第三節(jié)正弦交流電

第三節(jié)正弦交流電一、交流電的基本概念及參數(shù)交流電是指電路中的電動勢、電壓及電流的大小和方向都隨時(shí)間變化。若大小和方向隨時(shí)間按一定規(guī)律作周期性變化，這樣的交流電叫周期性交流電。周期性交流電中應(yīng)用最廣泛的是按正弦規(guī)律變化的交流電。2/2/20231、正弦交流電的數(shù)值（1）瞬時(shí)值

正弦交流電在變化過程中，任意確定時(shí)刻t的數(shù)值，稱為正弦交流電的瞬時(shí)值，如圖所示，t1時(shí)刻的e1值即為瞬時(shí)值。瞬時(shí)值用小寫符號e、u、i表示。2/2/2023π2πe0t1e1EmT正弦交流電的瞬時(shí)值數(shù)學(xué)表達(dá)式：（1-32）2/2/2023（2）最大值

正弦交流電的最大值又稱振幅值，也可稱為峰值。是指在交流電變化過程中，正弦交流電出現(xiàn)的最大的瞬時(shí)值，用符號Em、Im、Um表示。2/2/2023π2πe0t1e1EmT正弦交流電的波形圖2/2/2023（3）有效值在工程應(yīng)用時(shí)，正弦交流電的大小用有效值表示。正弦交流電的有效值是根據(jù)正弦交流電流與直流電流的熱效應(yīng)相等來定義的。就是說，一個(gè)交流電流和一個(gè)直流電流，分別通過同一電阻，如果經(jīng)過相同時(shí)間產(chǎn)生同樣的熱量，則這個(gè)直流電流的大小等效為這個(gè)交流電的有效值。有效值用大寫符號E、U、I表示。2/2/2023正弦交流電的有效值與最大值的數(shù)量關(guān)系（1-33）（1-34）（1-35）2/2/2023電氣設(shè)備的名牌上所注明的額定電壓、額定電流，以及各種交流電器儀表（如交流電流表、交流電壓表等）的測量值都是有效值。220V的交流電壓就是有效值，其最大值為311V。2/2/20232、頻率和角頻率（1）周期

指正弦交流電每循環(huán)一次所經(jīng)歷的時(shí)間。就是說正弦交流電從0值到最大值，再到0值，接著變化到負(fù)的最大值，然后回到0值。此過程所經(jīng)歷的時(shí)間稱為周期，用符號T表示。單位為秒（s）。2/2/2023（2）頻率是指正弦交流電在單位時(shí)間（s）內(nèi)完成循環(huán)的次數(shù)，用符號f表示，單位為赫茲（Hz）。我國工業(yè)用電的標(biāo)準(zhǔn)頻率是50Hz，英國、美國、日本等國家為60Hz，故一般把50Hz或60Hz稱為工頻。周期與頻率的關(guān)系：（1-36）2/2/2023（3）角頻率表示正弦交流電的交流電壓和電流變化快慢的物理量。角頻率是指單位時(shí)間內(nèi)正弦量循環(huán)變化的弧度數(shù)（這里是指電弧度），用符號ω表示，單位是弧度/秒（rad/s）。角頻率與頻率及周期的關(guān)系式：2/2/2023（1-37）由上式可知，工頻（50Hz）的角頻率ω=314（rad/s）；T=1/50=0.02（s）。2/2/20233、正弦交流量的相位、初相位與相位差正弦交流電是隨時(shí)間變化的量，它的初始值、變化進(jìn)程以及多個(gè)頻率正弦量之間的相互關(guān)系，用初相位、相位與相位差來表示。（1）相位與瞬時(shí)值正弦交流電的表達(dá)式為：（1-38）2/2/2023式中，在不同的時(shí)刻t，具有不同的值，對應(yīng)不同的正弦交流電的瞬時(shí)值。稱為正弦交流電的相位角，簡稱相位。它的大小表示交流電變化的進(jìn)程。（1-38）2/2/2023（2）初相位與初值

t=0時(shí)的相位角為正弦量的初相位角，稱為初相位，用符號表示，單位是弧度或度。在式中，角就是正弦交流電勢t=0時(shí)的初相角,下圖中電流i1的初相位,

i2的初相角2/2/2023+600-7500ii1i2零點(diǎn)在縱軸的左側(cè)時(shí)是正值在右側(cè)時(shí)是負(fù)。2/2/2023初相位的大小決定了正弦量初值的大小，是反映正弦量的初值的重要參數(shù)。正弦交流量的最大值（振幅）、角頻率和初相角稱為正弦量的三要素。所以，只要掌握正弦交流電的最大值（振幅）、角頻率和初相位，就可以確切地表達(dá)出正弦交流電的特征。2/2/2023（3）相位差、相位超前與滯后在交流電路中，用相位差來表示同頻率正弦量的相位關(guān)系，以區(qū)別兩者之間在時(shí)間上的先后順序。若兩個(gè)同頻率的正弦量（1-39）（1-40）則它們之間的相位之差稱為相位差，用符號φ表示。即2/2/2023（1-41）上式說明，兩個(gè)同頻率正弦交流量的相位差等于其初相位之差，相位差與初相位有關(guān)，與計(jì)時(shí)點(diǎn)和角頻率無關(guān)。若φ＞0，表示相對計(jì)時(shí)起點(diǎn)t=0而言，u先到達(dá)零值（或最大值），i后到達(dá)零值（或最大值）；兩者的相互順序是u超前i一個(gè)φ角，或者i滯后u一個(gè)φ角。2/2/2023+600-7500ii1i2在下圖中i1超前i2，。2/2/20230ii1i2i1與i2同相若兩個(gè)同頻率的正弦交流量初相位相等，即,叫做同相；初相角相互有1800（π弧度）的相位差，即叫做互為反相。2/2/20230ii1i2i1與i2反相2/2/20234、正弦量的相量表示法通過上述討論可知，正弦量可以用瞬時(shí)值表達(dá)式和波形圖表示但是用這兩種方法對正弦電路分析和計(jì)算就十分復(fù)雜，一般采用相量分析法。在線性交流電路中，若電源的頻率一定，則電路中的電壓、電流均是以同一頻率變化的正弦量，故分析和計(jì)算交流電路時(shí)，只需要確定幅值和初相位這兩個(gè)要素就可以了。2/2/2023根據(jù)數(shù)學(xué)可知，復(fù)數(shù)是由復(fù)數(shù)的大小（又稱復(fù)數(shù)的模）和復(fù)數(shù)的幅角兩個(gè)量來決定的。如果讓復(fù)數(shù)的大小表示正弦量的幅值（或有效值），復(fù)數(shù)的幅角表示正弦量的初相角，那么利用這個(gè)復(fù)數(shù)的形式就可以表示正弦量的兩個(gè)要素了。2/2/2023已知正弦電壓，則它所對應(yīng)的復(fù)數(shù)式就寫成。反之如果已知正弦量的復(fù)數(shù)式，很容易寫出它所對應(yīng)的正弦量的三角函數(shù)式。即φuU=U.φuU=U.2/2/2023為了與一般的復(fù)數(shù)區(qū)別，把表示正弦量的復(fù)數(shù)稱為相量，并用正弦量的有效值（或最大值）符號上加點(diǎn)“·”，如U、I、E。相量只是用來表示正弦量而不等于正弦量?！ぁぁ?/2/2023仿照復(fù)數(shù)在復(fù)數(shù)坐標(biāo)平面上的圖形表示方法，可以根據(jù)正弦量有效值大小和初相位角，畫出相量圖形，如右圖所示。U·0Um·+1+j

相量圖2/2/2023正弦量相量圖對應(yīng)2/2/2023

在分析計(jì)算正弦交流電路時(shí)，可以將幾個(gè)同頻率正弦量的相量畫在同一坐標(biāo)上，所得圖形，稱為這個(gè)電路的相量圖，如右圖所示（此圖省略了坐標(biāo)線）。

相量圖

由于相量表示法的基礎(chǔ)是復(fù)數(shù)，所以進(jìn)行相量運(yùn)算時(shí)，應(yīng)依據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算規(guī)則。2/2/2023二、單相交流電路用導(dǎo)線把負(fù)載（電動機(jī)、電熱器等）與交流電源連接起來，所組成的電路叫做交流電路。交流電路的負(fù)載一般用電阻R、電感L、電容C這三個(gè)參數(shù)表示。其中：2/2/2023

表示電路中消耗電能的參數(shù)。電路中的熱損耗，通常歸結(jié)于電阻。由于交流電存在著集膚效應(yīng)等影響，在交流電路中的電阻一般比在直流電路中要大，并且頻率越高越顯著。電阻R：2/2/2023表示電路中具有存儲磁場能量特征負(fù)載的參數(shù)。電感在交流電流的作用下，會因電磁現(xiàn)象而產(chǎn)生感應(yīng)電動勢。因此，對通過電感的電流起到推遲其變化的阻礙作用。電感L：2/2/2023表示電路中具有存儲電場能量特征負(fù)載的參數(shù)。由于交流電壓的變化，電容要隨著外加電壓的變化而反復(fù)充電、放電。因此，對通過電容兩端電壓起到推遲其變化的阻礙作用。電容C：任何兩個(gè)金屬導(dǎo)體，中間隔以絕緣材料，就形成電容器，簡稱電容。2/2/2023在任何一個(gè)交流電路中，R、L、C這三個(gè)參數(shù)都同時(shí)存在，但是在實(shí)際電路中，往往可以根據(jù)它們效應(yīng)的強(qiáng)弱，略去其中某一個(gè)參數(shù)或兩個(gè)參數(shù)。同時(shí)，為了計(jì)算方便，假定導(dǎo)線上的R、L、C都可忽略不計(jì)，把電路中的參數(shù)都看成集中參數(shù)來分析。2/2/2023

純電阻電路是略去電感L、電容C的作用而只有電阻負(fù)載的交流電路。如電爐的供電線路就可以看作是純電阻電路。1、純電阻電路純電阻電路圖+uRi2/2/2023（1）電壓和電流純電阻電路中，電壓和電流是同相位的，而且均按正弦規(guī)律變化。它們的波形圖和相量圖如下圖：ui0u

i波形圖2/2/2023I

U..相量圖電流與電壓的關(guān)系為（1-42）2/2/2023

由上式可知，在電阻電路內(nèi)，電流的有效值等于電壓的有效值除以電阻。（2）有功功率

功率等于電壓與電流的乘積。在交流電路中由于電壓和電流都是交變量，功率為時(shí)間t的函數(shù)，稱為瞬時(shí)功率，用“p”表示。瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)平均值稱為平均功率或有功功率，用“P”表示。2/2/2023純電阻電路的有功功率等于該電路的電壓有效值與電流有效值的乘積，單位是W或Kw.

P=UI（1-43）

2/2/2023例題[1-11]

有一電壓u=20sinωt（V）、負(fù)載電阻R=4Ω的純電阻電路。求電路電流的瞬時(shí)值、有效值及其有功功率。解：瞬時(shí)電流電壓有效值電流有效值有功功率2/2/2023例題[1-12]試求：（1）220V/200W燈泡的燈絲電阻是多少？（2）220V/100W燈泡的燈絲電阻又是多少？解：因?yàn)樗裕?）220V/200W燈絲電阻2/2/2023（2）220V/100W燈絲電阻

計(jì)算結(jié)果說明，在同樣的電壓下，負(fù)載電阻值的大小與其功率成反比。2/2/20232、純電感電路電機(jī)、變壓器等電器設(shè)備，就是由許多繞組所組成的，具有一定電感。如果繞組的電阻很小，可以忽略不計(jì)時(shí)，則由此類電器組成的電路，就可看成是一純電感電路。純電感電路實(shí)際上是不存在的。我們研究這種電路，主要是了解電感在電路中的作用，為以后研究復(fù)雜電路打下理論基礎(chǔ)。2/2/2023+u純電感電路圖iL波形圖uiπ2πu

i02/2/2023

1、頻率相同。2、相位相差900,即u領(lǐng)先i900。電壓與電流的關(guān)系：相量圖0.U.I2/2/2023（1）電壓有效值和電流有效值電感電路的電壓有效值與電流有效值的比值為式中ωL表示電感對交流電電抗作用。簡稱感抗，以“XL”表示，單位為Ω。即（1-45）（1-44）2/2/2023一個(gè)電感線圈的感抗，只在一定頻率下才是常量，頻率越高則感抗越大，這是因?yàn)殡娏鞯念l率越高，即變動越快，則感應(yīng)電勢就越大的緣故。對于恒定的直流來說，頻率為零，感抗亦為零，故恒定直流電路中不考慮電感這個(gè)參數(shù)。電感有短路直流的作用。2/2/2023（2）功率在純電感電路中，只有電感與電源間的能量交換，而沒有能量消耗，這種電感與電源間的能量交換規(guī)律，用無功功率Q表示。無功功率的單位稱乏（Var），其值等于電壓與電流有效值的乘積。（1-46）2/2/2023無功功率在生產(chǎn)中占有重要的地位。因?yàn)楹芏嚯姎庠O(shè)備，如電磁振動器、工頻爐等，都是根據(jù)電磁原理工作的。它們都是感性負(fù)載，并靠磁場傳送和轉(zhuǎn)換能量。沒有磁場這些設(shè)備就不能工作?？梢姟盁o功”不能理解為“無用”，無功功率是具有電感線圈的電氣設(shè)備（感性負(fù)載）正常工作的必要條件。2/2/20233、純電容電路將電容器接在交流電源上，就組成一電容性電路。如果電路中的電阻很小可以忽略不計(jì)時(shí)，這個(gè)電路叫做純電容電路，如圖所示。i+uC純電容電路圖將電容器接在交流電路中，由于交流電壓的周期變化，使電容器出現(xiàn)周期性的充放電。因此，在連接導(dǎo)線上有交變電流出現(xiàn)。2/2/2023波形圖iuπ2πu

i02/2/2023在純電容正弦交流電路中，電壓、電流的關(guān)系：1、頻率相同。2、相位相差900，即i超前u900。電壓達(dá)到0點(diǎn)時(shí)，電流達(dá)到最大值。相量圖0.U.I2/2/2023（1）電壓和電流有效值的關(guān)系純電容電路電壓與電流有效值的比是：（1-47）式中，，表示電容對交流電的電抗作用，簡稱容抗，以“XC”表示，單位為Ω。即2/2/2023一個(gè)電容器的容抗，只在一定頻率下才是常量，頻率越高則容抗越小，這是因?yàn)槌洹⒎烹娺M(jìn)行得越快，在同樣電壓下單位時(shí)間內(nèi)移動的電荷也越多，以致電流越大的緣故。頻率等于零，容抗無窮大，故電容有隔離直流的作用，在直流電路中相當(dāng)于開路。2/2/2023（2）功率純電容與純電感一樣，僅與電源進(jìn)行能量交換，而沒有能量消耗。電容充電，是它吸收電能并將其轉(zhuǎn)換成電場能儲存起來；電容放電，是將其儲存的電能返還給電源。因此，電容元件本身并不消耗能量，僅與電源交換能量。2/2/2023用無功功率Q表示能量交換的規(guī)模。其表達(dá)式為電壓和電流有效值的乘積：（1-48）下面的表為純電阻、純電感和純電容交流電路的主要特性比較。2/2/2023電路參數(shù)RLC電路圖（正方向）iuiuiu電流（設(shè)電壓為）三角函數(shù)式相位差φ=900φ=0（電壓與電流同相）（電流滯后電壓900）φ=-900（電流超前電壓900）波形圖0電阻RRf感抗XL=ωL=2πfL0XLf0Xcf容抗XC=1/ωC=1/2πfC純電阻、純電感、純電容交流電路主要特性電壓與電流的有效值關(guān)系U=RIU=ωLI=XLI=XCI有功功率P無功功率Q阻抗及其頻率特性0電阻RuRiωtuRi

ωt0感抗XL=ωL=2πfL0uRiωt容抗XL=1/ωC=1/2πfC2/2/20234、電阻、電感和電容串聯(lián)的電路交流輸電線可以看作是一個(gè)電阻和電感串聯(lián)的交流電路。當(dāng)電流通過輸電線時(shí)，在電阻和電感上都有電壓損失。如果輸電線比較長，輸送功率又比較大，輸電線電阻和電感以及輸送的電流都比較大，可能使輸電線上的電壓損失超過允許的限度，使得負(fù)荷端的電壓過低。為了解決這個(gè)問題，可以在電路中串聯(lián)電容器，叫做串聯(lián)補(bǔ)償。這種電路就是電阻、電感、電容串聯(lián)的電路。2/2/2023

電阻、電感和電容串聯(lián)電路如圖所示。當(dāng)通過電路的電流i=Imsinωt時(shí)，根據(jù)以上對純電阻電路、純電感電路及純電容電路的分析，可知電阻兩端產(chǎn)生的電壓降與電流同相，有效值為：UR=IR

在電感兩端產(chǎn)生的電壓降，超前于電流900，有效值為：UL=I·XL在電容兩端產(chǎn)生的電壓降，滯后于電流900，有效值為：UC=I·XC2/2/2023CLRi+uURULUCR、L、C串聯(lián)電路

根據(jù)相量關(guān)系，電阻壓降與電流同相；電感壓降超前于電流900；電容壓降滯后于電流900；畫出R、L、C串聯(lián)電路的相量圖，所以，總電壓的相量等于各部分電壓降的相量和。2/2/2023XL=XCUL.UC.I.0U=UR..2/2/2023XL＞XCUL.UC.I.0UC.U.UR.UX.=UL.UC.2/2/2023U.XL＜XCUL.UC.I.0UL.UX.=UC.UL.UR.2/2/2023因?yàn)閁L與UC相位相差1800，所以總電壓的有效值為：式中2/2/2023“Z”的絕對值叫做電路的總電抗，單位為Ω。它由電阻“R”和電抗“X”兩部分組成。三者之間的關(guān)系可以通過阻抗三角形來記憶。如圖所示。其中電抗部分的大小由XL與XC之差來決定。即

2/2/2023電路中電流和總電壓的相位差角為阻抗三角形由上式可知，R、L、C串聯(lián)電路總電壓U與電流i之間的相位差與電路參數(shù)有關(guān)，在R、L、C電路中：2/2/2023當(dāng)XL＞XC時(shí)：，電壓超前電流，電路呈現(xiàn)電感電路性質(zhì)；，電壓滯后電流，電路呈現(xiàn)電容電路性質(zhì)；當(dāng)XL＜XC時(shí)：

,電路的電抗部分等于零,故此時(shí)阻抗最?。╖=R），電流最大，電流與電壓同相位，電路呈純電阻電路性質(zhì)。當(dāng)XL=XC時(shí)：2/2/2023R、L、C串聯(lián)電路計(jì)算功率的一般表達(dá)式為：有功功率：

上式說明，有功功率的大小與有關(guān)，故稱為功率因數(shù)。并將電流與總電壓之間的相位差稱為功率角。電壓三角形2/2/2023無功功率：在正弦交流電路中，電壓有效值與電流有效值的乘積稱為視在功率，用符號S表示。視在功率：視在功率單位時(shí)伏安（VA）或千伏安（kVA）。其計(jì)算公式為：2/2/2023

視在功率是表示電氣設(shè)備額定容量的參數(shù)。一般的交流電氣設(shè)備都是根據(jù)額定電壓和額定電流來設(shè)計(jì)的，所以其視在功率有一確定的值，又叫設(shè)備的容量。例如變壓器的容量是用額定電壓和額定電流的乘積來表示的。

視在功率S是總電壓U和電流I的有效值的乘積，也就是電源的總功率它表示交流電源容量的大小。2/2/2023

電路的功率因素可以由電路參數(shù)及有功功率與視在功率求得，計(jì)算公式為：功率三角形2/2/2023上式表明功率因數(shù)是一個(gè)負(fù)荷（如異步電動機(jī)）所需要的有功功率和視在功率的比值。如，電燈、電爐的功率因數(shù)，說明它們只消耗有功功率。異步電動機(jī)的功率因數(shù)比較低，一般在0.7～0.85左右，說明它們需要一定數(shù)量的無功功率。功率因數(shù)大就表明電路中用電設(shè)備的有功功率大，也就是說發(fā)電機(jī)輸出功率的利用率高。2/2/2023因此，對發(fā)電廠來說，就必須在輸出有功功率的同時(shí)也輸出無功功率。在輸出功率中，有功功率和無功功率個(gè)占多少，不是決定于發(fā)電機(jī)，而是取決于負(fù)荷的需要，即取決于負(fù)荷的功率因數(shù)。如果負(fù)荷功率因數(shù)過低，就表示在輸出功率中，無功功率的比例很大，這對于電力系統(tǒng)的運(yùn)行是很不利的。2/2/2023例題[1-13]在RC串聯(lián)電路中，交流電壓的有效值為50V，已知電阻R=20Ω，容抗XC=15Ω，求電路中電流和各元件的電壓。解：電路總阻抗2/2/2023總電流電阻上的電壓電容上的電壓2/2/2023例題[1-14]已知電容、電感組成串聯(lián)電路，電感中的電阻為R=250Ω,L=1.2H，C=10μF,