第二章 流體力學

第二章流體的運動

CHPTER2MOTIONOFFLUIDS物態(tài)(matterstate)在很小的力的作用下，各部分之間有相對運動。固態(tài)solidstate液態(tài)(liquidstate)氣態(tài)gaseousstate物體內部各部分之間有相對運動的特性稱為流動性(flowability)研究流體性質和規(guī)律的學科稱為流體力學（hydromechanics）流體力學（hydromechanics）流體靜力學（hydrostatics）流體動力學（hydrodynamics）液體和氣體都具有流動性，統(tǒng)稱為流體。具有流動性的物體稱為流體（fluid）第一節(jié)理想流體的流動

2.1

Flowof

Idealfluid一、理想流體（IdealFluid）實際流體(realfluid)流動性(flowability)粘滯性(viscosity)壓縮性(compressibility)突出忽略理想流體（IdealFluid）無內摩擦、不可壓縮的流體稱為理想流體二、定常流動（Steadyflow）

1.定常流動（Steadyflow）流體粒子（fluidparticle）以流體粒子在空間的運動速度隨時間變化的規(guī)律為研究對象在給定的空間點（x，y，z），所有通過該點的流體粒子的速度v可隨時間變化v=f（t）在給定時刻t，通過空間各點的流體粒子的速度可能相同，也可能不同

v=f（x，y，z)流體粒子的速度就代表了粒子所在處的流體的速度，它是空間坐標（x，y，z）和時間t的函數(shù)，即v=f(x，y，z，t)流體所占空間稱為流體速度場（speedfieldoffluid），簡稱流速場或流場（fluidfield）密度ρ

，壓強P，等都是時間和空間的函數(shù)ρ=f(x,y,z,t)P=f(x,y,z,t)2.定常流動（steadyflow）流體場中各點的速度不隨時間而變的流動叫做定常流動，又叫做穩(wěn)定流動v=f(x,y,z)3.流線和流管（streamlineandstreamtube）任一時刻，在流場中畫出一組曲線，曲線上的切線方向與流經(jīng)該點的流體粒子的速度方向相同，這樣的一組曲線稱為該時刻的流線。（1）流線（streamline）★穩(wěn)定流動時流線的特點：（1）任何兩條流線不相交；（2）流線形狀不隨時間而變，流線就是流體粒子的運動軌跡；（3）流線上各點的流速可以不同，但各點的流速不隨時間而變。（2）流管(flowtube)由流線圍成的管狀體稱為流管?！锒ǔＡ鲃訒r流管的特點：①流管內外的流體不能交換；②流管的形狀不隨時間而變。第二節(jié)連續(xù)性方程（equationofcontinuity）1、連續(xù)性方程（equationofcontinuity）在時間

t

內,通過S2面的流體體積流出S1S2段通過S1面的流體體積進入S1S2段S2S1(

t0)S1v1t質量m1=1S1v1

tS2v2

t質量m2=2S2v2

t2.質量流量（massflowrate）m1=m2上式叫做流體作穩(wěn)定流動時的連續(xù)性方程單位時間內通過截面的流體質量稱為質量流量，用M表示連續(xù)性方程又稱為質量流量守恒定律。M=ρSv單位:kg·s-11S1v1=

2

S2v2

Sv=M（constant）3.體積流量（volumetricflowrate）不可壓縮的流體，1=

2

Sv=Q（constant）S1v1=S2v2

上式為不可壓縮的流體的連續(xù)性方程。適用于不可壓縮的流體的穩(wěn)定流動。Q表示單位時間內通過流管內任一截面的流體積，稱為體積流量，簡稱流量。當流體的實際流體時，由于在同一截面處中心和邊緣部分的流速不同，截面速度用平均速度。單位：m3·s-1在同一流管的任一截面處，截面積和速度的乘積不變，上式是連續(xù)性方程的一種特殊形式，又稱為體積流量守恒。S1v1=S2v2Sv=Q（constant）上式表明，截面積與流速成反比。對于不可壓縮的流體，不僅質量守恒，體積流量也守恒。流管粗處，流速小，流線稀疏，S0，v0S1，v1S2，v2Sn，vnQ=S0v0=S1v1+S2v2+…+Snvn當流管有n條分支時，連續(xù)性方程為流管細處，流速大，流線密集。應用連續(xù)性方程解釋血流速度的變化規(guī)律主動脈毛細血管大動脈小動脈靜脈腔靜脈速度速度30cm·s-15cm·s-11mm·s-1

18cm2

3cm2

900cm2面積主動脈毛細血管腔靜脈第三節(jié)伯努利方程及其應用

2.3

Bernoulli'sequationanditsapplication一、伯努利方程（Bernoulli'sequationanditsapplications）伯努利方程（Bernoulli'sequation）

任意選取流體段S1S2作為研究對象x:y:P1,v1,S1,h1

P2,v2,S2,h2該流體段受力有：重力(gravity)：外力(externalforce)：x端處的壓力為F1y端處的阻力為F2F1=P1S1與v的方向一致F2=P2S2與v的方向相反作功為0經(jīng)過時間t內（t

0）x端移動距離為v1△tA1=F1v1

ty端移動距離為v2

tA2=F2v2t為正為負xy段流體移動到xy位置F1作的功W1為F2作功為A2為=P1S1v1t

=P2S2v2t

外力作的總功為：A=A1+A2

機械能的增量

ES1v1

t=S2v2

t=VA=E

=P1S1v1

t+P2S2

v2

t=P1V-P2VE=E2-E1體積V中的質量為mE=E2-E1將W和E代入W=△E得到

動能重力勢能壓強能令或單位體積的動能叫做動壓強（dynamicalpressure），簡稱動壓單位體積的壓強能稱為靜壓強（staticpressure），簡稱靜壓或壓強。單位體積的重力勢能稱為位壓強（potentialpressure），簡稱位壓=m/V表示流體的密度得伯努利方程2.方程適用條件（appliedconditionsofBernoulli'sequation）：伯努利方程表明:①理想流體的穩(wěn)定流動；②同一細流管的各個截面或同一流線上的各點。

理想流體在給定的流管中作穩(wěn)定流動時，單位體積的動能、單位體積的重力勢能和單位體積的壓強能三者可以互相轉換，但其總和保持恒定不變。例:設流量為0.12m3s-1的水（理想流體）流過如圖所示的管子。B點比A點高2m，A點的截面積為100cm2，壓強為2×105Nm-2。B點的截面積為60cm2。求兩點的流速和點B的壓強。解：選取通過A點的平面作為參考平面hA=0，hB=2m根據(jù)連續(xù)性方程由伯努利方程可得3.水平管中的伯努利方程（Bernoulli'sequationappliedtohorizontaltube）水平管結論：流管粗處流速小、壓強大；流管細處流速大、壓強小。h1=h2伯努利方程變成計示壓強(gaugepressure)P=P-P0=ghh為管中液柱高度絕對壓強P與氣體的壓強P0的差值叫做計示壓強，即二、伯努利方程的應用（ApplicationofBernoulli′sequation）1.空吸作用(suction)在管子很狹窄處，當流速很大時，可能出現(xiàn)壓強小于大氣壓，此時狹窄處具有吸入外界液體或氣體的作用的現(xiàn)象叫做空吸作用。如噴霧器、水流抽氣機等2.流量計（flow-meter）S1v1=S2v2流管中1點的流速v1為流管中的流量Q為①測量液體的流速和流量（measurementofspeedandflow-rateofliquid）hP1-P2=g(h1-h2)=ghh為兩液柱的高度差h=h1-h2液體的流量Q為②測量氣體的流速和流量（measurementofgaseousspeedandflow-rate）=ghP1=P0+

gh1P2=P0

-

gh2P1-P2=g(h1+h2)為U型管中的液體的密度流速流量3.流速計（currentmeter）A1A2①測液體流速（speedofliquidsmeasured）流體在A2處受阻,形成流速為零的“滯止區(qū)”。流管的速度vA1處的流速v1v1=vA2處的流速v2v2=0動壓強在A2處全部轉化成了靜壓強。h是兩管中液柱的高度差

A1A2A1A2v是管中液體的速度。將L1和L2管的組合體叫做皮托管（Pitottube）②測氣體流速（speedofgasesmeasured）為氣體密度為U形管中液體密度4.虹吸管（siphon）用于排出不能傾斜的容器中的液體的管道叫做虹吸管。hA（1）流體流速（velocityoffluid）選取A點D點為考察點PA=PD=P0SAvA=SBvBSA>>SBvA<<vB（2）壓強與高度的關系(relationbetweenpressureandheight)

在虹吸管中，選取B、C兩點作為研究對象高處的壓強較小，而低處的壓強則較大。

vB=vC

hC

hB

選擇A、B兩點作為研究對象vA

<<vBPA=P0hAhB

PB=0時，有最大值只有液體才能通過B點從虹吸管中流出。對水而言，

hB–hA=10m例1：水（理想流體）在截面不同的水平管中作定常流動，出口處的截面積為管的最細處的3倍，若出口處的流速為2ms-1，問最細處的壓強為多少？若在此最細處開一小孔，水會不會流出來。解：3S1=S2由S1v1=S2v2得S1v1=3S1v2v1=6m·s-1=3S1×2出口處的壓強=8.53×10-4Pa若在此最細處開一小孔，水不會流出來。

P2=P0

例2.：如圖所示，兩個很大的開口容器B和F，盛有相同的液體，由容器B底部接一水平管子，水平管的較細部分C處連接到一豎直的E管，并使E管下端插入容器F的液體內。假設液體是理想流體做穩(wěn)定流動。如果管C處的橫截面積是D的一半，并設管的D處比容器B內的液面低h。求E管中液體上升的高度H。解：根據(jù)題意SD=2SC，vC=2vD利用伯努利方程可得vD為對C管和D管的出口處的伯努利方程為PD=P0對C點PC=P0

-

gH

=P0

-3ghH=3h第四節(jié)粘性流體、層流、湍流

2.4viscousFluid\laminarflow\Turbulentflow一、牛頓粘性定律（Newtonviscositylaw）1.層流（laminarflow）實際流體流動時的分層流動狀態(tài)稱為層流，又稱為片流（穩(wěn)定流動）2.粘性力（viscousforce）流體作層流時，相鄰兩層之間存在著切向的相互作用力，叫做粘性力或內摩擦力3.速度梯度（velocitygradient）

FF表示流體沿x方向，在x的距離內的平均流速變化率表示x處的流層的流速沿x方向的變化率，稱為x方向的速度梯度。

x0時v+vv，速度梯度的大小反映了在x方向，相鄰流層的流速變化快慢的程度。粘性流體在層流時，越靠近軸心處的速度梯度越小，越靠近管壁處的速度梯度越大。4.牛頓粘性定律(Newtonianviscouslaw)FS牛頓粘滯定律FFS為相鄰兩層接觸面積為x處的速度梯度5.粘滯系數(shù)（viscouscoefficient）在牛頓粘性定律中的比例系數(shù)稱為粘滯系數(shù)，它表示流體的粘性程度，因而又稱為粘度（viscosity）表示流體流動時，單位面積上單位速度梯度具有的粘滯力的SI單位：粘滯系數(shù)與物質的種類有關，與溫度有關液體的隨溫度的升高面降低，氣體的隨溫度的升高而升高。pa·s專用單位P（泊）1Pa·s=10P液體溫度(oC)粘滯系數(shù)(×10-3Pas)液體溫度(oC)粘滯系數(shù)(×10-5Pas)水01.792空氣01.71201.005201.82400.6561002.17酒精01.77氫氣200.88201.192511.3蓖麻油17.51225.0氦氣201.96血漿30122.7甲烷201.10血清371.0~1.4二氧化碳201.47370.9~1.23202.7表2-1一些液體的粘滯系數(shù)二、湍流、雷諾數(shù)（turbulentflow/Reynoldnumber）

1.湍流(Turbulentflow)流體雜亂無章的紊亂流動稱為湍流（非穩(wěn)定流動）

A2.雷諾數(shù)（Reynoldnumber）

Re<1000,層流Re>1500,湍流1000<Re<1500,流動狀態(tài)不穩(wěn)定3.層流和湍流的不同（thedifferencebetweenthelaminarflowandtheturbulentflow)（1）層流速度小，流線形狀不隨時間而變，（2）湍流消耗的能量比層流大。湍流速度大，各層之間混雜，內摩擦力急劇增大，克服這些內摩擦力作功時要消耗較大的能量。（3）湍流有聲，湍流速度大，流線形狀要隨時間而變。層流無聲。三、粘性流體的伯努利方程（Bernoullisequationofviscousfluids）w為單位體積的流體從流管截面x流到截面y時因克服內摩擦力作功所損失的能量

=+w=在等粗的水平流管中h1=h2v1=v2粘性流體的伯努利方程變?yōu)镻1=P2+w

w

=P1-P2P1、P2是長為L兩端的壓強沿著流體流動的方向，壓強降低P1>P2減小的壓強為克服流體流動時的內摩擦力而作的功。粘性流體流動時，在水平管的兩端或任意兩個截面之間必須存在著壓強差。否則就不能流動。四、泊肅葉定律

（Poiseuille’slaw）1.泊肅葉定律（Poiseuille’slaw）

泊肅葉研究血液流動時，發(fā)現(xiàn)液體在等粗的圓管中做穩(wěn)定流動時，液體的流量Q維德曼從理論上推導得到上式的比例系數(shù)為/8，上式變?yōu)?/p>

圖所示的是粘性液體在粗細均勻的水平圓管中作層流時的是流體的粘滯系數(shù)在粗細均勻的水平圓管內作層流的粘性流體，流體流經(jīng)長為L、半徑為R的水平圓管時，流速隨半徑變化的關系P1、P2是長為L兩端的壓強。

將泊肅葉公式變換成表示單位長度的壓強差或壓強降落，叫做壓力梯度對于一定的管道和一定的流體，是一個常數(shù)。如果能量集中在某些局部位置，這時的能量損失叫做局部能量損失。表示單位長度壓強差相等，也表示單位體積的流體在單位長度上損失的能量相同。這種能量損失叫做沿程能量損失。如彎管處，截面積突變處等的能量損失。例：

如圖所示裝置中，在等截面水平管上安裝等距離的豎直細管，其液面高度可表示該截面處的壓強，當水平管中的流速為v時，求水槽液面高度h為。解：對1點和2點的粘性流體的伯努利方程=h1=H，v1=0，h2=0，v2=v，P1=P2=P012hH12hH單位長度損失的能量為流體在整個4a長的管損失的能量為當h=5cm，v=1m·s-1，時（g=10m·s-2）五、斯托克斯定律

1.斯托克斯定律(Stoke’sLaw)為流體的粘滯系數(shù)f=6vR2.收尾速度（terminalvelocity）半徑為r的球形物體在粘滯系數(shù)為的流體中以速度v運動時，除了受到的阻力f外，還要受到重力和浮力的作用。當合力為零的速度叫做收尾速度或沉降速度。R為球體的半徑v為球體的運動速度fvR三個力阻力fF浮力G重力f+F-G=0v稱為收尾速度或沉降速度（sedimentationvelocity），f=6vRF=4R3

/3G=4R3/3為物體的密度為流體的密度1.下列各種情況的流體的運動狀態(tài)是：（b）答案（a）A；（b）D；（a）A.理想流體穩(wěn)定流動；B.實際流體穩(wěn)定流動；C.實際流體的湍流；D.流體靜止討論實際流體穩(wěn)定流動時，斜虛線能否出現(xiàn)（b）的情形，為什么？（b）（a）2.水在粗細均勻的虹吸管中流動時，圖中1，2，3，4點的壓強關系是：答案：CA.P1=P4>P2>P3；B.P1>P2=P3>P4；C.P1=P4>

P2=

P3；D.P1>P2>P3>P4。????12342.如圖所示，粘滯流體在等粗水平圓管中作穩(wěn)定流動，流動的方向向右。ABCD是上下兩面與流速方向平行的小液片，設小液片上下兩面所受的粘滯力分別為FAB與FCD,則BA.FAB向左，F(xiàn)CD向右，F(xiàn)CD=FAB；B.FAB向左，F(xiàn)CD向右，F(xiàn)CD<FAB；C.FAB向右，F(xiàn)CD向左，F(xiàn)CD=FAB；D.FAB向右，F(xiàn)CD向左，F(xiàn)CD>

FAB。ABCD答案：B3.一圓形開口容器，高70cm，截面積為600cm2，儲滿清水。如容器底部有一個1cm2的小孔，求該容器的水流完需要的時間t。12H已知：容器高H=70cm=0.70m容器橫截面積S1=600cm2=6.00×10-4m2

小孔的面積S2=1cm2=1.0×