理解圓、弧、弦等與圓有關(guān)的概念，了解等圓、等弧的概念．重點(diǎn)經(jīng)歷形成圓的概念的過程，理解圓及其有關(guān)概念．難點(diǎn)理解圓的概念的形成過程和圓的集合性定義．活動1創(chuàng)設(shè)情境，引出課題1．多媒體展示生活中常見的給我們以圓的形象的物體．2．提出問題：我們看到的物體給我們什么樣的形象？活動2動手操作，形成概念在沒有圓規(guī)的情況下，讓學(xué)生用鉛筆和細(xì)線畫一個圓．教師巡視，展示學(xué)生的作品，提出問題：我們畫的圓的位置和大小一樣嗎？畫的圓的位置和大小分別由什么決定？教師強(qiáng)調(diào)指出：位置由固定的一個端點(diǎn)決定，大小由固定端點(diǎn)到鉛筆尖的細(xì)線的長度決定．1．從以上圓的形成過程，總結(jié)概念：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓．固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．2．小組討論下面的兩個問題：問題1：圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)(圓心O)的距離有什么規(guī)律？問題2：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)又有什么特點(diǎn)？3．小組代表發(fā)言，教師點(diǎn)評總結(jié)，形成新概念．(1)圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)(圓心O)的距離都等于定長(半徑r)；(2)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)都在同一個圓上．因此，我們可以得到圓的新概念：圓心為O，半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)的集合．(一個圖形看成是滿足條件的點(diǎn)的集合，必須符合兩點(diǎn)：在圖形上的每個點(diǎn)，都滿足這個條件；滿足這個條件的每個點(diǎn)，都在這個圖形上．)活動3學(xué)以致用，鞏固概念1．教材第81頁練習(xí)第1題．2．教材第80頁例1.多媒體展示例1，引導(dǎo)學(xué)生分析要證明四個點(diǎn)在同一圓上，實(shí)際是要證明到定點(diǎn)的距離等于定長，即四個點(diǎn)到O的距離相等．活動4自學(xué)教材，辨析概念1．自學(xué)教材第80頁例1后面的內(nèi)容，判斷下列問題正確與否：(1)直徑是弦，弦是直徑；半圓是弧，弧是半圓．(2)圓上任意兩點(diǎn)間的線段叫做?。?3)在同圓中，半徑相等，直徑是半徑的2倍．(4)長度相等的兩條弧是等?。?教師強(qiáng)調(diào)：長度相等的弧不一定是等弧，等弧必須是在同圓或等圓中的?。?(5)大于半圓的弧是劣弧，小于半圓的弧是優(yōu)?。?．指出圖中所有的弦和?。顒?達(dá)標(biāo)檢測，反饋新知教材第81頁練習(xí)第2，3題．活動6課堂小結(jié)，作業(yè)布置課堂小結(jié)1．圓、弦、弧、等圓、等弧的概念．要特別注意“直徑和弦”“弧和半圓”以及“同圓、等圓”這些概念的區(qū)別和聯(lián)系．等圓和等弧的概念是建立在“能夠完全重合”這一前提條件下的，它將作為今后判斷兩圓或兩弧相等的依據(jù)．2．證明幾點(diǎn)在同一圓上的方法．3．集合思想．作業(yè)布置1．以定點(diǎn)O為圓心，作半徑等于2厘米的圓．2．如圖，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C＝90°，∠D＝90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)．求證：A，B，C，D四個點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心的同一圓上．答案：1.略；2.證明OA＝OB＝OC＝OD即可．24．1.2垂直于弦的直徑理解垂徑定理并靈活運(yùn)用垂徑定理及圓的概念解決一些實(shí)際問題．通過復(fù)合圖形的折疊方法得出猜想垂徑定理，并輔以邏輯證明加予理解．重點(diǎn)垂徑定理及其運(yùn)用．難點(diǎn)探索并證明垂徑定理及利用垂徑定理解決一些實(shí)際問題．一、復(fù)習(xí)引入①在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓．固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．②連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，如圖線段AC，AB；③經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如圖線段AB；④圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧，以A，C為端點(diǎn)的弧記作“eq\o(AC,\s\up8(︵))”，讀作“圓弧AC”或“弧AC”．大于半圓的弧(如圖所示eq\o(ABC,\s\up8(︵)))叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧(如圖所示eq\o(AC,\s\up8(︵))或eq\o(BC,\s\up8(︵)))叫做劣弧．⑤圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．⑥圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線．二、探索新知(學(xué)生活動)請同學(xué)按要求完成下題：如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為M.(1)如圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？(2)你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說一說你理由．(老師點(diǎn)評)(1)是軸對稱圖形，其對稱軸是CD.(2)AM＝BM，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，即直徑CD平分弦AB，并且平分eq\o(AB,\s\up8(︵))及eq\o(ADB,\s\up8(︵)).這樣，我們就得到下面的定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。旅嫖覀冇眠壿嬎季S給它證明一下：已知：直徑CD、弦AB，且CD⊥AB垂足為M.求證：AM＝BM，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).分析：要證AM＝BM，只要證AM，BM構(gòu)成的兩個三角形全等．因此，只要連接OA，OB或AC，BC即可．證明：如圖，連接OA，OB，則OA＝OB，在Rt△OAM和Rt△OBM中，∴Rt△OAM≌Rt△OBM，∴AM＝BM，∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對稱，∵⊙O關(guān)于直徑CD對稱，∴當(dāng)圓沿著直線CD對折時，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，eq\o(AC,\s\up8(︵))與eq\o(BC,\s\up8(︵))重合，eq\o(AD,\s\up8(︵))與eq\o(BD,\s\up8(︵))重合．∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).進(jìn)一步，我們還可以得到結(jié)論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?本題的證明作為課后練習(xí))例1有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖所示，正常水位下水面寬AB＝60m，水面到拱頂距離CD＝18m，當(dāng)洪水泛濫時，水面寬MN＝32m時是否需要采取緊急措施？請說明理由．分析：要求當(dāng)洪水到來時，水面寬MN＝32m是否需要采取緊急措施，只要求出DE的長，因此只要求半徑R，然后運(yùn)用幾何代數(shù)解求R.解：不需要采取緊急措施，設(shè)OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，CD＝18，R2＝302＋(R－18)2，R2＝900＋R2－36R＋324，解得R＝34(m)，連接OM，設(shè)DE＝x，在Rt△MOE中，ME＝16，342＝162＋(34－x)2，162＋342－68x＋x2＝342，x2－68x＋256＝0，解得x1＝4，x2＝64(不合題意，舍去)，∴DE＝4，∴不需采取緊急措施．三、課堂小結(jié)(學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評)垂徑定理及其推論以及它們的應(yīng)用．四、作業(yè)布置1．垂徑定理推論的證明．2．教材第89，90頁習(xí)題第8，9，10題．24．1.3弧、弦、圓心角1．理解圓心角的概念和圓的旋轉(zhuǎn)不變性，會辨析圓心角．2．掌握在同圓或等圓中，圓心角與其所對的弦、弧之間的關(guān)系，并能應(yīng)用此關(guān)系進(jìn)行相關(guān)的證明和計(jì)算．重點(diǎn)圓心角、弦、弧之間的相等關(guān)系及其理解應(yīng)用．難點(diǎn)從圓的旋轉(zhuǎn)不變性出發(fā)，發(fā)現(xiàn)并論證圓心角、弦、弧之間的相等關(guān)系．活動1動手操作，得出性質(zhì)及概念1．在兩張透明紙片上，分別作半徑相等的⊙O和⊙O′.2．將⊙O繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后會出現(xiàn)什么情況？圓是中心對稱圖形嗎？3．在⊙O中畫出兩條不在同一條直線上的半徑，構(gòu)成一個角，這個角叫什么角？學(xué)生先說，教師補(bǔ)充完善圓心角的概念．如圖，∠AOB的頂點(diǎn)在圓心，像這樣的角叫做圓心角．4．判斷圖中的角是否是圓心角，說明理由．活動2繼續(xù)操作，探索定理及推論1．在⊙O′中，作與圓心角∠AOB相等的圓心角∠A′O′B′，連接AB，A′B′，將兩張紙片疊在一起，使⊙O與⊙O′重合，固定圓心，將其中一個圓旋轉(zhuǎn)某個角度，使得OA與O′A′重合，在操作的過程中，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系，理由是什么？請與小組同學(xué)交流．2．學(xué)生會出現(xiàn)多對等量關(guān)系，教師給予鼓勵，然后，老師小結(jié)：在等圓中相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．3．在同一個圓中，相等的圓心角所對的弧相等嗎？所對的弦相等嗎？4．綜合2，3，我們可以得到關(guān)于圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．請用符號語言把定理表示出來．5．分析定理：去掉“在同圓或等圓中”這個條件，行嗎？6．定理拓展：教師引導(dǎo)學(xué)生類比定理，獨(dú)立用類似的方法進(jìn)行探究：(1)在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角，所對的弦也分別相等嗎？(2)在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角，所對的弧也分別相等嗎？綜上所述，在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，就可以推出它們所對應(yīng)的其余各組量也相等．活動3學(xué)以致用，鞏固定理1．教材第84頁例3.多媒體展示例3，引導(dǎo)學(xué)生分析要證明三個圓心角相等，可轉(zhuǎn)化為證明所對的弧或弦相等．鼓勵學(xué)生用多種方法解決本題，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的意識和能力，感悟轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想．活動4達(dá)標(biāo)檢測，反饋新知教材第85頁練習(xí)第1，2題．活動5課堂小結(jié)，作業(yè)布置課堂小結(jié)1．圓心角概念及圓的旋轉(zhuǎn)不變性和對稱性．2．在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等，以及其應(yīng)用．3．?dāng)?shù)學(xué)思想方法：類比的數(shù)學(xué)方法，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想．作業(yè)布置1．如果兩個圓心角相等，那么()A．這兩個圓心角所對的弦相等B．這兩個圓心角所對的弧相等C．這兩個圓心角所對的弦的弦心距相等D．以上說法都不對2．如圖，AB和DE是⊙O的直徑，弦AC∥DE，若弦BE＝3，求弦CE的長．3．如圖，在⊙O中，C，D是直徑AB上兩點(diǎn)，且AC＝BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M，N在⊙O上．(1)求證：eq\o(AM,\s\up8(︵))＝eq\o(BN,\s\up8(︵))；(2)若C，D分別為OA，OB中點(diǎn)，則eq\o(AM,\s\up8(︵))＝eq\o(MN,\s\up8(︵))＝eq\o(BN,\s\up8(︵))成立嗎？答案：1.D；2.3；3.(1)連接OM，ON，證明△MCO≌△NDO，得出∠MOA＝∠NOB，得出eq\o(AM,\s\up8(︵))＝eq\o(BN,\s\up8(︵))；(2)成立．24.1.4圓周角(2課時)第1課時圓周角的概念和圓周角定理1．理解圓周角的概念，會識別圓周角．2．掌握圓周角定理，并會用此定理進(jìn)行簡單的論證和計(jì)算．重點(diǎn)圓周角的概念和圓周角定理．難點(diǎn)用分類討論的思想證明圓周角定理，尤其是分類標(biāo)準(zhǔn)的確定．活動1復(fù)習(xí)類比，引入概念1．用幾何畫板顯示圓心角．2．教師將圓心角的頂點(diǎn)進(jìn)行移動，如圖1.(1)當(dāng)角的頂點(diǎn)在圓心時，我們知道這樣的角叫圓心角，如∠AOB.(2)當(dāng)角的頂點(diǎn)運(yùn)動到圓周時，如∠ACB這樣的角叫什么角呢？學(xué)生會馬上猜出：圓周角．教師給予鼓勵，引出課題．3．總結(jié)圓周角概念．(1)鼓勵學(xué)生嘗試自己給圓周角下定義．估計(jì)學(xué)生能類比圓心角給圓周角下定義，頂點(diǎn)在圓周上的角叫圓周角，可能對角的兩邊沒有要求．(2)教師提問：是不是頂點(diǎn)在圓周上的角就是圓周角呢？帶著問題，教師出示下圖．學(xué)生通過觀察，會發(fā)現(xiàn)形成圓周角必須具備兩個條件：①頂點(diǎn)在圓周上；②角的兩邊都與圓相交．最后讓學(xué)生再給圓周角下一個準(zhǔn)確的定義：頂點(diǎn)在圓周上，兩邊都與圓相交的角叫圓周角．(3)比較概念：圓心角定義中為什么沒有提到“兩邊都與圓相交”呢？學(xué)生討論后得出：凡是頂點(diǎn)在圓心的角，兩邊一定與圓相交，而頂點(diǎn)在圓周上的角則不然，因此，學(xué)習(xí)圓周角的概念，一定要注意角的兩邊“都與圓相交”這一條件．活動2觀察猜想，尋找規(guī)律1．教師出示同一條弧所對圓周角為90°，圓心角為180°和同一條弧所對圓周角為45°，圓心角為90°的特殊情況的圖形．提出問題：在這兩個圖形中，對著同一條弧的圓周角和圓心角，它們之間有什么數(shù)量關(guān)系．由于情況特殊，學(xué)生觀察、測量后，容易得出：對著同一條弧的圓周角是圓心角的一半．2．教師提出：在一般情況下，對著同一條弧的圓周角還是圓心角的一半嗎？通過上面的特例，學(xué)生猜想，得出命題：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．活動3動手畫圖，證明定理1．猜想是否正確，還有待證明．教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合命題，畫出圖形，寫出已知、求證．2．先分小組交流畫出的圖形，議一議：所畫圖形是否相同？所畫圖形是否合理？3．利用實(shí)物投影在全班交流，得到三種情況．若三種位置關(guān)系未出現(xiàn)全，教師利用電腦演示同一條弧所對圓周角的頂點(diǎn)在圓周上運(yùn)動的過程，得出同一條弧所對的圓心角和圓周角之間可能出現(xiàn)的不同位置關(guān)系，得到圓心角的頂點(diǎn)在圓周角的一邊上、內(nèi)部、外部三種情況．4．引導(dǎo)學(xué)生選一種最特殊、最容易證明的“圓心角的頂點(diǎn)在圓周角的一邊上”進(jìn)行證明，寫出證明過程，教師點(diǎn)評．5．引導(dǎo)學(xué)生通過添加輔助線，把“圓心角的頂點(diǎn)在圓周角的內(nèi)部、外部”轉(zhuǎn)化成“圓心角的頂點(diǎn)在圓周角的一邊上”的情形，進(jìn)行證明，若學(xué)生不能構(gòu)造過圓周角和圓心角頂點(diǎn)的直徑，教師給予提示．然后小組交流討論，上臺展示證明過程，教師點(diǎn)評證明過程．6．將“命題”改為“定理”，即“圓周角定理”．活動4達(dá)標(biāo)檢測，反饋新知1．教材第88頁練習(xí)第1題．2．如圖，∠BAC和∠BOC分別是⊙O中的弧BC所對的圓周角和圓心角，若∠BAC＝60°，那么∠BOC＝________.3．如圖，AB，AC為⊙O的兩條弦，延長CA到D，使AD＝AB，如果∠ADB＝30°，那么∠BOC＝________.答案：1.略；2.120°；3.120°.活動5課堂小結(jié)，作業(yè)布置課堂小結(jié)1．圓周角概念及定理．2．類比從一般到特殊的數(shù)學(xué)方法及分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想．作業(yè)布置教材第88頁練習(xí)第4題，教材第89頁習(xí)題第5題．第2課時圓周角定理推論和圓內(nèi)接多邊形1．能推導(dǎo)和理解圓周角定理的兩個推論，并能利用這兩個推論解決相關(guān)的計(jì)算和證明．2．知道圓內(nèi)接多邊形和多邊形外接圓的概念，明確不是所有多邊形都有外接圓．3．能證明圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，并能應(yīng)用這個性質(zhì)解決簡單的計(jì)算和證明等問題．重點(diǎn)圓周角定理的兩個推論和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用．難點(diǎn)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理的準(zhǔn)確、靈活應(yīng)用以及如何添加輔助線．活動1溫習(xí)舊知1．圓周角定理的內(nèi)容是什么？2．如圖，若eq\o(BC,\s\up8(︵))的度數(shù)為100°，則∠BOC＝________，∠A＝________.3．如圖，四邊形ABCD中，∠B與∠1互補(bǔ)，AD的延長線與DC所夾的∠2＝60°，則∠1＝________，∠B＝________.4．判斷正誤：(1)圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)；()(2)圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半．()答案：1.略；2.100°，50°；3.120°，60°；4.略活動2探索圓周角定理的“推論”1．請同學(xué)們在練習(xí)本上畫一個⊙O.想一想，以A，C為端點(diǎn)的弧所對的圓周角有多少個？試著畫幾個．然后教師引導(dǎo)學(xué)生：觀察下圖，∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小關(guān)系如何？為什么？讓學(xué)生得出結(jié)論后，教師繼續(xù)追問：如果把這個結(jié)論中的“同弧”改為“等弧”，結(jié)論正確嗎？2．教師引導(dǎo)學(xué)生觀察下圖，BC是⊙O的直徑．請問：BC所對的圓周角∠BAC是銳角、直角還是鈍角？讓學(xué)生交流、討論，得出結(jié)論：∠BAC是直角．教師追問理由．3．如圖，若圓周角∠BAC＝90°，那么它所對的弦BC經(jīng)過圓心嗎？為什么？由此能得出什么結(jié)論？4．師生共同解決教材第87頁例4.活動3探索圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)1．教師給學(xué)生介紹以下基本概念：圓內(nèi)接多邊形與多邊形的外接圓；圓內(nèi)接四邊形與四邊形的外接圓．2．要求學(xué)生畫一畫，想一想：在⊙O上任作它