第4章系統(tǒng)的頻率特性分析

4-1頻率特性的概念

(闡明頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系)4-2頻率特性圖示方法(**)

極坐標(biāo)圖(Nyquist圖)、對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖(bode圖)對(duì)數(shù)幅相特性(Nichols圖)4-3頻率特性特征量第4章系統(tǒng)的頻率特性分析4-4最小相位/非最小相位系統(tǒng)問題的提出

對(duì)于自動(dòng)控制系統(tǒng)，利用系統(tǒng)的頻率特性分析系統(tǒng)的性能—頻率響應(yīng)法，優(yōu)點(diǎn)如下：不需求解便可判斷性能形象直觀、計(jì)算量少系統(tǒng)分析、綜合、校正方便快捷時(shí)域分析的不足：不適用于高階系統(tǒng)（3、4階以上）。對(duì)于系統(tǒng)如何調(diào)整結(jié)構(gòu)參數(shù)不能很好說明4.1頻率特性基本概念

頻率特性又稱頻率響應(yīng)，它是系統(tǒng)（或元件）對(duì)不同頻率正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)特性。

輸出的振幅和相位一般均不同于輸入量，且隨著輸入信號(hào)頻率的變化而變化。

頻率響應(yīng)：線性定常系統(tǒng)對(duì)諧波輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為頻率響應(yīng)前面的例子看出，當(dāng)輸入：輸出：一、頻率響應(yīng)：下面以RC網(wǎng)絡(luò)為例來說明頻率特性的概念r(t)c(t)如果系統(tǒng)輸入為正弦信號(hào)則系統(tǒng)輸出經(jīng)拉氏反變換穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量輸入：這一重要結(jié)論，同樣適用于任何穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)。將傳遞函數(shù)中的s換為jw求取在正弦輸入下，系統(tǒng)的輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入量的復(fù)數(shù)之比(幅值與相位)。幅頻+相頻頻率特性1、穩(wěn)定線性系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)式中，-pj，j=1,2,,n為極點(diǎn)。若：拉氏反變換為：頻率特性的數(shù)學(xué)本質(zhì)若系統(tǒng)穩(wěn)定，則極點(diǎn)都在s左半平面。當(dāng)t，即穩(wěn)態(tài)時(shí)：前面的例子看出，當(dāng)輸入：輸出：線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出是和輸入具有相同頻率的正弦信號(hào)，其輸出與輸入的幅值比為輸出與輸入的相位差說明:在正弦輸入信號(hào)作用下，線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出是和輸入具有相同頻率的正弦信號(hào)。輸出與輸入的幅值比輸出與輸入的相位差相頻特性幅頻特性頻率特性與傳遞函數(shù)具有十分相似的形式G(jω)=G(s)|s=jω?！纠磕硢挝环答伩刂葡到y(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)=1/(s+1),試求輸入信號(hào)r(t)=2sin2t時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出y(t)。解：系統(tǒng)的頻率特性=2時(shí)，則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出為：y(t)=0.35*2sin(2t-45o)=0.7sin(2t-45o)頻率特性的性質(zhì)1）與傳遞函數(shù)一樣，頻率特性也是一種數(shù)學(xué)模型。描述了系統(tǒng)的內(nèi)在特性，與外界因素?zé)o關(guān)。當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)給定，則頻率特性也完全確定。2）頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下求得的，對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)則無法直接觀察到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)?？梢杂妙l率特性來分析研究系統(tǒng)，包括它的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)性能等。3）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量具有相同的頻率。4）頻率特性可以通過實(shí)驗(yàn)量測(cè)來獲得，而不必推導(dǎo)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。當(dāng)傳遞函數(shù)的解析式難以用推導(dǎo)方法求得時(shí)，可利用對(duì)該系統(tǒng)頻率特性測(cè)試曲線的擬合來得出傳遞函數(shù)模型。此外在驗(yàn)證推導(dǎo)出的傳遞函數(shù)的正確性時(shí)，也用它所對(duì)應(yīng)的頻率特性同測(cè)試結(jié)果相比較來判斷。5）頻率特性可以用圖來表示。6）只適應(yīng)于線性定常系統(tǒng)。4.2頻率特性的圖示方法頻率特性是頻率的復(fù)變函數(shù)，可以用頻率作自變量，在坐標(biāo)圖上表示。根據(jù)選用的坐標(biāo)系不同，常用有以下幾種：

1.幅相頻率特性(Nyquist圖)

2.對(duì)數(shù)頻率特性(Bode圖)3.對(duì)數(shù)幅相特性(Nichols圖)1.極坐標(biāo)圖(Nyquist圖)頻率特性G(j)是個(gè)復(fù)變函數(shù),當(dāng)為某一確定值時(shí)，在復(fù)平面上相應(yīng)地表示為一條確定的矢量當(dāng)作為參變量，取(0,+)不同值時(shí),G(j)矢量的終端在復(fù)平面上畫出的軌跡，叫Nyquist圖（極坐標(biāo)圖、幅相頻率特性曲線）。A(ω)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖系統(tǒng)開環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖應(yīng)根據(jù)各組成環(huán)節(jié)的特性，按“幅值相乘除，相角相加減”的原則形成系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖。手工繪制時(shí)，只能抓關(guān)鍵特征，繪制概略圖?？疾爝@些關(guān)鍵特征的基本方法是，求A(0)、(0)和A(∞)、(∞)；補(bǔ)充必要的特征點(diǎn)(如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn))，根據(jù)A(ω)、(ω)

的變化趨勢(shì)，畫出Nyquist圖的大致形狀。1.0型系統(tǒng)開環(huán)Nyquist圖畫法舉例且A（）隨增大單調(diào)減少2.I型系統(tǒng)開環(huán)Nyquist圖畫法舉例A（）隨增大單調(diào)減少頻率特性可表成A（）幅頻特性，描述幅值隨頻率的變化。（）相頻特性，表示相移與頻率的關(guān)系。2.對(duì)數(shù)頻率特性(Bode圖)對(duì)數(shù)幅頻特性：對(duì)數(shù)相頻特性：0.10.212102010002040-20-40dB(分貝)半對(duì)數(shù)坐標(biāo):由對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性兩條曲線所組成。

10倍頻程：橫坐標(biāo)的一個(gè)單位長(zhǎng)度，表示頻率變化10倍10°30°50°-10°-30°20lg|G(j)|半對(duì)數(shù)坐標(biāo)：橫坐標(biāo)軸采用對(duì)數(shù)刻度不均勻，而縱坐標(biāo)是均勻刻度，以度為單位。P133采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)的優(yōu)點(diǎn)-利用頻率特性的疊加性表示系統(tǒng)可分解成個(gè)各環(huán)節(jié)，系統(tǒng)的幅頻特性在Bode圖上可由環(huán)節(jié)特性疊加而得到。兩邊取對(duì)數(shù)后利用這個(gè)特點(diǎn)對(duì)構(gòu)建系統(tǒng)頻率特性至關(guān)重要。同樣，相頻特性也具有這個(gè)特點(diǎn)系統(tǒng)頻率特性表成比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)（一階系統(tǒng)）一階微分環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)（二階系統(tǒng)）一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)

典型環(huán)節(jié)的頻率特性一、比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù):頻率特性:

2.對(duì)數(shù)頻率特性3.幅相頻率特性1.幅頻特性及相頻特性

復(fù)平面實(shí)數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)，到原點(diǎn)距離為K改變?cè)鲆鎸?dǎo)致對(duì)數(shù)幅頻特性上升或下降一個(gè)相應(yīng)常數(shù)，但不影響相頻特性。二、積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù):頻率特性:2.對(duì)數(shù)頻率特性1.幅頻特性及相頻特性ω每增加10倍，L(ω)則衰減20dB。40db0.1110-20db積分環(huán)節(jié)20db0.22200db-20db-40db討論：

1.N個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)的幅頻特性如何變化?90-90-450積分環(huán)節(jié)45討論：N個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)的相頻特性如何變化?環(huán)節(jié)增益不影響相頻特性,在整個(gè)頻率范圍內(nèi)都等于-90°0.10.51210400db20db40db-20db--40dbL(ω)ω[-20]低頻段：實(shí)例ω0=K3.幅相頻率特性幅相頻率特性是一條與虛軸負(fù)段相重合的直線。三、微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù):頻率特性:2.對(duì)數(shù)頻率特性1.幅頻特性及相頻特性3.幅相頻率特性

幅相頻率特性是一條與虛軸正段相重合的直線。40db0.111020db微分環(huán)節(jié)20db0.22200db-20db-40db討論：1.N個(gè)微分環(huán)節(jié)串聯(lián)的幅頻特性如何變化?90-90-450微分環(huán)節(jié)45四、慣性環(huán)節(jié)（一階系統(tǒng)）

傳遞函數(shù):頻率特性:1.幅頻特性及相頻特性當(dāng)時(shí)a.在

<<1/T（低頻段）近似地認(rèn)為，慣性環(huán)節(jié)在低頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性是與橫軸相重合的直線。b.在

>>1/T（高頻段）近似地認(rèn)為，慣性環(huán)節(jié)在高頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性是經(jīng)過1/T橫軸處，斜率為-20dB/dec的直線。2.對(duì)數(shù)頻率特性

綜上所述：慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性可以用在1/T處相交于0分貝的兩條漸近直線來近似表示：兩條漸近線相交處的頻率1/T稱為轉(zhuǎn)折頻率(交接頻率)。采用漸近線在幅頻曲線上產(chǎn)生的誤差是可以計(jì)算的。幅值的最大誤差發(fā)生在轉(zhuǎn)折頻率1/T處：40db0.111020db慣性環(huán)節(jié)20db0.22200db-20db-40db8db20lg2.5=890-90-450慣性環(huán)節(jié)相頻特性4542當(dāng)ω=0時(shí)，(ω)=0；當(dāng)ω=1/T時(shí)，(ω)=-45；當(dāng)ω時(shí)，(ω)-90°。漸近線

精確曲線

轉(zhuǎn)折頻率

精確曲線

慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性[漸近線、精確曲線思考幅頻特性曲線中,轉(zhuǎn)折頻率后每10倍頻程衰減多少

dB?2.實(shí)際轉(zhuǎn)折頻率處幅頻特性衰減多少dB？0.10.51210301000db20db40db-20db--40dbL(ω)ω[-20][-40]轉(zhuǎn)折頻率：0.5實(shí)例(續(xù)1）慣性環(huán)節(jié)：低頻段：不難看出，隨著頻率ω=0→+∞變化，慣性環(huán)節(jié)的幅值逐步衰減，最終趨于0。相位移的絕對(duì)值越來越大，但最終不會(huì)大于-90°，其Nyquist圖為一個(gè)半圓。取三個(gè)特殊點(diǎn)：3.幅相頻率特性

Nyquist圖為一個(gè)半圓可證明如下：設(shè):G(jω)=U+jV將它們之比代入實(shí)頻特性表達(dá)式五、一階微分環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù):頻率特性:1.幅頻特性及相頻特性3.幅相頻率特性當(dāng)ω從零變化到無窮時(shí)，相頻從0°變化到+90°，其幅相頻率特性是通過（1，0）點(diǎn)，且平行于正虛軸的一條直線。2.對(duì)數(shù)頻率特性傳遞函數(shù)：G(s)=1+Ts頻率特性：G(jω)=1+jωT傳遞函數(shù)互為倒數(shù)的環(huán)節(jié)，其對(duì)數(shù)幅頻曲線關(guān)于0dB線對(duì)稱，其對(duì)數(shù)相頻曲線關(guān)于0線對(duì)稱一階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性與慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性分別以0dB線或0°線互為鏡像對(duì)稱。一階微分：對(duì)數(shù)頻率特性曲線

40db0.111020db一階微分環(huán)節(jié)20db0.22200db-20db-40db-8db90-90-450一階微分環(huán)節(jié)4542六、振蕩環(huán)節(jié)（二階系統(tǒng)）

傳遞函數(shù):頻率特性:

1.幅相頻率特性幅頻特性：相頻特性：=r時(shí),幅值最大,這一現(xiàn)象稱為“諧振”。幾個(gè)重要的點(diǎn)：=0時(shí),A（0）=1,（0）=0,U(ω)=1,V(ω)=0=∞時(shí),A(∞)=0,(∞)=-180,U(ω)=0,V(ω)=0=n時(shí),A(n)=1/2,(n)=-90,U(ω)=0,V(ω)=-1/2ζ01ABBReIm諧振峰討論求導(dǎo)當(dāng)ζ≥0.707時(shí)，幅值曲線不可能有峰值出現(xiàn)，即不會(huì)有諧振。

特征點(diǎn)1:特征點(diǎn)2:諧振頻率諧振峰值時(shí)出現(xiàn)諧振2.幅頻特性及相頻特性討論：1）低頻段的漸進(jìn)線

2）高頻段的漸進(jìn)線:忽略1，與3）轉(zhuǎn)折頻率=稱轉(zhuǎn)折頻率。高頻漸近線與低頻漸近線在ω=ωn處相交。這個(gè)頻率稱為轉(zhuǎn)折頻率(交接頻率)。3.對(duì)數(shù)頻率特性近似認(rèn)為振蕩環(huán)節(jié)在低頻段對(duì)數(shù)幅頻特性是與橫軸相重合。當(dāng)ω/ωn<<1時(shí)，

當(dāng)ω/ωn>>1時(shí)，

0db20db40db-20db--40dbL(ω)ω0.1110100[-40]？？0db20db40db-20db--40dbL(ω)ω0.1110100[-40]振蕩環(huán)節(jié)L(ω)的修正方法傳遞函數(shù)：G(s)=1+2ζTs+T2s2頻率特性:幅頻特性：相頻特性：七、二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)的幅頻和相頻特性分別與振蕩環(huán)節(jié)的相應(yīng)特性關(guān)于橫軸對(duì)稱。其對(duì)數(shù)幅頻特性的高頻漸近線的斜率為+40dB/dec,而相頻由0°(ω=0)，經(jīng)90°(ω=ωn）,最后趨于180°(ω→∞）傳遞函數(shù)互為倒數(shù)的環(huán)節(jié)，其對(duì)數(shù)幅頻曲線關(guān)于0dB線對(duì)稱，其對(duì)數(shù)相頻曲線關(guān)于0線對(duì)稱40db0.111040db二階微分環(huán)節(jié)20db1000db-20db-40db180-180-900二階微分環(huán)節(jié)9012八、一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù):頻率特性:

1.幅相頻率特性

一階不穩(wěn)定系統(tǒng)的幅相頻率特性是一個(gè)為（-1，j0）為圓心，0.5為半徑的半圓。2.幅頻特性及相頻特性

在s右半平面有極點(diǎn)或零點(diǎn)的系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)0.10.51210301000db20db40db-20db--40dbL(ω)ω[-20][-40]轉(zhuǎn)折頻率：2實(shí)例(續(xù)2）一階微分：慣性環(huán)節(jié)：轉(zhuǎn)折頻率：30[-20][-40]0.10.51210301000db20db40db-20db--40dbL(ω)ω[-20][-40][-20][-40]低頻段：轉(zhuǎn)折頻率：0.5230斜率：-40-20-40二.開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的繪制A(1)繪制步驟1.標(biāo)準(zhǔn)化，確定各轉(zhuǎn)折頻率;2.在ω=1處,量出20lgK(A點(diǎn)）;3.通過A點(diǎn)作一條-20NdB/十倍頻程的直線,直到第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率ω1，如果ω1<1，則低頻漸進(jìn)線的延長(zhǎng)線經(jīng)過A點(diǎn)；4.以后，每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率，就改變一次漸進(jìn)線斜率。5.修正，一階項(xiàng)轉(zhuǎn)折頻率處修正3dB，二階項(xiàng)轉(zhuǎn)折頻率處修正(2)系統(tǒng)類型與開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性特點(diǎn):1)低頻段斜率為0dB/十倍頻程;2)低頻段的幅值為20lgK，可以確定穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。1.0型系統(tǒng)2.Ⅰ型系統(tǒng)特點(diǎn):1)低頻段斜率為-20dB/十倍頻程;2)低頻漸進(jìn)線（或其延長(zhǎng)線）與0dB的交點(diǎn)為ω0=K；3)低頻漸進(jìn)線（或其延長(zhǎng)線）在ω=1時(shí)的幅值為20lgK;3.Ⅱ型系統(tǒng)特點(diǎn):1)低頻段斜率為-40dB/十倍頻程;2)低頻漸進(jìn)線（或其延長(zhǎng)線）與0dB的交點(diǎn)為ω0=；3)低頻漸進(jìn)線（或其延長(zhǎng)線）在ω=1時(shí)的幅值為20lgK;【例】已知最小相位開環(huán)幅頻特性求傳遞函數(shù)解：由圖可寫出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：由于位于1和5的幾何中心，有：已知位于1和5的幾何中心例繪制

的對(duì)數(shù)曲線。解：對(duì)數(shù)幅頻：低頻段：20/s

轉(zhuǎn)折頻率：1510

斜率：-400-4020log|20/(5*sqrt(5*5+1))|=-2.1085修正值：

對(duì)數(shù)相頻：相頻特性的畫法為：起點(diǎn)，終點(diǎn)，轉(zhuǎn)折點(diǎn)。

環(huán)節(jié)角度：開環(huán)對(duì)數(shù)曲線的計(jì)算1101000db20db40db-20db--40dbL(ω)ω5-90-180對(duì)數(shù)幅頻：低頻段：20/s 轉(zhuǎn)折頻率：1510 斜率：-400-40修正值：

-114.7-93.7-137.5開環(huán)對(duì)數(shù)曲線的繪制例：已知最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻漸近曲線如圖所示。曲線部分是對(duì)諧振峰值附近的修正線，試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：1）判斷系統(tǒng)結(jié)構(gòu)2）寫出開環(huán)傳函的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間常數(shù)形式

最小相位系統(tǒng)：開環(huán)傳遞函數(shù)由對(duì)數(shù)幅頻特性曲線唯一確定。

非最小相位系統(tǒng)：開環(huán)傳遞函數(shù)由對(duì)數(shù)幅頻特性曲線和對(duì)數(shù)相頻特性曲線一起確定。開環(huán)傳遞函數(shù)中沒有右極點(diǎn)或右零點(diǎn)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)例：兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為：幅頻特性相同，穩(wěn)定系統(tǒng)中最小相位系統(tǒng)相位變化范圍最小最小相位系統(tǒng)相位變化最小非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)頻率無窮時(shí)，幅頻特性漸進(jìn)線頻率-20(n-m)db/dec，相角在頻率趨于無窮時(shí)為-90(n-m)度最小相位系統(tǒng)

非最小相位系統(tǒng)的判別方法最小相位系統(tǒng)的相位為非最小系統(tǒng)的相位當(dāng)時(shí)，最小相位系統(tǒng)的性質(zhì)①參數(shù)相同時(shí)，穩(wěn)定系統(tǒng)中最小相位系統(tǒng)的相位滯后最小注意：非最小相位系統(tǒng)往往含有延時(shí)環(huán)節(jié)、小閉環(huán)不穩(wěn)定環(huán)節(jié)，所以啟動(dòng)性能差，響應(yīng)慢，故在要求響應(yīng)快的系統(tǒng)中，總是盡量避免非最小相位系統(tǒng)的出現(xiàn)。②幅頻特性和相頻特性之間具有確定的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系產(chǎn)生最小相位系統(tǒng)的一些環(huán)節(jié)①延時(shí)環(huán)節(jié)：②不穩(wěn)定的一階微分（1－Ts）和二階微分環(huán)節(jié)③不穩(wěn)定的慣性環(huán)節(jié)（）和振蕩環(huán)節(jié)可以分解為：[s]平面右半面零點(diǎn)或極點(diǎn)在[s]平面右半面典型的非最小相位系統(tǒng)一、閉環(huán)頻率特性主要性能指標(biāo)R(s)C(s)_閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性和相頻特性為：閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性表示穩(wěn)態(tài)時(shí)輸入輸出的幅值比。頻率特性性能指標(biāo)：諧振(峰值)頻率：諧振峰值M(0)：零頻幅值---頻率接近0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)輸出幅值與輸入幅值之比;M(0)越接近于1表示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差越小，精度越高。帶寬頻率(截止頻率)ωbM(ω)衰減到0.707M(0)時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率。從此頻率開始，增益將從其低頻時(shí)的幅值開始下降。二階閉環(huán)系統(tǒng)Mr越大，系統(tǒng)超調(diào)量越大，系統(tǒng)平穩(wěn)性越差；Mr太小，系統(tǒng)調(diào)整時(shí)間ts過長(zhǎng)，失去快速性；

Mr=1.2～1.4系統(tǒng)具有大的帶寬，系統(tǒng)能夠精確地跟蹤任意輸入信號(hào)。但從噪聲觀點(diǎn)看帶寬不應(yīng)當(dāng)太大。因此對(duì)帶寬的設(shè)計(jì)通常需要折衷考慮。線性系統(tǒng)頻域響應(yīng)：伯德(Bode)圖bode函數(shù)計(jì)算連續(xù)系統(tǒng)的幅頻和相頻曲線.調(diào)用格式：bode(sys)w:頻率范圍[mag,phase,w]=bode(sys,w)mag：幅頻特性