第四章回歸模型中的隨機(jī)誤差項(xiàng)問題

第四章回歸模型中的

隨機(jī)誤差項(xiàng)問題第一節(jié)概述第二節(jié)異方差第三節(jié)自相關(guān)2/2/20231山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室一、古典假定假定1：隨機(jī)項(xiàng)ui具有零均值：

E(ui|xi)=0i=1,2,…,n假定2：隨機(jī)項(xiàng)ui具有同方差：

Var(ui|xi)=u2

i=1,2,…,n假定3：隨機(jī)項(xiàng)ui無序列相關(guān)性：

Cov(ui,uj)=0i≠j

i,j=1,2,…,n假定5：u服從正態(tài)分布

ui~N(0,u2)i=1,2,…,n第一節(jié)概述2/2/20232山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室有了以上這些假定，根據(jù)高斯－馬爾可夫（Gauss-Markov）定理，我們知道古典回歸模型的最小二乘估計(jì)量（OLSE）是線性最優(yōu)無偏估計(jì)量(BLUE)，而且服從正態(tài)分布。因此，就可以進(jìn)行參數(shù)的區(qū)間估計(jì)，而且也可以檢驗(yàn)真實(shí)總體回歸系數(shù)的顯著性。2/2/20233山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室二、古典假定的違背及造成的后果在實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題中，上述的古典假定不一定都能得到滿足。如果這些假定不完全滿足，則OLSE的BLUE特性將不復(fù)存在。當(dāng)然，每一個(gè)假定不滿足所造成的后果是不同的。在本章中，我們將嚴(yán)格考察上述假定，找出如果有一個(gè)或多個(gè)假定得不到滿足時(shí)，估計(jì)量的性質(zhì)將會(huì)發(fā)生什么變化,并研究當(dāng)出現(xiàn)這些情況時(shí)，應(yīng)該如何處理，即古典模型假定違背的經(jīng)濟(jì)計(jì)量問題。2/2/20234山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室關(guān)于假定1，一般地我們認(rèn)為假定E(ui|xi)=0

是合理的。因?yàn)殡S機(jī)項(xiàng)u是多種因素的綜合，而每種因素的影響都“均勻”地微小，它對因變量的影響不是系統(tǒng)的，且正負(fù)影響相互抵消，故所有可能取值平均起來為零。即使有輕度的違反，從實(shí)踐的觀點(diǎn)來看可能不會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的后果，因?yàn)樗赡苤挥绊懟貧w方程的截距項(xiàng)。關(guān)于隨機(jī)項(xiàng)正態(tài)性分布的假定，如果我們的目的僅僅是估計(jì)，這種假定并不是絕對必要的。事實(shí)上，無論是否是正態(tài)分布，OLSE估計(jì)式都是BLUE。剩下的四個(gè)假定將在下面的四節(jié)中分別加以討論。2/2/20235山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室三、廣義最小二乘法（GLS）給定線性回歸模型Y=Xβ

+u(4.7)若古典假定完全滿足，根據(jù)Gauss-Markov定理，其系數(shù)的最小二乘估計(jì)量

B＝(X′X)–1

X′Y(4.8)具有BLUE性質(zhì)。若古典假定得不到完全滿足，特別是假定2（同方差性）和假定3（無序列相關(guān)性）得不到滿足時(shí)，對OLSE的影響更大。2/2/20236山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室使得其中的重新滿足假定2(同方差性)和假定3(無序列相關(guān)性)。這樣就可以對上式使用OLS估計(jì)參數(shù)，從而使得上式的OLSE仍然為BLUE。其中Ω≠I，Ω是一個(gè)n×n的正定對稱方陣。若因假定2和假定3不滿足時(shí)，有廣義最小二乘法（GeneralLeastSquares－GLS）就是為了解決上述問題提出的。其基本思路是：若假定2同方差性）和假定3（無序列相關(guān)性）得不到滿足時(shí)，我們可以采取適當(dāng)?shù)淖儞Q，使原模型變?yōu)橐韵碌男问剑?/2/20237山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室此時(shí)可以覓得一個(gè)n×n的非奇異矩陣P，使得：PΩP′=I即P′P

=Ω-1

然后用覓得的P乘以(4.7)的兩邊，有：

PY=PXβ+Pu記

(4.7)就轉(zhuǎn)換為：由于：(4.14)2/2/20238山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室所以，(4.14)滿足同方差性和無序列相關(guān)性，即可以采用OLS估計(jì)參數(shù)了。其參數(shù)的OLSE為：GLSE的協(xié)方差矩陣為：上式中的稱為廣義最小二乘估計(jì)量（GLSE），可以證明，它具有線性、無偏性和最小方差性，即它是最優(yōu)線性無偏估計(jì)量（BLUE）(4.16)2/2/20239山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室第二節(jié)異方差一、異方差及其產(chǎn)生的原因則稱隨機(jī)誤差項(xiàng)u具有異方差性(Heteroscedasticity)。如果被解釋變量觀測值的分散程度是隨解釋變量的變化而變化的，如圖4.1所示，可以把異方差看成是由于某個(gè)解釋變量的變化而引起的，則當(dāng)不能滿足同方差的假設(shè)，即u的條件方差在不同次的觀測中不再是一個(gè)常數(shù)，而是取得不同的數(shù)值，即2/2/202310山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室圖4.1異方差示意圖

xyf(y)2/2/202311山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室異方差舉例例：截面資料下研究居民家庭的儲(chǔ)蓄行為

yi=0+1xi+uiyi：第i個(gè)家庭的儲(chǔ)蓄額xi：第i個(gè)家庭的收入高收入家庭：儲(chǔ)蓄的差異較大低收入家庭：儲(chǔ)蓄則更有規(guī)律性，差異較小ui的方差呈現(xiàn)單調(diào)遞增型變化2/2/202312山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室yx圖4.2收入-儲(chǔ)蓄模型中的異方差2/2/202313山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室例:以某一行業(yè)的企業(yè)為樣本建立企業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型

Q=AKαLeu其中，Q為產(chǎn)出量，K為資本，L為勞動(dòng)力，u為隨機(jī)項(xiàng)。u在該問題中表示了包括不同企業(yè)在設(shè)計(jì)上、生產(chǎn)工藝上的區(qū)別，技術(shù)熟練程度和管理上的差別以及其它因素。這些因素在小企業(yè)之間差別不大，而在大企業(yè)之間，這些因素都相差甚遠(yuǎn)，即隨機(jī)項(xiàng)的方差隨著解釋變量的增大而增大。2/2/202314山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室異方差產(chǎn)生的原因1、模型中省略的解釋變量如果將某些未在模型中出現(xiàn)的重要影響因素歸入隨機(jī)誤差項(xiàng)，而且這些影響因素的變化具有差異性，則會(huì)對被解釋變量產(chǎn)生不同的影響，從而導(dǎo)致誤差項(xiàng)的方差隨之變化，即產(chǎn)生異方差性。

2、測量誤差一方面，解釋變量取值越大測量誤差會(huì)趨于增大；另一方面，測量誤差可能隨時(shí)間而變化。3、截面數(shù)據(jù)中總體各單位的差異如前面家庭儲(chǔ)蓄行為中高低收入家庭的差異。

4.模型函數(shù)形式設(shè)定錯(cuò)誤如把變量間本來為非線性的關(guān)系設(shè)定為線性，也可能導(dǎo)致異方差。2/2/202315山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室注意：☆異方差問題多在于截面數(shù)據(jù)中而非時(shí)間序列數(shù)據(jù)中?！畋窘滩闹挥懻摍M截面數(shù)據(jù)的異方差問題。2/2/202316山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室二、異方差產(chǎn)生的后果最小二乘估計(jì)量仍然是線性無偏的，但不再具有最小方差性。參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)和置信區(qū)間的建立發(fā)生困難。雖然最小二乘法參數(shù)的估計(jì)量是無偏的，但這些參數(shù)方差的估計(jì)量、是有偏的。預(yù)測的精確度降低。2/2/202317山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室三、異方差的檢驗(yàn)由于異方差性就是相對于不同的解釋變量觀測值，隨機(jī)誤差項(xiàng)具有不同的方差。那么：

檢驗(yàn)異方差性，也就是檢驗(yàn)隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差與解釋變量觀測值之間的相關(guān)性及其相關(guān)的“形式”。(一)圖示法隨機(jī)項(xiàng)u的異方差與解釋變量的變化有關(guān)。因此，可利用因變量y與解釋變量x的散點(diǎn)圖或殘差e2i與x的散點(diǎn)圖，對隨機(jī)項(xiàng)u的異方差作近似的直觀判斷。2/2/202318山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室yxyxyxyxA同方差B遞增異方差C遞減異方差D復(fù)雜異方差2/2/202319山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室2/2/202320山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室（二）Goldfeld-Quandt檢驗(yàn)該方法該檢驗(yàn)方法是Goldfeld和Quandt于1965年提出的，用于檢驗(yàn)是否存在遞增或遞減異方差，要求觀測值為大樣本?；舅枷胧菍颖痉譃閮刹糠?，然后分別對兩個(gè)樣本進(jìn)行回歸，并計(jì)算比較兩個(gè)回歸的剩余平方和是否有明顯差異，以此判斷是否存在異方差。原假設(shè)為：H0：u同方差，即σ21=…=σ2n備擇假設(shè)為：H1：u是遞增異(或遞減)方差，即σ2i隨xi遞增(或遞減)(i=1,2,…,n)2/2/202321山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室G-Q檢驗(yàn)的步驟：1.將n對樣本觀察值(xi,yi)按觀察值xi的大小排隊(duì)。2.將序列中間的c個(gè)觀察值除去，并將剩下的觀察值劃分為較小與較大的相同的兩個(gè)子樣本，每個(gè)子樣樣本容量均為(n-c)/2。注意：對于n≥30時(shí)，c=n/4最合適。3.對每個(gè)子樣分別進(jìn)行OLS回歸，并計(jì)算各自的殘差平方和。分別用RSS1與RSS2表示較小與較大的殘差平方和，它們的自由度均為(n-c)/2–k–1，k為模型中自變量個(gè)數(shù)。 4.選擇統(tǒng)計(jì)量2/2/202322山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室如果檢驗(yàn)遞增方差：如果檢驗(yàn)遞增方差：5.進(jìn)行檢驗(yàn)可以證明，在原假設(shè)下，如果具有等方差性，兩個(gè)方差估計(jì)量應(yīng)該相差不大，F(xiàn)值就應(yīng)接近于1。如果存在異方差，那么F值就應(yīng)該比1大出許多。在給定的顯著性水平下，利用F分布的臨界值Fα進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。當(dāng)F＞Fα?xí)r，應(yīng)拒絕H0，認(rèn)為存在異方差性，當(dāng)F不大于Fα?xí)r，應(yīng)接受H0，認(rèn)為存在同方差性。2/2/202323山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室例4.1根據(jù)隨機(jī)抽取的21個(gè)農(nóng)村家庭年底儲(chǔ)蓄余額與年內(nèi)家庭純貨幣收入的資料，按收入排序后的數(shù)據(jù)見下表。其中，x為年內(nèi)家庭純貨幣收入（元），y為年底家庭儲(chǔ)蓄余額（元）。家庭編號xy家庭編號xy1590.2107122827.7315892664.94123133084.1722093809.5159143462.7128784875.54189153932.5237225991.25233165150.79535061109.95312177153.35808071357.87401189076.851175881682.85221910448.211583991890.586642011575.4818196102098.258712112500.8420954112499.581033

表4.1家庭儲(chǔ)蓄余額與純貨幣收入數(shù)據(jù)表2/2/202324山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室（三）White檢驗(yàn)White檢驗(yàn)的基本思想：如果存在異方差，其方差與解釋變量有關(guān)，可以分析方差是否與解釋變量有某些形式的聯(lián)系以判斷異方差性。但是方差一般是未知的，可用OLS法估計(jì)的殘差平方作為其估計(jì)量。在大樣本的情況下，做對常數(shù)項(xiàng)，解釋變量，解釋變量的平方及其交叉乘積等所構(gòu)成的輔助回歸，利用輔助回歸相應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，即可判斷是否存在異方差性。

2/2/202325山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室例如，二元線性回歸模型為

(4.21)異方差與解釋變量x1、x2的一般線性關(guān)系為

（4.22）其中vi為隨機(jī)誤差。White檢驗(yàn)的基本步驟如下：1.運(yùn)用OLS估計(jì)（4.21）。

2.計(jì)算殘差序列ei，并求e2i。3.做e2i對x1i,x2i

,x21i,x22i

,x1ix2i

,的輔助回歸，即2/2/202326山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室4.計(jì)算統(tǒng)計(jì)量nR2,n為樣本容量，R2為輔助回歸的樣本決定系數(shù)。5.在原假設(shè)“誤差項(xiàng)同方差”下，nR2服從自由度為5的χ2分布。給定顯著性水平α，查分布表得臨界值χ2α(5)，如果nR2＞χ2α(5)，則拒絕原假設(shè)，表明模型中隨機(jī)誤差存在異方差（EViews軟件中給出nR2對應(yīng)的概率(Probability)。若

Probability＜α，則表明模型中隨機(jī)誤差存在異方差，α一般取0.05）。

White檢驗(yàn)的特點(diǎn)是，不僅能夠檢驗(yàn)異方差的存在性，同時(shí)在多變量的情況下，還能判斷出是由哪一個(gè)變量引起的異方差，通常應(yīng)用于截面數(shù)據(jù)的情形。此方法不需要異方差的先驗(yàn)信息，但要求觀測值為大樣本。2/2/202327山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室（四）Park檢驗(yàn)Park將σ2i看成是解釋變量xi的某個(gè)函數(shù)。他所建議的函數(shù)形式是：或由于σ2i通常是未知的，Park建議用e2i作為替代變量并作如下回歸：如果γ在統(tǒng)計(jì)上是顯著的，就表明存在異方差。如果它不顯著，則可接受同方差假設(shè)。Park檢驗(yàn)不但可以用于檢驗(yàn)異方差，還可以找出異方差的數(shù)學(xué)形式。2/2/202328山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室（五）戈里瑟(Gleiser)檢驗(yàn)Glejeser檢驗(yàn)的基本思路是：在殘差|ei|關(guān)于解釋變量的各種冪次影響關(guān)系中，確定出一個(gè)最顯著的函數(shù)形式，它不僅可以說明異方差的存在，還確定了異方差的表現(xiàn)形式。具體步驟如下：1.利用最小二乘法對模型進(jìn)行回歸，計(jì)算殘差ei。2.對|ei|關(guān)于xi的各種冪次關(guān)系進(jìn)行回歸，再利用最小二乘法進(jìn)行估計(jì)。例如可以取以下形式2/2/202329山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室對各個(gè)回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，如果某種回歸形式的擬合優(yōu)度高，系數(shù)的t檢驗(yàn)顯著，就說明|ei|與xi存在該種影響關(guān)系，從而異方差存在。注意:Glejeser檢驗(yàn)的計(jì)算工作量較大，一般是先通過其它檢驗(yàn)方法確定了存在異方差之后，再用此方法確定異方差的形式。2/2/202330山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室（六）Spearman等級（秩）相關(guān)檢驗(yàn)這是一種非參數(shù)檢驗(yàn)。方法為：1.利用最小二乘法對模型進(jìn)行回歸，計(jì)算殘差ei及其絕對值|ei|；2.給出xj的每個(gè)xji的位次和|ei|的位次；3.計(jì)算每個(gè)樣本點(diǎn)xji的位次和|ei|的位次之差di

4.計(jì)算Spearman等級（秩）相關(guān)系數(shù)：2/2/202331山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室5.對Spearman等級（秩）相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：在原假設(shè)“總體的Spearman等級（秩）相關(guān)系數(shù)為0”下，上述統(tǒng)計(jì)量服從自由度為（n－2）的t分布。上述統(tǒng)計(jì)量服從自由度為（n－2）的t分布。對應(yīng)給定顯著性水平的臨界值tα/2(n-2)，若t≤tα/2(n-2)，則認(rèn)為不存在異方差，若t＞tα/2(n-2)，則認(rèn)為存在異方差。2/2/202332山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室四、解決異方差問題的途徑基本思路：變換原模型，使經(jīng)過變換后的模型具有同方差性，然后再用OLS法進(jìn)行估計(jì)。常用方法是加權(quán)最小二乘法（WeightedLeastSquare，WLS），它是廣義最小二乘法（GLS）的一個(gè)應(yīng)用。2/2/202333山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室在同方差假定下，OLS把每個(gè)殘差平方都同等的看待，都賦予相同的權(quán)數(shù)1。但是,當(dāng)存在異方差時(shí)，方差越小，其樣本值偏離均值的程度越小，其觀測值越應(yīng)受到重視，即方差越小，在確定回歸線時(shí)的作用越大；反之方差越大，其樣本值偏離均值的程度越大，其觀測值所起的作用應(yīng)當(dāng)越小。也就是說，在擬合存在異方差的模型的回歸線時(shí)，對具有不同方差的殘差應(yīng)該區(qū)別對待。從樣本的角度，對較小方差的殘差給予較大的權(quán)數(shù)，對較大方差的殘差給予較小的權(quán)數(shù)，從而使加權(quán)的殘差平方和比其簡單平方和能更好地反映不同樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)對殘差平方和的影響。

（一）加權(quán)最小二乘法2/2/202334山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室通常將權(quán)數(shù)取為：

則加權(quán)的殘差平方和為：

根據(jù)最小二乘原理，使加權(quán)的殘差平方和最小，即：解得：其中：這種求解參數(shù)估計(jì)式的方法為加權(quán)最小二乘法，這樣估計(jì)出的參數(shù)稱為加權(quán)最小二乘估計(jì)量（WLSE）。2/2/202335山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室實(shí)際應(yīng)用中，由于隨機(jī)項(xiàng)的方差未知，WLS是無法使用的，因此，一般采用以下等價(jià)的方法：在一元模型中，由異方差的含義，條件方差可表示為解釋變量的函數(shù)，若這種函數(shù)可以估計(jì)出來，比如：這時(shí)用乘以的兩邊，得：記：則：這說明轉(zhuǎn)換后的模型具有了同方差性，可以使用OLS進(jìn)行估計(jì)了。2/2/202336山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室在多元模型中，若方差與m個(gè)解釋變量有關(guān)，則可設(shè)：用去乘以原模型兩端得：類似一元模型的情況，可以說明轉(zhuǎn)換后的模型具有了同方差性，可以使用OLS進(jìn)行估計(jì)了?？梢姡@種方法的思路實(shí)際上就是當(dāng)確定了異方差的具體的形式時(shí)，將原模型加以適當(dāng)?shù)摹白儞Q”，使得“變換”后的模型消除或減輕異方差的影響。2/2/202337山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室再以一元模型為例進(jìn)行分析:假定1:此時(shí)用xi的倒數(shù)去乘以原模型的兩邊得：此時(shí):這樣轉(zhuǎn)換后的模型具有同方差性。(其中,)對轉(zhuǎn)換后的模型應(yīng)用OLS，即可求得：于是，得到原模型的樣本回歸方程為：2/2/202338山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室假定2此時(shí)用的倒數(shù)去乘以原模型的兩邊,可得對轉(zhuǎn)換后的模型應(yīng)用OLS得：其中：進(jìn)一步還原可得到原模型的樣本回歸方程。2/2/202339山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室（二）模型的對數(shù)變換在經(jīng)濟(jì)意義成立的情況下，如果對線性模型作對數(shù)變換，其變量均用對數(shù)代替，通?？梢越档彤惙讲钚缘挠绊憽Ｔ颍哼\(yùn)用對數(shù)變換能使測定變量值的尺度縮小。如取自然對數(shù)，它可以將兩個(gè)數(shù)值之間原來10倍的差異縮小到只有2倍多的差異。經(jīng)過自然對數(shù)變換后的模型，其殘差表示相對誤差，而相對誤差往往比絕對誤差有較小的差異。2/2/202340山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室注意：對變量取對數(shù)雖然能夠減少異方差對模型的影響，但應(yīng)注意取對數(shù)后變量的經(jīng)濟(jì)意義。如果變量之間在經(jīng)濟(jì)意義上并非呈對數(shù)線性關(guān)系，則不能簡單地對變量取對數(shù)，這時(shí)只能用其他的方法對異方差進(jìn)行修正。如果異方差是由省略的解釋變量而造成的，進(jìn)行模型轉(zhuǎn)換雖然可以消除異方差，但參數(shù)估計(jì)值仍然可能不準(zhǔn)確，此時(shí)最好的解決方法是找出被省略的解釋變量，并加入到模型中去。2/2/202341山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室（三）在OLS下，使用異方差性一致估計(jì)量存在異方差時(shí)，參數(shù)的OLSE仍是無偏和一致估計(jì)量，應(yīng)該說還是具有良好性質(zhì)的估計(jì)量。但異方差性造成系數(shù)的置信區(qū)間和假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果不可信賴，造成方差的OLSE有偏。White設(shè)計(jì)了異方差性一致估計(jì)量指標(biāo)，解決了異方差條件下回歸系數(shù)方差的估計(jì)問題。這種估計(jì)量的性質(zhì)不是“最好”，但它們對于同方差性的違背不敏感，被稱為方差的穩(wěn)健估計(jì)量（RobustEstimators）。下面我們用一元線性回歸模型對White方法作一說明。2/2/202342山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室OLS估計(jì)的斜率系數(shù)的方差公式是：如果滿足同方差假定，則存在一個(gè)常數(shù)方差，將其代入(4.34)，有：

(4.34)但在異方差條件下，不存在這樣的常數(shù)方差，White的方法是在(4.34)式中用取代(這里是第i個(gè)OLS殘差），得到異方差性一致標(biāo)準(zhǔn)誤差：2/2/202343山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室注意：不能用得到的一致估計(jì)量，White得到的是的一致估計(jì)量，它是的加權(quán)平均。

同樣的分析適用于多元回歸OLSE的情況，用White方法得到的第j個(gè)OLS回歸系數(shù)方差的異方差性一致估計(jì)值由下式給出：其中是從xj對方程中所有其它解釋變量OLS回歸得到的殘差，ei為原多元回歸模型的第i個(gè)OLS殘差。2/2/202344山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室通過使用諸方差的White異方差性一致估計(jì)值代替其OLS估計(jì)值，我們解決了異方差性造成系數(shù)的置信區(qū)間和假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果不可信賴的問題。與本節(jié)前面介紹的WLS法相比，這種的解決異方差性的方法的優(yōu)越之處在于，不需要知道異方差性的具體形式。因此，在異方差性的基本結(jié)構(gòu)未知的情況下，建議仍采用OLS法估計(jì)系數(shù)，而采用方差的穩(wěn)健估計(jì)量，White的異方差性一致估計(jì)量就是一種很好的選擇。2/2/202345山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室例4.3

表4.5列出了2003年我國各地區(qū)的FDI和GDP的數(shù)據(jù)，試建立我國各地區(qū)FDI對GDP的回歸模型，并檢驗(yàn)、矯正異方差。省份y(FDI，萬美元)x(GDP，億元)省份y(FDI，萬美元)x(GDP，億元)北京2191263663.1河南539037048.59天津1534732447.66湖北1568865401.71河北964057098.56湖南1018354638.73山西213612456.59廣東78229413625.87內(nèi)蒙88542150.41廣西418562735.13遼寧2824106002.54海南42125670.93吉林190592522.62重慶260832250.56黑龍江321804430四川412315456.32上海5468496250.81貴州45211356.11江蘇105636512460.83云南83842465.29浙江4980559395陜西331902398.58安徽367203972.38甘肅23421304.6福建2599035232.17青海2522390.21江西1612022830.46寧夏1743385.34山東60161712435.93新疆15341877.61表4.5我國各地區(qū)2003年FDI和GDP的數(shù)據(jù)2/2/202346山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室第三節(jié)自相關(guān)一、自相關(guān)及其產(chǎn)生的原因若違背這個(gè)假定，Cov(ui

,uj)≠0，即u在不同的樣本點(diǎn)下的取值相關(guān)連，則稱隨機(jī)誤差項(xiàng)u存在序列相關(guān)（SeriesCorrelation）或自相關(guān)（Autocorrelation）。對于線性回歸模型，隨機(jī)項(xiàng)互不相關(guān)的基本假設(shè)表現(xiàn)為：Cov(ui

,ul)=0

il,i,l=1,2,…,n注意：自相關(guān)問題主要存在于時(shí)間序列數(shù)據(jù)中，所以本節(jié)研究的都是時(shí)間序列數(shù)據(jù)的自相關(guān)問題；為了討論和理解方便，下面的內(nèi)容中用t,t-1,…表示時(shí)間序列數(shù)據(jù)的不同的觀測點(diǎn)，稱之為“期”，并將其作為隨機(jī)項(xiàng)或其它變量的下標(biāo)，如ut表示u在第t期所取的值

。

2/2/202347山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室自相關(guān)產(chǎn)生的原因

1、被解釋變量的自相關(guān)

2、解釋變量的省略3、隨機(jī)項(xiàng)本身存在自相關(guān)4、回歸模型函數(shù)形式設(shè)定錯(cuò)誤5、經(jīng)濟(jì)變量的慣性作用2/2/202348山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室二、自相關(guān)產(chǎn)生的后果1、最小二乘估計(jì)量仍然是線性無偏的但不具有最優(yōu)性，一般情況下，參數(shù)估計(jì)值的真實(shí)方差會(huì)被低估。2、因?yàn)樽钚《斯烙?jì)量的方差估計(jì)是有偏的，所以通常回歸系數(shù)顯著性的t檢驗(yàn)將失去意義。類似地，F(xiàn)檢驗(yàn)和R2檢驗(yàn)不可靠。3、因變量的預(yù)測精度降低。2/2/202349山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室三、自相關(guān)的檢驗(yàn)然后，通過分析這些“近似估計(jì)量”之間的相關(guān)性，以判斷隨機(jī)誤差項(xiàng)是否具有序列相關(guān)性。序列相關(guān)性檢驗(yàn)方法有多種，但基本思路相同：基本思路:首先，采用OLS法估計(jì)模型，以求得隨機(jī)誤差項(xiàng)的“近似估計(jì)量”，用ei表示：2/2/202350山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室（一）圖示法1、繪制et和et-1的散點(diǎn)圖如果大部分散點(diǎn)落在Ⅰ、Ⅲ象限，如圖A所示。那么et和et-1就是正相關(guān)，這表明隨機(jī)項(xiàng)u存在一階正自相關(guān)；如果大部分點(diǎn)落在Ⅱ、Ⅳ象限，如圖B所示，那么et和et-1就是負(fù)相關(guān)，這表明隨機(jī)項(xiàng)u存在負(fù)自相關(guān)。etet-1etet-1A誤差項(xiàng)一階正自相關(guān)B誤差項(xiàng)一階負(fù)自相關(guān)2/2/202351山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室2、繪制殘差et的時(shí)間序列圖如果隨t的變化et并不存在明顯的規(guī)律性，則ut是非自相關(guān)的;如果隨著t的變化et是幾個(gè)正的后面跟著幾個(gè)負(fù)的，呈現(xiàn)較長周期的循環(huán)，則et(ut)之間存在正的自相關(guān)(圖A)；如果隨著t的變化et不斷地改變符號，呈現(xiàn)鋸齒型，則判定et之間存在負(fù)自相關(guān)，表明ut存在負(fù)自相關(guān)（圖B）。tetettA誤差項(xiàng)一階正自相關(guān)B誤差項(xiàng)一階負(fù)自相關(guān)2/2/202352山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室（二）Durbin—Watson檢驗(yàn)如果總體回歸模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)之間存在一階自相關(guān)形式，可寫成誤差項(xiàng)一階自回歸方程，記為AR(1)：ut=ut-1+vt

，其中，ρ為自回歸系數(shù)，vt是滿足以下標(biāo)準(zhǔn)的誤差項(xiàng)：E(v|ut-1)=0,Var(v|ut-1)=σ2,Cov(vt

,vt+s)=0s≠0檢驗(yàn)隨機(jī)誤差項(xiàng)是否具有AR(1)形式的思路:首先，通過構(gòu)造樣本回歸方程，計(jì)算出殘差et；然后，計(jì)算自回歸系數(shù)ρ的OLS估計(jì)值：1.DW統(tǒng)計(jì)量的提出2/2/202353山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室在大樣本情況下，由于,所以有:，(由于)其中，是自相關(guān)系數(shù)的樣本估計(jì)值。在在大樣本情況下，樣本一階自回歸系數(shù)大致等于樣本的一階自相關(guān)系數(shù)，其取值范圍為[-1，1]。最后，檢驗(yàn)的顯著性。如果統(tǒng)計(jì)顯著，可以認(rèn)為總體隨機(jī)誤差項(xiàng)存在一階自相關(guān)，反之亦然。2/2/202354山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室由于不服從任何的常見分布，導(dǎo)致檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量無法構(gòu)造，無法對其進(jìn)行統(tǒng)計(jì)顯著性檢驗(yàn)。為此，德賓(J.Durbin)和瓦特森(G.S.Watson)于1951年提出了一種適用于小樣本的檢驗(yàn)序列自相關(guān)的方法，使用與有密切聯(lián)系而且分布已知的DW統(tǒng)計(jì)量來替代。這種方法被稱為Durbin—Watson檢驗(yàn)(DW檢驗(yàn))。該方法的假定條件是：（1）解釋變量x非隨機(jī)變量；（2）隨機(jī)誤差項(xiàng)ut為一階自回歸形式：ut=ut-1+vt

,其中，-1≤ρ≤1,ρ為自回歸系數(shù),vt滿足古典假設(shè)；（3）原回歸模型截距項(xiàng)不為零，即只適用于有常數(shù)項(xiàng)的回歸模型；（4）數(shù)據(jù)數(shù)列無缺失項(xiàng)。2/2/202355山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室2.DW統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造針對原假設(shè)：H0:=0，即不存在一階自回歸，構(gòu)如下造統(tǒng)計(jì)量：

D.W.統(tǒng)計(jì)量的分布與出現(xiàn)在給定樣本中的x值有復(fù)雜的關(guān)系，下面證明其值介于0到4之間。2/2/202356山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室因?yàn)椋裕?≤DW≤4。證明：

展開D.W.統(tǒng)計(jì)量：

(*)這里，只相差一期值，當(dāng)n較大時(shí)，可以認(rèn)為三者相等。所以上式可以寫為：

2/2/202357山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室DW-1(-1,0)0(0,1)14(2,4)2(0,2)0也就是說，DW值越接近于2，u的自相關(guān)性越小；DW值越接近于零，u正自相關(guān)程度越高；DW值越接近于4，u負(fù)自相關(guān)程度越高。2/2/202358山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室3.DW統(tǒng)計(jì)量的使用⑴當(dāng)DW<dL時(shí),拒絕原假設(shè)H0:ρ=0；接受備擇假設(shè)H1:ρ≠0，u存在一階正自相關(guān)。⑵當(dāng)DW>(4－dL)時(shí),拒絕原假設(shè)H0:ρ=0；接受備擇假設(shè)H1:ρ≠0，u存在一階負(fù)自相關(guān)。⑶當(dāng)dU<DW<(4－dU)時(shí),接受原假設(shè)H0:ρ=0,不存在自相關(guān)。⑷當(dāng)dL<DW<dU

或(4－dU)<DW<(4－dL)時(shí)，則這種檢驗(yàn)沒有結(jié)果，即u是否存在自相關(guān)，不能確定。DW4-dU42dUdL4-dL正自相關(guān)不能確定無自相關(guān)不能確定負(fù)自相關(guān)02/2/202359山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室4．DW檢驗(yàn)的局限性DW檢驗(yàn)僅適用于一階自回歸。DW檢驗(yàn)有著兩個(gè)不能確定的區(qū)域。一但DW值落在這兩個(gè)區(qū)域，就無法確定是否存在自相關(guān)。在這種情況下，只有通過增加樣本觀測值或選取其它的樣本，重新檢驗(yàn)或采用別的檢驗(yàn)方法。如果模型自變量中存在滯后的因變量，如：即使ut存在自相關(guān)，DW值也經(jīng)常接近于2。2/2/202360山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室可以證明在無自相關(guān)的假設(shè)下，h近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以可以用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布對其顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)。針對第三種情況，德賓（J.Durbin）設(shè)計(jì)了一個(gè)新的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：其中，是yt-1系數(shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差。

2/2/202361山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室（三）Breusch-Godfrey檢驗(yàn)對于模型設(shè)隨機(jī)誤差項(xiàng)存在p階自相關(guān)：(vt滿足古典假定)(不存在p階自相關(guān))。BG檢驗(yàn)步驟如下：對于原假設(shè)1.用OLS估計(jì)樣本回歸方程，求出殘差et。2.作輔助回歸，并計(jì)算回歸方程的R2。2/2/202362山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室3.大樣本和H0成立下，布魯奇和高德佛瑞證明了：(n為樣本容量)4.統(tǒng)計(jì)決策。在給定的顯著性水平α下，查表得臨界值，若，就拒絕H0，此時(shí)，至少有一個(gè)在統(tǒng)計(jì)上顯著異于零，表明存在高階自相關(guān)。否則，接受零假設(shè)，認(rèn)為不存在高階自相關(guān)。注意：實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可以從1階，2階…逐次向高階檢驗(yàn)。2/2/202363山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室四、自相關(guān)模型的經(jīng)濟(jì)計(jì)量方法通過檢驗(yàn)，如果確定模型的隨機(jī)項(xiàng)存在自相關(guān)，就應(yīng)對產(chǎn)生自相關(guān)的原因進(jìn)行分析。如果自相關(guān)是由于模型中省略某些解釋變量造成的,那么就應(yīng)根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論找出被省略的解釋變量，將它包含在模型之中。如果自相關(guān)是由于錯(cuò)誤地確定模型的數(shù)學(xué)形式造成的，比如說本來是非線性型而錯(cuò)誤地確定為線性型，那么就應(yīng)該修正模型的數(shù)學(xué)形式。若排除了上述造成自相關(guān)的原因之后，經(jīng)過自相關(guān)檢驗(yàn)，隨機(jī)項(xiàng)仍存在自相關(guān)，可采用以下的方法解決自相關(guān)問題。2/2/202364山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室（一）一階差分法以一元模型為例其中,ut為一階自回歸AR(1):若模型存在完全一階正自相關(guān)，即ρ=1，則上式變?yōu)椋河捎冢簝墒较鄿p得：由于vt為滿足古典假定的誤差項(xiàng)，無自相關(guān)問題。對上式使用OLS估計(jì)參數(shù)，可得到β1最佳線性無偏估計(jì)量。ut=ut-1+vtvt滿足古典假設(shè)ut=ut-1+vt2/2/202365山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室注意：1.完全一階正自相關(guān)并不多見。但是只要是正的且比較大，一階差分法往往是有效的。2.一階差分法得到的回歸方程中沒有常數(shù)項(xiàng)，需要通過進(jìn)行推算，然后才能得到對應(yīng)原模型的樣本回歸方程：2/2/202366山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室（二）廣義差分法以一元模型為例其中,ut為一階自回歸AR(1):ut=ut-1+vtvt滿足古典假設(shè)(4.47)減(4.48)得：假設(shè)已知,將(4.47)式滯后一期，并乘以得：(4.47)(4.48)令：則得到：(4.50)(4.51)對模型(4.51)使用OLS，可得參數(shù)的最佳線性無偏估計(jì)量。2/2/202367山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室因?yàn)?4.51)式中被解釋變量與解釋變量均為現(xiàn)期值減去前期值的一部分，所以稱為廣義差分變換。注意：在進(jìn)行廣義差分變換時(shí)，樣本容量減少一個(gè)。如果樣本容量較大，減少一個(gè)觀測值對估計(jì)結(jié)果影響不大。但是，如果樣本容量較小，則會(huì)對估計(jì)精度產(chǎn)生較大影響。此時(shí)，可采用Prais-Winsten變換，將第一個(gè)觀測值分別變換為：補(bǔ)充到差分序列中，再使用普通最小二乘法估計(jì)參數(shù)。2/2/202368山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室1.非線性回歸方法對(4.49)進(jìn)行整理得：(4.52)這是一個(gè)參數(shù)非線性的模型?？梢酝ㄟ^Gauss-Newton迭代法，通過數(shù)值計(jì)算直接得到參數(shù)的估計(jì)值。借助軟件，這種方法方便易行。如在EViews中，可以通過在回歸方程中添加變量AR(1)來進(jìn)實(shí)現(xiàn)。2/2/202369山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室第一步，在廣義差分變換后的模型基本思路：先估計(jì)出，得到的估計(jì)值，再進(jìn)行廣義差分變換。具體步驟如下：令：

則(4.52)可寫作:(4.52)(4.55)對上式進(jìn)行OLS估計(jì)，求得的估計(jì)值,它是的一個(gè)有偏、一致估計(jì)。2.Durbin二步法注意：求還可以用其它方法。如利用DW≈2(1-)，這樣可以把(1-DW/2)作為的估計(jì)值。

2/2/202370山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室第二步，用對原模型(4.47)進(jìn)行差分變換，即：應(yīng)用OLS，求得a0,1的估計(jì)值，進(jìn)而得到：杜賓二步法存在兩個(gè)問題：一、所得參數(shù)估計(jì)值的精度依賴于的估計(jì)值的精確度；二、差分模型的隨機(jī)項(xiàng)仍有可能存在自相關(guān)。得：2/2/202371山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)教研室(1)采用OLS法估計(jì)原模型,計(jì)算殘差et.(2)利用DW值或下面的公式計(jì)算的估計(jì)值：該方法是對杜賓二步法中精度的一種改進(jìn)，通過迭代過程來降低變換后的模型中隨機(jī)項(xiàng)序列自相關(guān)的程度