第九講時(shí)間序列模型

第十章時(shí)間序列模型時(shí)間序列的平穩(wěn)性單位根檢驗(yàn)協(xié)整分析與誤差修正模型§10.1時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)（一）問(wèn)題的引出（二）時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性（三）時(shí)間序列模型分類（四）平穩(wěn)性的圖示判斷⒈常見(jiàn)的數(shù)據(jù)類型到目前為止，經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型常用到的數(shù)據(jù)有：時(shí)間序列數(shù)據(jù)（time-seriesdata)；截面數(shù)據(jù)(cross-sectionaldata)面板數(shù)據(jù)（paneldata)混合橫截面數(shù)據(jù)(pooledcross-sectiondata)★時(shí)間序列數(shù)據(jù)是最常見(jiàn)，也是最常用到的數(shù)據(jù)。（一）問(wèn)題的引出：經(jīng)典回歸分析暗含著一個(gè)重要假設(shè)：數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，大樣本下的統(tǒng)計(jì)推斷基礎(chǔ)——“一致性”要求——被破懷。滿足統(tǒng)計(jì)推斷中大樣本下的“一致性”特性：▲如果X是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)（如表現(xiàn)出向上的趨勢(shì)），則上式不成立，回歸估計(jì)量不滿足“一致性”，基于大樣本的統(tǒng)計(jì)推斷也就遇到麻煩。數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導(dǎo)致出現(xiàn)“虛假回歸”問(wèn)題表現(xiàn)在:兩個(gè)本來(lái)沒(méi)有任何因果關(guān)系的變量，卻有很高的相關(guān)性（有較高的R2)：時(shí)間序列分析模型方法就是在這樣的情況下，以通過(guò)揭示時(shí)間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā)展起來(lái)的全新的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論。

假定某個(gè)時(shí)間序列是由某一隨機(jī)過(guò)程生成的，即假定時(shí)間序列{Xt}（t=1,2,…）的每一個(gè)數(shù)值都是從一個(gè)概率分布中隨機(jī)得到，如果滿足下列條件：

1）均值E(Xt)=是與時(shí)間t無(wú)關(guān)的常數(shù)；2）方差Var(Xt)=2是與時(shí)間t無(wú)關(guān)的常數(shù)；3）協(xié)方差Cov(Xt,Xt+k)=k是只與時(shí)期間隔k有關(guān)，與時(shí)間t無(wú)關(guān)的常數(shù)；則稱該隨機(jī)時(shí)間序列是平穩(wěn)的，而該隨機(jī)過(guò)程是一平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。

（二）時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性

例1．一個(gè)最簡(jiǎn)單的隨機(jī)時(shí)間序列是一具有零均值同方差的獨(dú)立分布序列：Xt=t，t~N(0,2)例2．另一個(gè)簡(jiǎn)單的隨機(jī)時(shí)間列序被稱為隨機(jī)游走（randomwalk），該序列由如下隨機(jī)過(guò)程生成：

Xt=Xt-1+t這里，t是一個(gè)白噪聲。該序列常被稱為是一個(gè)白噪聲（whitenoise）。由于Xt具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零,由定義,一個(gè)白噪聲序列是平穩(wěn)的?；蛘哒f(shuō)白噪聲是平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程那么，隨機(jī)游走是不是平穩(wěn)的？下面介紹兩種基本的隨機(jī)過(guò)程：

為了檢驗(yàn)該序列是否具有相同的方差，可假設(shè)Xt的初值為X0，則易知X1=X0+1X2=X1+2=X0+1+2……Xt=X0+1+2+…+t由于X0為常數(shù)，t是一個(gè)白噪聲，因此Var(Xt)=t2

即Xt的方差與時(shí)間t有關(guān)而非常數(shù)，它是一非平穩(wěn)序列?；蛘哒f(shuō)隨機(jī)游走過(guò)程是非平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。

容易知道該序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1)圖1：由白噪聲過(guò)程產(chǎn)生的時(shí)間序列

圖2：日元對(duì)美元匯率的收益率序列

圖3：由隨機(jī)游走過(guò)程產(chǎn)生時(shí)間序列

圖4：日元對(duì)美元匯率（300天，1995年）

對(duì)隨機(jī)游走，對(duì)X取一階差分:Xt=Xt-Xt-1=t由于t是一個(gè)白噪聲，則序列{

Xt}是平穩(wěn)的。一般情況下，如果一個(gè)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，它常常可通過(guò)取差分的方法而形成平穩(wěn)序列。（三）時(shí)間序列模型的分類

(1)自回歸模型

如果一個(gè)線性過(guò)程可表達(dá)為Xt

=

1xt-1+

2

xt-2+…+

pxt-p

+ut,

其中i,i=1,…p是自回歸參數(shù)，ut是白噪聲過(guò)程，則稱xt為p階自回歸過(guò)程，用AR(p)表示。Xt是由它的p個(gè)滯后變量的加權(quán)和以及ut相加而成。若用滯后算子表示(1-

1L-

2

L2-…-

p

Lp

)xt

=

L)xt

=ut

其中

L)=1-

1L-

2

L2

-…-

pLp稱為特征多項(xiàng)式或自回歸算子。AR(p)過(guò)程中最常用的是AR(1)、AR(2)過(guò)程，

xt=

1

xt-1

+ut

與自回歸模型常聯(lián)系在一起的是平穩(wěn)性問(wèn)題。對(duì)于自回歸過(guò)程AR(p)，如果其特征方程

z)=1-

1

z-

2

z2-…-

p

zp

=(1–G1z)(1–G2

z)...(1–Gpz)=0的所有根的絕對(duì)值都大于1，則AR(p)是一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。

保持其平穩(wěn)性的條件是特征方程(1-

1L)=0

根的絕對(duì)值必須大于1，滿足|1/1|1也就是

|1|<1下面分析AR(2)過(guò)程xt=

1

xt-1+

2

xt-2+ut具有平穩(wěn)性的條件。對(duì)于AR(2)過(guò)程，特征方程式是1-

1

L-

2L2=0上式的兩個(gè)根是：

L1,L2=

設(shè)1=1/L1,2=1/L21,2==則xt

=

1

xt-1

+

2

xt-2

+ut，改寫為(1-1L)(1-2

L)xt

=ut。AR(2)模型具有平穩(wěn)性的條件是L1>1,L2>1（在單位圓外）

或

1<1,

2<1

移動(dòng)平均模型如果一個(gè)線性隨機(jī)過(guò)程可用下式表達(dá)Xt=ut+

1ut–1

+

2ut-2

+…+

q

ut–q

=(1+

1L+

2L2+…+

q

Lq)ut

=L)ut

其中

1,

2,…,

q是回歸參數(shù)，ut為白噪聲過(guò)程，則上式稱為q階移動(dòng)平均過(guò)程，記為MA(q)。之所以稱“移動(dòng)平均”，是因?yàn)閤t是由q+1個(gè)ut和ut滯后項(xiàng)的加權(quán)和構(gòu)造而成?！耙苿?dòng)”指t的變化，“平均”指加權(quán)和。注：由定義知任何一個(gè)q階移動(dòng)平均過(guò)程都是由q+1個(gè)白噪聲變量的加權(quán)和組成，所以任何一個(gè)移動(dòng)平均過(guò)程都是平穩(wěn)的。與移動(dòng)平均過(guò)程相聯(lián)系的一個(gè)重要概念是可逆性。移動(dòng)平均過(guò)程具有可逆性的條件是特征方程：z)=(1+

1

z+

2z2+…+

qzq)=0的全部根的絕對(duì)值必須大于1。（3）自回歸移動(dòng)平均模型由自回歸和移動(dòng)平均兩部分共同構(gòu)成的隨機(jī)過(guò)程稱為自回歸移動(dòng)平均過(guò)程，記為ARMA(p,q),其中p,q分別表示自回歸和移動(dòng)平均部分的最大階數(shù)。

xt

=

1xt-1+

2xt-2+…+

p

xt-p+ut+

1ut-1

+

2ut-2+...+

qut-q

ARMA(p,q)的一般表達(dá)式是：即或

(1-

1L-

2

L2-…-

p

Lp)xt=(1+

1

L+

2

L2+…+

qLq

)ut

(L)xt=

(L)ut

其中

(L)和

(L)分別表示L的p,q階特征多項(xiàng)式。

ARMA(p,q)過(guò)程的平穩(wěn)性只依賴于其自回歸部分，即

(L)=0的全部根取值在單位圓之外（絕對(duì)值大于1）其可逆性則只依賴于移動(dòng)平均部分，即

(L)=0的根取值應(yīng)在單位圓之外。以上介紹了隨機(jī)過(guò)程的幾種模型。實(shí)際中單憑對(duì)時(shí)間序列的觀察很難確定其屬于哪一種模型，而自相關(guān)函數(shù)是分析隨機(jī)過(guò)程和識(shí)別模型的有力工具。自相關(guān)函數(shù)1.自相關(guān)函數(shù)定義在給出自相關(guān)函數(shù)定義之前先介紹自協(xié)方差函數(shù)概念。隨機(jī)過(guò)程{xt}中的每一個(gè)元素xt，t=1,2,…都是隨機(jī)變量。對(duì)于平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程，其期望為常數(shù)，用

表示，即E(xt)=,t=1,2,…

隨機(jī)過(guò)程的取值將以

為中心上下變動(dòng)。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的方差也是一個(gè)常量：Var(xt)=E[(xt-E(xt))2]=E（(xt-)2

）=x2

,

相隔k期的兩個(gè)隨機(jī)變量xt與xt-k

的協(xié)方差即滯后k期的自協(xié)方差定義為：

k=Cov(xt,xt-k)=E[(xt-

)(xt-k

-

)]

自協(xié)方差序列k

,k=0,1,…,K,稱為隨機(jī)過(guò)程{xt}的自協(xié)方差函數(shù)。

當(dāng)k=0時(shí)

0

=Var(xt)=x2

自相關(guān)系數(shù)定義：

k=

因?yàn)閷?duì)于一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程有

Var(xt)=Var(xt–k）

=x2

k===

所以當(dāng)k=0時(shí)，有

0

=1以滯后期k為變量的自相關(guān)系數(shù)列

k,k=0,1,…,K

稱為自相關(guān)函數(shù)。

因?yàn)閗=-k

即Cov(xt-k,xt)=Cov(xt

,xt+k)，

自相關(guān)函數(shù)是零對(duì)稱的，所以實(shí)際研究中只給出自相關(guān)函數(shù)的正半部分即可。

例如：平穩(wěn)一階自回歸AR(1)過(guò)程所以當(dāng)1為正時(shí)，自相關(guān)函數(shù)按指數(shù)衰減至零。

當(dāng)1為負(fù)時(shí)，自相關(guān)函數(shù)正負(fù)交錯(cuò)地指數(shù)衰減至零。

xt=

xt-1+ut,

1

k

=1k,（k0）

的自相關(guān)函數(shù)∵一階移動(dòng)平均MA(1)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)。Xt

=ut

+1ut-1

k=

=

0k＝1K>110

1<0

可見(jiàn)MA(1)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)具有截尾特征。

相關(guān)圖K滯后期010.97-0.93……250.11相關(guān)圖是對(duì)自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)。由于MA過(guò)程和ARMA過(guò)程中的MA分量的自相關(guān)函數(shù)具有截尾特性，所以通過(guò)相關(guān)圖可以估計(jì)MA過(guò)程的階數(shù)q。相關(guān)圖是識(shí)別MA過(guò)程階數(shù)和ARMA過(guò)程中MA分量階數(shù)的一個(gè)重要方法。實(shí)際應(yīng)用中相關(guān)圖一般取k=15就足夠了。給出一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列，首先可通過(guò)該序列的時(shí)間路徑圖來(lái)粗略地判斷它是否是平穩(wěn)的。一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列在圖形上往往表現(xiàn)出一種圍繞其均值不斷波動(dòng)的過(guò)程；而非平穩(wěn)序列則往往表現(xiàn)出在不同的時(shí)間段具有不同的均值（如持續(xù)上升或持續(xù)下降）。

（四）平穩(wěn)性檢驗(yàn)的圖示判斷圖a表示平穩(wěn)時(shí)間序列；圖b表示非平穩(wěn)時(shí)間序列進(jìn)一步的判斷:檢驗(yàn)樣本自相關(guān)函數(shù)及其圖形隨機(jī)時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)（autocorrelationfunction,ACF）k=k/0

自相關(guān)函數(shù)是關(guān)于滯后期k的遞減函數(shù)。

易知，隨著k的增加，樣本自相關(guān)函數(shù)下降且趨于零。但從下降速度來(lái)看，平穩(wěn)序列要比非平穩(wěn)序列快得多。

隨機(jī)游走序列Xt=Xt-1+t經(jīng)差分后等價(jià)地變形為

Xt=t由于t是一個(gè)白噪聲，因此差分后的序列{Xt}是平穩(wěn)的。如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過(guò)一次差分變成平穩(wěn)的，就稱原序列是一階單整（integratedof1）序列，記為I(1)。⒈單整§10.2單位根檢驗(yàn)

一般地，如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過(guò)d次差分后變成平穩(wěn)序列，則稱原序列是d階單整（integratedofd）序列，記為I(d)。顯然，I(0)代表一平穩(wěn)時(shí)間序列?，F(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中:1)只有少數(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的時(shí)間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的，如利率等;2)大多數(shù)指標(biāo)的時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，如一些價(jià)格指數(shù)常常是2階單整的，以不變價(jià)格表示的消費(fèi)額、收入等常表現(xiàn)為1階單整。大多數(shù)非平穩(wěn)的時(shí)間序列一般可通過(guò)一次或多次差分的形式變?yōu)槠椒€(wěn)的。但也有一些時(shí)間序列，無(wú)論經(jīng)過(guò)多少次差分，都不能變?yōu)槠椒€(wěn)的。這種序列被稱為非單整的（non-integrated）。

⒉確定性趨勢(shì)和隨機(jī)性趨勢(shì)一些非平穩(wěn)的經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列往往表現(xiàn)出共同的變化趨勢(shì)，而這些序列間本身不一定有直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系，這時(shí)對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸，盡管有較高的R2，但其結(jié)果是沒(méi)有任何實(shí)際意義的。這種現(xiàn)象我們稱之為虛假回歸或偽回歸（spuriousregression）。如：用中國(guó)的勞動(dòng)力時(shí)間序列數(shù)據(jù)與美國(guó)GDP時(shí)間序列作回歸，會(huì)得到較高的R2，但不能認(rèn)為兩者有直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系，而只不過(guò)它們有共同的趨勢(shì)罷了，這種回歸結(jié)果我們認(rèn)為是虛假的。

為了避免這種虛假回歸的產(chǎn)生，通常的做法是引入作為趨勢(shì)變量的時(shí)間，這樣包含有時(shí)間趨勢(shì)變量的回歸，可以消除這種趨勢(shì)性的影響。

然而這種做法，只有當(dāng)趨勢(shì)性變量是確定性的（deterministic）而非隨機(jī)性的（stochastic），才會(huì)是有效的。

換言之，如果一個(gè)包含有某種確定性趨勢(shì)的非平穩(wěn)時(shí)間序列，可以通過(guò)引入表示這一確定性趨勢(shì)的趨勢(shì)變量，而將確定性趨勢(shì)分離出來(lái)。那么，什么是確定性趨勢(shì)？什么是隨機(jī)性趨勢(shì)呢？2)如果=0，0，則（*）式成為一帶時(shí)間趨勢(shì)的隨機(jī)變化過(guò)程：Xt=+t+t（***）根據(jù)的正負(fù)，Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢(shì)。這種趨勢(shì)稱為確定性趨勢(shì)（deterministictrend）。

考慮如下的含有一階自回歸的隨機(jī)過(guò)程：Xt=+t+Xt-1+t（*）其中:t是一白噪聲，t為一時(shí)間趨勢(shì)。1)如果=1，=0，則（*）式成為一帶位移的隨機(jī)游走過(guò)程：Xt=+Xt-1+t（**）根據(jù)的正負(fù)，Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢(shì)，這種趨勢(shì)稱為隨機(jī)性趨勢(shì)（stochastictrend）

3)如果=1，0，則Xt包含有確定性與隨機(jī)性兩種趨勢(shì)。

判斷一個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列，它的趨勢(shì)是隨機(jī)性的還是確定性的，可通過(guò)ADF檢驗(yàn)。(1)如果檢驗(yàn)結(jié)果表明所給時(shí)間序列有單位根，且時(shí)間變量前的參數(shù)顯著為零，則該序列顯示出隨機(jī)性趨勢(shì);(2)如果沒(méi)有單位根，且時(shí)間變量前的參數(shù)顯著地異于零，則該序列顯示出確定性趨勢(shì)。3.單位根檢驗(yàn)（UnitRootTest）1、DF檢驗(yàn)我們已知道，隨機(jī)游走序列Xt=Xt-1+t是非平穩(wěn)的，其中t是白噪聲。而該序列可看成是隨機(jī)模型Xt=Xt-1+t中參數(shù)=1時(shí)的情形。所建的模型里怎么看出有時(shí)間趨勢(shì)？需要檢驗(yàn)。單位根檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中普遍應(yīng)用的一種檢驗(yàn)方法。也就是說(shuō)，我們對(duì)式

Xt=Xt-1+t（*）

做回歸，如果確實(shí)發(fā)現(xiàn)=1，就說(shuō)隨機(jī)變量Xt有一個(gè)單位根,是非平穩(wěn)的。

（*）式可變形式成差分形式：

Xt=(-1)Xt-1+t=Xt-1+t(**)檢驗(yàn)（*）式是否存在單位根=1，也可通過(guò)（**）式判斷是否有=0。

一般地:

檢驗(yàn)一個(gè)時(shí)間序列Xt的平穩(wěn)性，可通過(guò)檢驗(yàn)帶有截距項(xiàng)的一階自回歸模型Xt=+Xt-1+t（*）中的參數(shù)是否小于1。

或者：檢驗(yàn)其等價(jià)變形式

Xt=+Xt-1+t（**）中的參數(shù)是否小于0。因此，針對(duì)式Xt=+Xt-1+t我們關(guān)心的檢驗(yàn)為：零假設(shè)H0：=0。

備擇假設(shè)H1：<0上述檢驗(yàn)可通過(guò)OLS法下的t檢驗(yàn)完成。

然而，在零假設(shè)（序列非平穩(wěn)）下，即使在大樣本下t統(tǒng)計(jì)量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的t檢驗(yàn)無(wú)法使用。Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統(tǒng)計(jì)量服從的分布（這時(shí)的t統(tǒng)計(jì)量稱為統(tǒng)計(jì)量），即DF分布（見(jiàn)表9.1.3）。由于t統(tǒng)計(jì)量的向下偏倚性，它呈現(xiàn)圍繞小于零值的偏態(tài)分布。因此，可通過(guò)OLS法估計(jì)

Xt=+Xt-1+t并計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較：

如果：t<臨界值(或t的絕對(duì)值大于臨界值的絕對(duì)值)，則拒絕零假設(shè)H0：=0，認(rèn)為時(shí)間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。在上述使用Xt=+Xt-1+t對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)中，實(shí)際上假定了時(shí)間序列是由具有白噪聲隨機(jī)誤差項(xiàng)的一階自回歸過(guò)程AR(1)生成的。但在實(shí)際檢驗(yàn)中，時(shí)間序列可能由更高階的自回歸過(guò)程生成的，或者隨機(jī)誤差項(xiàng)并非是白噪聲，這樣用OLS法進(jìn)行估計(jì)均會(huì)表現(xiàn)出隨機(jī)誤差項(xiàng)出現(xiàn)自相關(guān)（autocorrelation），導(dǎo)致DF檢驗(yàn)無(wú)效。另外，如果時(shí)間序列包含有明顯的隨時(shí)間變化的某種趨勢(shì)（如上升或下降），則也容易導(dǎo)致上述檢驗(yàn)中的自相關(guān)隨機(jī)誤差項(xiàng)問(wèn)題。為了保證DF檢驗(yàn)中隨機(jī)誤差項(xiàng)的白噪聲特性，Dicky和Fuller對(duì)DF檢驗(yàn)進(jìn)行了擴(kuò)充，形成了ADF（AugmentDickey-Fuller）檢驗(yàn)。

2、ADF檢驗(yàn)ADF檢驗(yàn)是通過(guò)下面三個(gè)模型完成的：

模型3中的t是時(shí)間變量，代表了時(shí)間序列隨時(shí)間變化的某種趨勢(shì)（如果有的話）。

檢驗(yàn)的假設(shè)都是：針對(duì)檢驗(yàn)H0：=0，即存在一單位根。模型1與另兩模型的差別在于是否包含有常數(shù)項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)。

實(shí)際檢驗(yàn)時(shí)從模型3開(kāi)始，然后模型2、模型1。

何時(shí)檢驗(yàn)拒絕零假設(shè)，即原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列，何時(shí)檢驗(yàn)停止。否則，就要繼續(xù)檢驗(yàn)，直到檢驗(yàn)完模型1為止。

檢驗(yàn)原理與DF檢驗(yàn)相同，只是對(duì)模型1、2、3進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，有各自相應(yīng)的臨界值。

表9.1.4給出了三個(gè)模型所使用的ADF分布臨界值表。同時(shí)估計(jì)出上述三個(gè)模型的適當(dāng)形式，然后通過(guò)ADF臨界值表檢驗(yàn)零假設(shè)H0：=0。這里所謂模型適當(dāng)?shù)男问骄褪窃诿總€(gè)模型中選取適當(dāng)?shù)臏蟛罘猪?xiàng)，以使模型的殘差項(xiàng)是一個(gè)白噪聲（主要保證不存在自相關(guān)）。1）只要其中有一個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)果拒絕了零假設(shè)，就可以認(rèn)為時(shí)間序列是平穩(wěn)的；2）當(dāng)三個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時(shí)，則認(rèn)為時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。一個(gè)簡(jiǎn)單的檢驗(yàn)過(guò)程：（一）問(wèn)題的提出經(jīng)典回歸模型是建立在穩(wěn)定數(shù)據(jù)變量基礎(chǔ)上的，對(duì)于非穩(wěn)定變量，不能使用經(jīng)典回歸模型，否則會(huì)出現(xiàn)虛假回歸等諸多問(wèn)題。由于許多經(jīng)濟(jì)變量是非穩(wěn)定的，這就給經(jīng)典的回歸分析方法帶來(lái)了很大限制。但是，如果變量之間有著長(zhǎng)期的穩(wěn)定關(guān)系，即它們之間是協(xié)整的（Cointegration)，則是可以使用經(jīng)典回歸模型方法建立回歸模型的。例如，中國(guó)居民人均消費(fèi)水平與人均GDP變量的例子中：因果關(guān)系回歸模型要比ARMA模型有更好的預(yù)測(cè)功能，其原因在于，從經(jīng)濟(jì)理論上說(shuō)，人均GDP決定著居民人均消費(fèi)水平，而且它們之間有著長(zhǎng)期的穩(wěn)定關(guān)系，即它們之間是協(xié)整的?！?0.3協(xié)整和誤差修正模型一、協(xié)整

如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d階單整，存在向量=(1,2,…,k)，使得

Zt=XT~I(d-b)

其中，b>0，X=(X1t,X2t,…,Xkt)T，則認(rèn)為序列{X1t,X2t,…,Xkt}是(d,b)階協(xié)整，記為Xt~CI(d,b)，為協(xié)整向量（CointegratedVector）。（二）協(xié)整由此可見(jiàn):如果兩個(gè)變量都是單整變量，只有當(dāng)它們的單整階數(shù)相同時(shí)，才可能協(xié)整；如果它們的單整階數(shù)不相同，就不可能協(xié)整。兩變量協(xié)整概念：若存在xt，yt都是一階單整I(1)，如果存在使～則稱xt，yt為協(xié)整。（d,d）階協(xié)整是一類非常重要的協(xié)整關(guān)系，它的經(jīng)濟(jì)意義在于：兩個(gè)變量，雖然它們具有各自的長(zhǎng)期波動(dòng)規(guī)律，但是如果它們是（d,d）階協(xié)整的，則它們之間存在著一個(gè)長(zhǎng)期穩(wěn)定的比例關(guān)系。

例如：消費(fèi)C和國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDP，它們各自都是2階單整，并且它們是(2,2)階協(xié)整，說(shuō)明它們之間存在著一個(gè)長(zhǎng)期穩(wěn)定的比例關(guān)系，從計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的意義上講，建立如下居民人均消費(fèi)函數(shù)模型

從協(xié)整的定義可以看出:變量選擇是合理的，隨機(jī)誤差項(xiàng)一定是“白噪聲”（即均值為0，方差不變的穩(wěn)定隨機(jī)序列），模型參數(shù)有合理的經(jīng)濟(jì)解釋。從這里，我們已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)到：檢驗(yàn)變量之間的協(xié)整關(guān)系，在建立計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中是非常重要的。

1、兩變量的Engle-Granger檢驗(yàn)第一步，用OLS方法估計(jì)方程Yt=0+1Xt+t并計(jì)算非均衡誤差，得到：

稱為協(xié)整回歸(cointegrating)或靜態(tài)回歸(staticregression)。

（三）協(xié)整檢驗(yàn)為了檢驗(yàn)兩變量Yt,Xt是否為協(xié)整，Engle和Granger于1987年提出兩步檢驗(yàn)法，也稱為EG檢驗(yàn)。

的單整性的檢驗(yàn)方法仍然是DF檢驗(yàn)或者ADF檢驗(yàn)。

由于協(xié)整回歸中已含有截距項(xiàng)，則檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭袩o(wú)需再用截距項(xiàng)。如使用模型1進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，拒絕零假設(shè)H0：=0，意味著誤差項(xiàng)et是平穩(wěn)序列，從而說(shuō)明X與Y間是協(xié)整的。

需要注意是，這里的DF或ADF檢驗(yàn)是針對(duì)協(xié)整回歸計(jì)算出的誤差項(xiàng)而非真正的非均衡誤差t進(jìn)行的。而OLS法采用了殘差最小平方和原理，因此估計(jì)量是向下偏倚的，這樣將導(dǎo)致拒絕零假設(shè)的機(jī)會(huì)比實(shí)際情形大。于是對(duì)et平穩(wěn)性檢驗(yàn)的DF與ADF臨界值應(yīng)該比正常的DF與ADF臨界值還要小。

MacKinnon(1991)通過(guò)模擬試驗(yàn)給出了協(xié)整檢驗(yàn)的臨界值，表9.3.1是雙變量情形下不同樣本容量的臨界值。

對(duì)于非穩(wěn)定時(shí)間序列，可通過(guò)差分的方法將其化為穩(wěn)定序列，然后才可建立經(jīng)典的回歸分析模型。

如：建立人均消費(fèi)水平（Y）與人均可支配收入（X）之間的回歸模型：二、誤差修正模型式中，vt=t-

t-1差分X,Y成為平穩(wěn)序列建立差分回歸模型

如果Y與X具有共同的向上或向下的變化趨勢(shì)(1)如果X與Y間存在著長(zhǎng)期穩(wěn)定的均衡關(guān)系Yt=0+1Xt+t且誤差項(xiàng)t不存在序列相關(guān)，則差分式

Yt=1Xt+t中的t是一個(gè)一階移動(dòng)平均時(shí)間序列，因而是序列相關(guān)的；

然而，這種做法會(huì)引起兩個(gè)問(wèn)題：(2)如果采用差分形式進(jìn)行估計(jì)，則關(guān)于變量水平值的重要信息將被忽略，這時(shí)模型只表達(dá)了X與Y間的短期關(guān)系，而沒(méi)有揭示它們間的長(zhǎng)期關(guān)系。因?yàn)?，從長(zhǎng)期均衡的觀點(diǎn)看，Y在第t期的變化不僅取決于X本身的變化，還取決于X與Y在t-1期末的狀態(tài)，尤其是X與Y在t-1期的不平衡程度。

另外，使用差分變量也往往會(huì)得出不能令人滿意回歸方程。

例如，使用Yt=1Xt+t回歸時(shí)，很少出現(xiàn)截距項(xiàng)顯著為零的情況，即我們常常會(huì)得到如下形式的方程：

在X保持不變時(shí)，如果模型存在靜態(tài)均衡（staticequilibrium），Y也會(huì)保持它的長(zhǎng)期均衡值不變。

但如果使用（*）式，即使X保持不變，Y也會(huì)處于長(zhǎng)期上升或下降的過(guò)程中，這意味著X與Y間不存在靜態(tài)均衡。這與大多數(shù)具有靜態(tài)均衡的經(jīng)濟(jì)理論假說(shuō)不相符。

可見(jiàn)，簡(jiǎn)單差分不一定能解決非平穩(wěn)時(shí)間序列所遇到的全部問(wèn)題，因此，誤差修正模型便應(yīng)運(yùn)而生。(*)

誤差修正模型（ErrorCorrectionModel，簡(jiǎn)記為ECM）是一種具有特定形式的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，它的主要形式是由Davidson、Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，稱為DHSY模型。

為了便于理解，我們通過(guò)一個(gè)具體的模型來(lái)介紹它的結(jié)構(gòu)。假設(shè)兩變量X與Y的長(zhǎng)期均衡關(guān)系為:Yt=0+1Xt+t由于現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)中X與Y很少處在均衡點(diǎn)上，因此實(shí)際觀測(cè)到的只是X與Y間的短期的或非均衡的關(guān)系，假設(shè)具有如下(1,1)階分布滯后形式

該模型顯示出第t期的Y值，不僅與X的變化有關(guān)，而且與t-1期X與Y的狀態(tài)值有關(guān)。

由于變量可能是非平穩(wěn)的，因此不能直接運(yùn)用OLS法。對(duì)上述分布滯后模型適當(dāng)變形得

或

（**）式中如果將（**）中的參數(shù)，與Yt=0+1Xt+t中的相應(yīng)參數(shù)視為相等，則（**）式中括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)就是t-1期的非均衡誤差項(xiàng)。

（**）式表明：Y的變化決定于X的變化以及前一時(shí)期的非均衡程度。同時(shí)，（**）式也彌補(bǔ)了簡(jiǎn)單差分模型Yt=1Xt+t的不足，因?yàn)樵撌胶杏肵、Y水平值表示的前期非均衡程度。因此，Y的值已對(duì)前期的非均衡程度作出了修正。稱為一階誤差修正模型(first-ordererrorcorrectionmodel)。

（**）式可以寫成：

（**）知，一般情況下||<1，由關(guān)系式=1-得0<<1?？梢該?jù)此分析ecm的修正作用：（***）其中:ecm表示誤差修正項(xiàng)。(1)若(t-1)時(shí)刻Y大于其長(zhǎng)期均衡解0+1X，ecm為正，則(-ecm)為負(fù)，使得Yt減少；(2)若(t-1)時(shí)刻Y小于其長(zhǎng)期均衡解0+1X，ecm為負(fù)，則(-ecm)為正，使得Yt增大。由分布滯后模型

其主要原因在于變量對(duì)數(shù)的差分近似地等于該變量的變化率，而經(jīng)濟(jì)變量的變化率常常是穩(wěn)定序列，因此適合于包含在經(jīng)典回歸方程中。需要注意的是：在實(shí)際分析中，變量常以對(duì)數(shù)的形式出現(xiàn)。于是:(1)長(zhǎng)期均衡模型Yt=0+1Xt+t中的1可視為Y關(guān)于X的長(zhǎng)期彈性（long-runelasticity）

(2)短期非均衡模型

Yt=0+1Xt+2Xt-1+Yt-1+t中的1可視為Y關(guān)于X的短期彈性（short-runelasticity）。

（1）Granger表述定理誤差修正模型有許多明顯的優(yōu)點(diǎn)：如a）一階差分項(xiàng)的使用消除了變量可能存在的趨勢(shì)因素，從而避免了虛假回歸問(wèn)題；b）一階差分項(xiàng)的使用也消除模型可能存在的多重共線性問(wèn)題；c）誤差修正項(xiàng)的引入保證了變量水平值的信息沒(méi)有被忽視；d）由于誤差修正項(xiàng)本身的平穩(wěn)性，使得該模型可以用經(jīng)典的回歸方法進(jìn)行估計(jì)，尤其是模型中差分項(xiàng)可以使用通常的t檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)來(lái)進(jìn)行選??；等等。因此，一個(gè)重要的問(wèn)題就是：是否變量間的關(guān)系都可以通過(guò)誤差修正模型來(lái)表述？1.誤差修正模型的建立

如果變量X與Y是協(xié)整的，則它們間的短期非均衡關(guān)系總能由一個(gè)誤差修正模型表述：0<<1

（*）式中，t-1是非均衡誤差項(xiàng)或者說(shuō)成是長(zhǎng)期均衡偏差項(xiàng)，是短期調(diào)整參數(shù)。就此問(wèn)題，Engle與Granger1987年提出了著名的Grange表述定理（Grangerrepresentaiontheorem）：對(duì)于(1,1)階自回歸分布滯后模型

Yt=0+1Xt+2Xt-1+Yt-1+t

如果Yt~I(1),Xt~I(1);那么的左邊Yt~I(0)

，右邊的Xt~I(0)，因此，只有Y與X協(xié)整，才能保證右邊也是I(0)。首先對(duì)變量進(jìn)行協(xié)整分析，以發(fā)現(xiàn)變量之間的協(xié)整關(guān)系，即長(zhǎng)期均衡關(guān)系，并以這種關(guān)系構(gòu)成誤差修正項(xiàng)。然后建立短期模型，將誤差修正項(xiàng)看作一個(gè)解釋變量，連同其它反映短期波動(dòng)的解釋變量一起，建立短期模型，即誤差修正模型。注意，由于Y=lagged(Y,X)+t-1+t0<<1中沒(méi)有明確指出Y與X的滯后項(xiàng)數(shù)，因此，可以是多個(gè)；同時(shí)，由于一階差分項(xiàng)是I(0)變量，因此模型中也允許使用X的非滯后差分項(xiàng)Xt。

Granger表述定理可類似地推廣到多個(gè)變量的情形中去。

因此，建立誤差修正模型，需要

由協(xié)整與誤差修正模型的的關(guān)系，可以得到誤差修正模型建立的E-G兩步法：第一步，進(jìn)行協(xié)整回歸（OLS法），檢驗(yàn)變量間的協(xié)整關(guān)系，估計(jì)協(xié)整向量（長(zhǎng)期均衡關(guān)系參數(shù)）；第二步，若協(xié)整性存在，則以第一步求到的殘差作為非均衡誤差項(xiàng)加入到誤差修正模型中，并用OLS法估計(jì)相應(yīng)參數(shù)。

需要注意的是：在進(jìn)行變量間的協(xié)整檢驗(yàn)時(shí)，如有必要可在協(xié)整回歸式中加入趨勢(shì)項(xiàng)，這時(shí)，對(duì)殘差項(xiàng)的穩(wěn)定性檢驗(yàn)就無(wú)須再設(shè)趨勢(shì)項(xiàng)。另外，第二步中變量差分滯后項(xiàng)的多少，可以殘差項(xiàng)序列是否存在自相關(guān)性來(lái)判斷，如果存在自相關(guān)，則應(yīng)加入變量差分的