第二章拉伸、壓縮與剪切

材料力學第二章拉伸、壓縮與剪切§2-1軸向拉伸和壓縮的概念§2-2軸向拉（壓）桿內的內力§2-4軸向拉（壓）桿的強度計算§2-5拉（壓）桿的變形·胡克定律§2-6材料拉伸和壓縮時的力學性能§2-7簡單拉壓超靜定問題§2-3軸向拉（壓）桿內的應力§2-1軸向拉伸和壓縮的概念工程結構及機械中常見的拉伸及壓縮變形的構件：起重機的吊纜桁架中的桿件連桿曲柄連桿機構ωF特點：連桿為直桿外力大小相等方向相反沿桿軸線桿的變形為軸向伸長或縮短

以軸向伸長或軸向縮短為主要特征的變形形式稱為軸向拉伸或軸向壓縮。拉（壓）桿:以軸向伸長或軸向縮短為主要變形的桿件。（1）受力特征:

構件是直桿；作用于桿件上的外力或外力合力的作用線沿桿件的軸線。

（2）變形特點:

桿件的主要變形是沿軸線方向的伸長或縮短。FFFF討論:下列圖中哪些是軸向拉伸桿?F(a)F(b)FF(c)F(d)q§2-2軸向拉（壓）桿內的內力一、用截面法求內力FFmn求mn橫截面上的內力?截面法的步驟：1.截：2.?。?.代：4.平：mnFFN∴FN=FmnF∑x=0FN–F=0從二力平衡公理可知：

FN、通過軸線，所以叫軸力，用FN表示。FFkk求kk橫截面上的內力?kkFFNk∴FNk=F∑x=0F–FNk=0比較兩種受力后的內力及變形情況?FFmnmnFFN∴FN=F∑x=0FN–F=0桿件拉伸時，F(xiàn)N

為正—拉力（方向：離開橫截面）;●軸力FN的正負規(guī)定:FFmmFFN

mmFFN

mm∴FN

為桿件壓縮時，F(xiàn)N

為負—壓力（方向：指向橫截面

）?！褫S力FN的正負規(guī)定:F

F

mmF

FN

mmF

FN

mm∴FN

為用“設正法”求軸力:先假設欲求軸力為正，解得為正是拉力，解得為負是壓力。F

F

mmFN

F

mm∴FN=–F∑x=0FN+F=0（壓力）多力桿:F5

F4

F3

F2

F1

11求1-1橫截面上的軸力。11F3

F2

F1

FN1

∑x=0FN1

+F2+F3

–F1=0∴FN1=F1–F2–F322問：2-2橫截面上的軸力?結論：兩力作用間各橫截面的軸力相等。二、由外力直接求內力任意橫截面上的軸力等于截面一側所有外力的代數(shù)和。F5

F4

F3

F2

F1

11看左側：FN1=F1–F2–F322FN2=F1–F2看右側：FN1=F4+F5規(guī)定（對外力）：離開截面取，指向截面取。三、軸力圖用坐標（x，F(xiàn)N）來表示軸力沿桿件軸線的變化情況。

x表示橫截面的位置；FN

表示軸力的大小。FN圖FFN圖F

F

F

F

FxFNxFN例1.變截面直桿，求各段的軸力，并畫出軸力圖。30kN10kNCBAD軸力只與外力有關，而與桿件尺寸無關。解：（1）求各段軸力AB段:11由1-1右側FN1=30-10=20kNBD段:22由2-2右側FN2=-10kN（2）畫軸力圖2010FN（kN）圖例2.等截面直桿，畫軸力圖。F=2qa

BCA2aaq●分布載荷作用段的軸力圖是斜直線。AB段:11FN1=2qaBC段:22xFN2=qx—軸力方程解：（1）求各段軸力（2）畫軸力圖2qaFN圖例3.等截面直桿考慮自重，已知橫截面面積為A，桿長為l，材料的容重為γ，F(xiàn)=2/3γAl，畫軸力圖。l

解：（1）求自重沿軸線的分布力qq（2）畫軸力圖FN圖§2-3軸向拉（壓）桿內的應力一、

橫截面上的應力問題：1）橫截面上各點處產生何種應力？2）應力的分布規(guī)律？3）應力的數(shù)值？1、應力的分布規(guī)律實驗：FFFF①各橫向線保持為直線，并仍垂直于軸線，但距離增大了。②變形后原來的矩形網格仍為矩形。（1）變形現(xiàn)象：變形前的橫截面變形后仍保持為平面，且垂直于軸線。（2）平面截面假設：根據(jù)變形現(xiàn)象作假設FFFF（3）推論:②無切應變，因此橫截面上沒有切應力。①任意兩個橫截面之間各縱向纖維的伸長相同，即各縱向纖維受力相等。（4）結論:橫截面上只有正應力，并均勻分布，用s

表示。2、正應力計算公式軸力與應力的關系：sFNF注意:s

的符號與FN一致，正—稱為拉應力，負—稱為壓應力。例1.等截面直桿，已知橫截面面積A=500mm2。(1)畫軸力圖;(2)求各段橫截面上的正應力。A

50kN80kN

30kNB

C

D

解：（1）求各段軸力AB段:FN1=80-50+30=60kNBC段:由2-2右側FN2=30-50=-20kN1122由1-1右側CD段:33由3-3右側FN2=30kN（2）畫軸力圖FN（kN）圖602030橫截面面積A=500mm2。A

50kN80kN

30kNB

C

D

(3)求各段橫截面上的正應力。602030FN（kN）二、

斜截面上的應力混凝土圓柱重物圓柱是怎樣斷裂的？為什么圓柱會斷裂？鋁板的拉伸實驗：45o沿與軸線成45o角左右的斜截面破壞。1、斜截面上應力的分布規(guī)律變形現(xiàn)象:變形前平行的兩條斜直線變形后仍保持為直線并相互平行。推論:在相互平行的兩個斜截面之間的各縱向纖維的變形相同，說明斜截面上各點的應力也是均勻分布的。FF

實驗：2、斜截面上應力的計算kkaFF

AaA(1)

斜截面定位：以橫截面與斜截面的夾角a定位。

(2)

a角的正負規(guī)定：從橫截面轉到斜截面，逆時針轉為正，順時針轉為負。A—橫截面面積，Aa—kk斜截面面積，Aa=A/cosa。其中

s0

是橫截面上的正應力。FkkpaaFa

kkFa斜截面上的內力（用截面法）：Fa=F∵斜截面上各點應力均勻分布。∴結論：軸向拉（壓）時斜截面上既有正應力，還有 切應力。pa

kkFasatapa是斜截面上任意點的全應力，通常將其分解為正應力和切應力。

討論:（2）當=0時，smax=s0。即橫截面上的正應力為最大正應力。此時切應力為0

。pa

kkFasata（1）s0、

的符號代入計算。（3）當=45o時，

t

45o

=

t

max

=s0/2。即最大切應力發(fā)生在與軸線成45o角的斜截面上。此時正應力為s0/2。（4）當=90o時，s

=0

，t

=0。即縱截面上無任何應力。●正應力s

和切應力

t

正負號的規(guī)定：（1）正應力s

：離開截面（拉）為正，指向截面（壓）為負。（2）

切應力

t

：對保留段內任一點之矩，順時針 轉為正，逆時針轉為負。例2.計算階梯狀方形柱體的最大正應力，已知載荷F=50kN。F

C

BA

F

F

40003000370240III解：（1）畫軸力圖FN（kN）50150FN1=-50kNFN2=-150kN(2)求各段橫截面上的正應力AB段:BC段:例3.圖示軸向受壓矩形等截面直桿，其橫截面尺寸為40mm×10mm，載荷F＝50kN。試求斜截面m-m上的正應力和切應力。mmFF

40°解：（1）求軸力FN=-50kN(2)求橫截面上的正應力(3)求m-m斜截面上的應力，α=50o§2-4軸向拉（壓）桿的強度計算一、名詞介紹:1.工作應力:桿件實際上所承受的應力。2.極限應力:材料破壞時的應力。用σo表示。3.許用應力:工作應力允許的最大值。用[σ]

表示。n—安全因數(shù)。

為保證構件能正常工作并具有足夠的安全儲備，將極限應力除以一個大于1的系數(shù)n（安全系數(shù)也稱為安全因數(shù)），便得到許用應力[σ]，即二、強度條件:或桿內的最大工作應力不得超過材料的許用應力。三、強度條件的應用:(1)強度校核已知外力，桿件橫截面的形狀和尺寸，材料。驗算桿件是否安全。(2)

設計橫截面尺寸(3)

確定許可載荷注意：工程上，是允許的。已知外力，材料，桿件橫截面的形狀。設計桿件橫截面的尺寸。已知桿件橫截面的形狀和尺寸，材料。求桿件所能承受的最大載荷。例1.

已知一圓桿受拉力F=25kN，直徑d=14mm，材料的許用應力為[]=170MPa。試校核此桿是否滿足強度要求。解：(1)求軸力FN=25kN(2)求最大的正應力(3)校核強度故拉桿安全。例2.曲柄連桿機構。當連桿接近水平時，F(xiàn)=3780kN,連桿橫截面為矩形，h/b=1.4,材料的許用應力為[]=90MPa。試設計連桿的橫截面尺寸h和b。連桿ωFFFhbF=3780kN，h/b=1.4,

[]=90MPa。FFhb解：(1)求軸力FN=-3780kN(2)求橫截面面積A(3)求尺寸h、b例3.兩桿桁架如圖所示，桿件AB

由兩個10號工字鋼桿構成，桿AC由兩個截面為80mm80mm7mm的等邊角鋼構成，

所有桿件材料均為鋼Q235，[]=170MPa。試確定結構的許可載荷[F]。F1m30oACBAB桿—10號工字鋼，AC桿—80mm80mm7mm等邊角鋼，[]=170MPa。試確定結構的許可載荷[F]。F1m30oACB解：(1)求軸力30oFAFN2FN1AB桿—10號工字鋼，AC桿—80mm80mm7mm等邊角鋼，[]=170MPa。試確定結構的許可載荷[F]。(2)確定兩桿的面積30oFAFN2FN1查表得：(3)確定許可載荷[F]由AC桿確定：由AB桿確定：§2-5拉（壓）桿的變形·胡克定律

實驗表明，桿件在軸向拉力或壓力的作用下，沿軸線方向將發(fā)生伸長或縮短，同時，橫向（垂直的方向）必發(fā)生縮短或伸長，如所示。

FFll1aa1一、軸向（或縱向）變形，橫向變形絕對變形：線應變（正應變）相對變形：單位長度上的變形;無量綱量。長度變化的測量1.軸向（或縱向）變形2.橫向變形絕對變形:橫向線應變：FFll1aa1軸向變形：或

—泊松比二、泊松比

在線彈性范圍內，橫向正應變ε’與軸向正應變ε之比的絕對值是一個常數(shù)。(應力不超過比例極限)試驗表明：當拉（壓）桿內的正應力小于某一極限值（比例極限）時，桿的伸長（或縮短）△l與軸力FN及桿長l成正比，而與橫截面面積A成反比?！⒖硕ɡ砣?、虎克定理（引入一比例常數(shù)得等式）E—拉、壓彈性模量;反映材料抵抗彈性變形的能力。具有與應力相同的量綱,常用單位GPa。注意：E、

是材料固有的彈性常數(shù)。EA—抗拉（壓）剛度。反映構件抵抗彈性變形的能力。變換的形式：（虎克定理的另一表達形式）表明：當應力不超過比例極限時，應力與應變成正比。注意：（1），F(xiàn)N要代入符號計算。

—伸長；—縮短。（2）FN、A或E分段變化：FN或A沿軸線連續(xù)變化:2FFqF例1.臺階形桿件受載如圖所示，已知AB和BC段的截面面積為A1=400mm2、A2=250mm2。材料的彈性模量為E=210GPa。試計算AB段、BC段和整個桿件的伸長量；并計算截面C相對于截面B的位移△CB以及截面C的絕對位移△C。F=40kN

CBA

B'C'l1=300l2=200A1=400mm2、A2=250mm2。E=210GPa。F=40kN

CBA

B'C'l1=300l2=200解：(1)求軸力FN1=40kNFN2=40kNAB段:BC段:(2)求各段的變形及桿的總變形AB段:BC段:A1=400mm2、A2=250mm2。E=210GPa。F=40kN

CBA

B'C'l1=300l2=200FN1=40kNFN2=40kN(2)求各段的變形及桿的總變形(3)求截面C相對于截面B的位移△CB以及截面C的絕對位移△C

l

例2.等截面直桿考慮自重，已知橫截面面積為A，桿長為l，材料的容重為γ，桿的總重為G，求桿的變形量△l。解：(1)求自重沿軸線的分布力qq(2)畫軸力圖xdx(3)求微段dx的變形量dx(4)求桿的總變形量

四、桁架節(jié)點的位移計算變形：指構件的尺寸和形狀的改變。位移：指構件上的點或者截面由于變形而引起的位

置的改變。A問：A截面有沒有變形？有沒有位移？

例3.

圖示受力鉸接三角架(桁架），已知：F=9.8kN,1桿的E1=200GPa，A1=127mm2，l1=1.15m,2桿的E2=70GPa，A2=101mm2，l2=1m

。試求節(jié)點A的水平及垂直位移。A12F30°解：(1)求兩桿的軸力A12F30°F=9.8kN,1桿的E1=200GPa，A1=127mm2，l1=1.15m,2桿的E2=70GPa，A2=101mm2，l2=1mA12F30°(2)計算兩桿的變形量(3)假想打開A鉸使桿件自由變形，用切線代圓弧作圖來確定節(jié)點A的新位置A1230°A1230°BBCA1230°BC30°(3)假想打開A鉸使桿件自由變形，用切線代圓弧作圖來確定節(jié)點A的新位置(4)計算節(jié)點A的水平及垂直位移

例4.

已知F及CD桿的EA,AB桿為剛性桿。求節(jié)點A的垂直位移。FABCD60°aa§2-6材料拉伸和壓縮時的力學性能材料的力學性能（機械性質）：

材料在外力作用下所表現(xiàn)出的變形、破壞等方面的特性。材料的力學性能要通過材料的力學實驗獲得。實驗應滿足的條件：1.常溫（20±10℃）

2.靜荷

3.采用國家標準試件實驗設備：萬能試驗機。電子萬能試驗機液壓式萬能試驗機拉伸實驗的標準試件：圓柱形試樣:或方柱形試樣:或l——標距或工作段。

一、

材料拉伸時的力學性能1.低碳鋼的拉伸實驗1.低碳鋼的拉伸實驗拉伸圖lFFF△lF△l應力-應變曲線圖A—橫截面原始面積σ—名義應力l

—試驗段原長—名義應變分為四個階段：①彈性階段OB；②屈服階段CD；③強化階段DG；④局部變形階段GH低碳鋼拉伸時的力學性能Ⅰ.彈性階段OB①在此區(qū)段，變形是彈性的。點B：e—彈性極限E—直線OA的斜率點A：p

—比例極限②OA

段是直線段，即胡克

定律成立。σp是材料應力與應變成正比的最大應力。③σe與σp很接近，工程上通常不作嚴格區(qū)分。Ⅱ.屈服階段CD①在此階段，應力幾乎不變，而變形卻急劇增長，材料暫時失去了抵抗變形的能力—屈服現(xiàn)象。②在試件的磨光表面上，可以看到與軸線大致成45的斜紋—滑移線。③屈服極限σs—屈服階段內應力的最低值。

在屈服階段,大部分變形為塑性變形，它將導致構件不能正常工作,因此屈服極限σs是低碳鋼的重要強度指標。Ⅲ.強化階段CG

①在此階段，材料又增強了抵抗變形的能力，要使材料繼續(xù)變形，必須增加外力，這種現(xiàn)象稱為強化。②強度極限b

—最高點G對應的應力值

，材料所能承受的最大正應力。③大部分的變形仍是塑性的，但有一部分是彈性的。Ⅳ.縮頸階段GH①試件的某一局部范圍內，橫截面顯著縮小—縮頸現(xiàn)象。a.伸長率l1

—試件斷裂后標距的長度。b.斷面收縮率A1—試件斷裂后最細處的橫截面面積。

②塑性指標：

低碳鋼Q235的力學性能指標塑性指標：彈性指標:通常：如果

,該材料稱為塑性材料;如果,稱為脆性材料。E強度指標:◆強化階段的卸載和再加載（冷作硬化現(xiàn)象）

在此階段E點卸載，

s-e曲線是一條直線。如果立即重新加載，則s-e曲線首先沿卸載曲線線性變化，然后沿原曲線變化。ee

—彈性應變ep

—殘余應變(塑性)材料的比例極限得到提高。pepEα◆強化階段的卸載和再加載—冷作硬化。Eα

不經過熱處理，只在常溫下拉到強化階段再卸荷(預加塑性變形)，而使材料的比例極限提高(提高鋼材強度)的方法，

若在第一次卸載后間隔一段時間再加載，這時的應力與應變關系曲線將沿虛線上升到一個更高的位置，比例極限進一步得到提高。這種現(xiàn)象稱為冷拉時效。

2.其他塑性材料拉伸時的力學性能錳鋼沒有屈服和縮頸階段。硬鋁和退火球墨鑄鐵沒有明顯的屈服階段?？偟膩碚f,對于以上材料:5%,屬于塑性材料。

對于沒有屈服階段的塑性材料，是將卸載后產生0.2%的塑性應變所對應的應力值作為屈服極限，稱為名義屈服極限或條件屈服極限。sp0.20.002殘余應變名義屈服極限①無明顯直線階段，故認為近似線彈性，胡克定律近似成立。彈性模量由一條割線的斜率來確定，切割點通常定在應變?yōu)?.1%的點處。典型脆性材料②沒有屈服、強化、頸縮現(xiàn)象，試件在很小的變形下突然斷裂，斷口平齊。③只能測出強度極限sbt(拉斷時的最大應力)。其值遠低于低碳鋼。3.鑄鐵拉伸時的s—e

曲線鑄鐵試件軸向拉伸時的斷裂截面強度極限是脆性材料唯一的強度指標。二、

材料壓縮時的力學性能壓縮實驗的標準試件：短的圓截面柱體短的正方形截面柱體壓拉特點：①壓縮時的sp、se

、ss

和彈性模量E

與拉伸時基本相同。

②無sb，壓縮時無斷裂發(fā)生。1.

低碳鋼壓縮時的σ-ε曲線

③試件被壓成腰鼓形

特點：①彈性區(qū)域仍不明顯，近似服從胡克定律；無屈服極限，只能測出強度極限sbc

。2.

鑄鐵壓縮時的σ-ε曲線

②壓縮性能比拉伸性能好，σbc=（3～5）σbt。(砼的抗壓強度極限是其抗拉強度極限的10倍左右)③破壞斷面的法線與軸線大致成45的夾角，由于該斜截面上的切應力最大。

三、塑性材料和脆性材料的主要區(qū)別1.多數(shù)塑性材料在彈性變形范圍內，σ—ε符合胡克定律；多數(shù)脆性材料在拉（壓）時，σ—ε一開始就是一條微彎的曲線，但由于σ—ε曲線曲率較小，應用上仍設它們成正比；2.塑性材料斷裂時δ較大，故塑性材料可壓成薄片或抽成細

絲，脆性材料則不能；3.多數(shù)塑性材料屈服階段以前，抗拉、抗壓性能基本相同，應用范圍廣；多數(shù)脆性材料抗壓>>抗拉,價廉，易就地取材，用做受壓構件；4.塑性材料力學性能指標σp、σe、σs、σb

。

δ、ψ較大；E為切線模量；脆性材料：σb

。δ<2%—5%；E為割線模量5.塑性材料受動荷載能力強，脆性材料受動荷載能力差。

塑性材料:當應力達到屈服強度σS時，將發(fā)生較大的塑性變形，即使桿件不會破壞，由于過大的塑性變形，使之喪失正常工作的能力，故極限應力取

脆性材料:最大工作應力為強度極限，極限應力取或6.極限應力σ°§2-7簡單拉壓超靜定問題超靜定（靜不定）—僅僅依靠靜力平衡方程不能求解所有未知力的問題（或未知力的個數(shù)大于獨立平衡方程的個數(shù)。）一、基本概念例如：外力沿鉛垂方向，求各桿的軸力。CFABD12平衡方程:FAFN1FN2(用截面法取A點研究)兩個平衡方程可以求解兩個未知力，屬于靜定問題。CFABD123平衡方程：剛才的結構，加上第3根桿，求各桿的軸力。FAFN1FN3FN2兩個平衡方程，有三個未知力，無法求解，屬于靜不定問題。為什么會從靜定變成靜不定呢？因為有了多余的約束。（要求解這三個未知力，必須補充方程。）要通過變形的協(xié)調關系來建立補充方程。靜不定度（次數(shù)）=未知力的數(shù)目-有效平衡方程的數(shù)目例1.設1、2、3三桿用鉸鏈連接如圖，已知：各桿長為：l1=l2、

l3=l

；各桿截面面積相等為A；各桿彈性模量相等為E。外力沿鉛垂方向，求各桿的軸力。解：(1)幾何關系給結構一個假象的變形位置，找變形的諧調關系。CFABD123l求解前先作靜不定次數(shù)的判定。CABD123CABD123原則一：由節(jié)點新位置作原

桿軸線的垂線確定

桿的變形量?！冃沃C調關系？——變形諧調關系解：(1)幾何關系(2)通過物理關系，建立補充方程CABD123l——補充方程CFABD123FAFN1FN3FN2(3)列靜力平衡方程(4)聯(lián)立（1）（2）（3）式求解注意:求解靜不定問題時，“設正法”不能用，要按“原則二”畫受力圖。原則二：列靜力平衡方程，畫受力圖時，應保證變形和受力的一致性。CABD123lFAFN1FN3FN2例2.結構中AB桿為剛性桿，1桿和2桿的材料相同。已知：A1=A2=A

，求兩桿的軸力。ADC2

1

BaaaaF45°求解前先作靜不定次數(shù)的判定。ADC2

1

BaaaaF45°解：(1)幾何關系(2)通過物理關系，建立補充方程ADC2

1

BaaaF45°(3)列靜力平衡方程(4)聯(lián)立（1）（2）式求解（壓）例3.結構如圖，桿的剛度為EA,求兩端的支反力。BAFCab求解前先作靜不定次數(shù)的判定。解：(1)設支反力FA、FB如圖FBFA(2)幾何關系(3)通過物理關系，建立補充方程BAFCabFBFA(3)通過物理關系，建立補充方程BAFCabFBFA(4)列靜力平衡方程(5)聯(lián)立（1）（2）式求解例4.結構如圖，桿的剛度為EA,材料的線膨脹系數(shù)為,溫度升高了△T。求桿內的應力。BAlBA(1)打開B端，讓桿件自由膨脹(2)假設有一力FN把它壓回原處BA(3)求桿內的應力——與面積無關溫度升高了△T,材料的線膨脹系數(shù)為由溫度變化所產生的應力叫溫度應力。溫度應力只存在于靜不定結構中。BAl在靜定結構中不存在溫度應力，因為桿件能自由變形。BA溫度升高可自由向右伸長，變形不受限制。例5.要把3根桿裝配在兩塊剛性板上，中間的2桿由于加工的誤差短了。求裝配后三根桿內的應力。321(1)幾何關系l321aal321321(1)幾何關系(2)物理關系(3)列靜力平衡方程321aa(4)聯(lián)立（1）（2）（3）式求解l321321321aa(5)求桿內的應力l321321321aa由裝配而引起的應力叫裝配應力。裝配應力只存在于靜不定結構中。比如：靜定結構

工程中構件或零件彼此連接時，起連接作用的部件稱為連接件。如螺栓、鉚釘、鍵等等。螺栓§2.13剪切的概念鍵m軸齒輪鍵FF鉚釘FF鉚釘nnFF受力特征：桿件受到兩個大小相等，方向相反、作用線垂直于桿的軸線并且相互平行且相距很近的力的作用。變形特征：兩力之間的截面將發(fā)生相對錯動，甚至破壞。FF剪切面桿件