第三章 金融工程的基本分析方法

第三章金融工程的基本分析方法2023/2/2第一節(jié)無套利均衡分析法一、金融工程的基本方法論金融學(xué)在研究方法上完全從經(jīng)濟學(xué)中獨立出來是以20世紀50年代后期F.Modigliani和M.Miller在研究企業(yè)資本結(jié)構(gòu)和企業(yè)價值的關(guān)系時提出的“無套利(No-Arbitrage)”分析方法為標志的，這才是現(xiàn)代金融學(xué)的真正的方法論革命！金融研究的一個核心內(nèi)容是對金融市場中的某項頭寸進行估值和定價。分析的基本方法是將這項頭寸與市場中其他金融資產(chǎn)的頭寸組合起來，構(gòu)筑起一個在市場均衡時不能產(chǎn)生不承受風(fēng)險的利潤的組合頭寸，由此測算出該項頭寸在市場均衡時的價值即均衡價格。2023/2/2金融市場均衡時無套利機會就是無套利均衡分析的依據(jù)。套利機會消除后所確定的均衡價格與市場參與者的風(fēng)險偏好無關(guān)。這就抓住就金融市場均衡的最為本質(zhì)的特征。無套利均衡比供需均衡所產(chǎn)生的市場推動力要強得多，重建市場均衡的速度也要快得多。金融市場的這種本質(zhì)特性決定了對它采用的研究方法應(yīng)當有別于其他的市場。這是無套利均衡分析方法的根本涵義。2023/2/2金融工程的一項核心技術(shù)是組合分解技術(shù)。采用組合分解技術(shù)，可以利用基本工具作為零部件來組裝成具有特定流動性和收益／風(fēng)險特性的金融產(chǎn)品；也可以通過“剝離”，把原先捆綁在一起的金融／財務(wù)風(fēng)險進行分解，更可以在分解之后加以重新組合，從而為收益／風(fēng)險在市場的流動轉(zhuǎn)移和重新配置提供強有力的手段。組合分解技術(shù)本質(zhì)上就是用一組金融工具來“復(fù)制”另一個（或另一組）金融工具的技術(shù)，也就是無套利均衡分析的具體化。2023/2/2總之：由于代表著現(xiàn)代金融學(xué)最新發(fā)展的金融工程本身就是金融學(xué)的工程化，現(xiàn)代金融學(xué)本身的方法論即無套利均衡分析也就是金融工程的基本方法論。信息技術(shù)和工程方法對金融工程研究的支持，從最基本的方法論角度出發(fā)，應(yīng)該說都是圍繞無套利均衡分析展開的。因此，不懂得無套利均衡分析就是不懂得現(xiàn)代金融學(xué)的基本方法論，當然，也就不懂得金融工程的基本方法論。2023/2/2

金融衍生工具的價格應(yīng)該處在一個和標的資產(chǎn)價格相對確定的位置,否則就偏離了合理的價格.如果市場價格對合理價格的偏離超過了相應(yīng)的成本,則市場投資者就可以通過標的資產(chǎn)和金融衍生工具之間的買賣進行套利,買入相對定價過低的資產(chǎn),賣出相對定價過高的證券。市場價格必然由于套利行為做出調(diào)整，相對價格過低的資產(chǎn)價格會因買入者較多而回升，而相對價格過高的證券價格則會因為賣出者較多而下降，因而回到合理的價位即均衡價格，套利者即因此獲利。在市場價格回到均衡狀態(tài)之后，就不再存在套利機會，從而形成無套利條件下的合理證券價格。這就是無套利定價原理。無套利定價原理2023/2/2

例3.1

假設(shè)有兩家公司Ａ、Ｂ，其資產(chǎn)性質(zhì)相同但資本結(jié)構(gòu)（負債／權(quán)益）不一樣。每年創(chuàng)造的利稅前收益（EBIT）都是1000萬元人民幣。設(shè)Ａ的資本全由股本權(quán)益構(gòu)成，共100萬股。根據(jù)未來收入現(xiàn)金流的風(fēng)險特征，金融市場對Ａ的股票的預(yù)期收益率是，則Ａ的企業(yè)價值為此時公司Ａ股票的每股價格應(yīng)當是100元／股。二、無套利定價法的應(yīng)用2023/2/2設(shè)Ｂ的資本中有4000萬元負債，年利率為8%即并且假設(shè)此債務(wù)是無限期的。則Ｂ負債的市場價值就是4000萬元，每年支付利息320萬元。假設(shè)在無稅條件下，企業(yè)的收益必須先付利息再分紅利，則股東每年可以分到的收益為EBIT-320萬元，若假定Ｂ的股份數(shù)是60萬份，此時可斷定股價為100元／股。否則，就有套利的機會。如果是90元，則可采用如下策略套利：2023/2/2頭寸情況即時現(xiàn)金流未來每年的現(xiàn)金流1%A股票的空頭＋10000股X100元／股-1%XEBIT1%B股票的多頭－6000股X90元／股1%X(EBIT-320)1%B債券的多頭－1%Ｘ4000萬1%X320凈現(xiàn)金流６萬元06萬元來自于B公司的股票價值被低估，未達到均衡價格。反之則反理。2023/2/2因B的股價是100元，則B的權(quán)益市值為100X60=6000萬元。從而B的企業(yè)價值也為10000萬元。與A的企業(yè)價值相等。即

ＭＭ第一命題：在ＭＭ條件下，企業(yè)價值與其資本結(jié)構(gòu)（企業(yè)負債和權(quán)益的比例結(jié)構(gòu)）無關(guān)

采用無套利分析技術(shù)，實際上是用一組證券復(fù)制某項或某一組證券，其要點是使復(fù)制證券的現(xiàn)金流特征與被復(fù)制證券的現(xiàn)金流特征完全相同。2023/2/2注意：如果對于市場上現(xiàn)有的一項或一組金融工具，能夠用現(xiàn)有的另一組金融工具來“復(fù)制”（產(chǎn)生相同的現(xiàn)金流），如果復(fù)制者和被復(fù)制者二者的市場價格不等（必須把所有發(fā)生的成本計算在內(nèi)），就會出現(xiàn)套利的機會。（這是采用金融工程技術(shù)發(fā)掘市場套利機會的基本做法）2023/2/2

例3.2

假設(shè)3種零息票債券的面值都為100元，它們當前的市場價格分別為：（1）1年后到期的零息票債券的當前價格為98元；（2）2年后到期的零息票債券的當前價格為96元；（3）3年后到期的零息票債券的當前價格為93元；并假設(shè)不考慮交易成本和違約情況。試問：（1）如果有一個債券A的息票率為10%，1年支付1次利息，期限為3年。債券A當前的市場價格應(yīng)該為多少？（2）如果債券A當前的市場價格為120元，是否有套利機會？如果有，如何套利？2023/2/2第二節(jié)狀態(tài)價格定價法一、狀態(tài)定價法原理狀態(tài)價格是指在特定的狀態(tài)發(fā)生時回報為1否則回報為0的資產(chǎn)在當前的價格。如果未來時刻有N種狀態(tài)，而這N種狀態(tài)的價格我們都知道，那么我們只要知道某種資產(chǎn)在未來各種狀態(tài)下的回報狀況以及市場無風(fēng)險利率水平，我們就可以對該資產(chǎn)進行定價。這就是狀態(tài)定價技術(shù)。2023/2/2設(shè)有一份風(fēng)險債券Ａ，現(xiàn)在的市場價格是，一年后市場價格會出現(xiàn)兩種可能的情況（如圖所示）：其中二、靜態(tài)定價法2023/2/2如果是債券Ａ的收益率，記，則現(xiàn)定義一類與狀態(tài)相對應(yīng)的假想的證券，稱之為基本證券?；咀C券１在１年后如果市場出現(xiàn)上升狀態(tài)，其市場價值為１元，如果市場處于下跌狀態(tài)，則價值為零。基本證券２則反之，１年后市場處于下跌狀態(tài)時價值為１元，處于上升狀態(tài)時為零。設(shè)現(xiàn)基本證券１的市場價格為，基本證券２的市場價格為。2023/2/2現(xiàn)在可用基本證券來復(fù)制上述的有風(fēng)險證券Ａ。購買份基本證券１和份基本證券２構(gòu)成的證券組合在１年后不管發(fā)生何種狀況，都會產(chǎn)生和證券Ａ完全同樣的現(xiàn)金流，故為Ａ的復(fù)制品。由無套利原理知，二者現(xiàn)在的市場價格應(yīng)該相等：即（１）2023/2/2如果再同時購買１份基本證券１和１份基本證券２構(gòu)成證券組合，則一年后無論出現(xiàn)何種狀況，該組合的市場價值都將是１元。這是一項無風(fēng)險投資，其收益率應(yīng)該是，于是有（２）2023/2/2由（１）、（２）得：2023/2/2例3.3設(shè)債券Ａ，元如圖所示10010798則可算出10398.5從而債券Ｂ現(xiàn)在的價格應(yīng)該是2023/2/2定理：對于一年后出現(xiàn)兩種狀態(tài)的市場，它的兩個基本證券是唯一確定的，或者說，兩個基本證券唯一地確定了這個市場。而刻畫在這個市場里的證券價格變化的參數(shù)和

必滿足以下方程組：反之，凡滿足以上方程組的和所描繪的一定是在這個市場里的證券價格的變化。兩組不同的則刻畫了兩個不同的市場。2023/2/2設(shè)用份債券Ａ和現(xiàn)在市場價值為的無風(fēng)險證券來構(gòu)筑復(fù)制債券Ｂ的證券組合。則該組合現(xiàn)在的市值是１年后，無論出現(xiàn)何種市場狀態(tài)，該組合的市值都應(yīng)該和債券Ｂ一樣，即下面用債券Ａ和無風(fēng)險證券來復(fù)制債券Ｂ，檢查以上所述的用基本證券對債券Ｂ的定價是否正確：2023/2/2則解得由此算出債券Ｂ現(xiàn)在的市場價值為若設(shè)，可以算出2023/2/2三、動態(tài)定價法假定風(fēng)險債券Ａ的價格運動規(guī)律如下圖所示，期初第1期末第2期末10798114.49104.8696.04期初第1期末第2期末2023/2/2107114.49104.86解得，因此有同法可得2023/2/210010798解得這就是動態(tài)無套利均衡分析方法。2023/2/2關(guān)鍵點是所謂的自融資策略，如：這種動態(tài)無套利均衡分析方法是由期末倒推至起初的，這符合金融學(xué)中對價值的測算原理（金融學(xué)是面向未來的，由將來決定現(xiàn)在）2023/2/2例3.4

假設(shè)從現(xiàn)在開始1年后到期的零息票債券的價格為98元，從1年后開始，在2年后到期的零息票債券的價格恰好也為98元。并且假設(shè)不考慮交易成本和違約情況。試問：（1）從現(xiàn)在開始2年后到期的零息票債券的價格為多少？（2）如果從現(xiàn)在開始2年后到期的零息票債券的價格為97元，是否有套利機會？如果有，如何套利？2023/2/2這里用A和無風(fēng)險證券就可以完全動態(tài)地復(fù)制出債券B。原因在于我們假設(shè)每過一個時期，市場只出現(xiàn)兩種可能的狀態(tài)（二叉樹）。對于可能出現(xiàn)更多的狀態(tài)，就需要更多的互相獨立的證券才可能動態(tài)地復(fù)制其他的證券。這就是市場的動態(tài)完全性問題。四、市場的完全性對于市場可能出現(xiàn)的各種情況，是否具備足夠數(shù)目的“獨立的”金融工具來進行完全的套期保值，從而轉(zhuǎn)移風(fēng)險。如果具備足夠多的此類金融工具，則市場是完全的，否則是不完全的。2023/2/2第三節(jié)風(fēng)險中性定價法一、風(fēng)險中性假設(shè)如果對一個問題的分析過程與投資者的風(fēng)險偏好無關(guān)，則可以將這個問題放到一個假設(shè)的風(fēng)險中性的世界里進行分析，所得的結(jié)果在真實的世界里也應(yīng)該成立。無套利均衡分析的過程和結(jié)果與市場參與者的風(fēng)險偏好無關(guān)2023/2/2二、金融經(jīng)濟學(xué)基本定理金融經(jīng)濟學(xué)第一基本定理

風(fēng)險中性概率存在的充分必要條件是不存在無風(fēng)險套利機會。金融經(jīng)濟學(xué)第二基本定理

風(fēng)險中性概率是唯一的，其充分必要條件是市場是完全的。金融經(jīng)濟學(xué)第三基本定理

在一定的條件下，動態(tài)地修改現(xiàn)有證券的組合可以復(fù)制創(chuàng)造出新的證券，從而有效地填補市場以增加完全性。2023/2/2三、風(fēng)險中性定價原理在對金融衍生工具進行定價時，所有投資者都是風(fēng)險中性的。在所有投資者都是風(fēng)險中性的條件下，所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無風(fēng)險利率r，這是因為風(fēng)險中性的投資者并不需要額外的收益來吸引他們承擔風(fēng)險。同樣，在風(fēng)險中性的條件下，所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險利率進行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險中性定價原理。2023/2/2例3.5假設(shè)一種不支付紅利的股票目前的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是11元，要么是9元?，F(xiàn)在我們要找出一份3個月期協(xié)議價格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價值。2023/2/2無套利定價法求解構(gòu)建一個由一單位看漲期權(quán)空頭和單位的標的股票多頭組成的組合。為了使該組合價值處于無風(fēng)險狀態(tài)，必有2023/2/2在沒有套利機會的情況下，無風(fēng)險組合只能獲得無風(fēng)險收益率。設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險收益率為10％，則該組合的價值應(yīng)為而目前股價為10元，因此即看漲期權(quán)的價值應(yīng)為2023/2/2第四節(jié)積木分析法積木分析法也叫模塊分析法，指將各種金融工具進行分解和組合，以解決金融問題?！胺e木”是一種比喻的說法，就像兒童拿著不同的積木用不同的擺法創(chuàng)造出神奇的“建筑物”一樣，金融工程師運用他的“金融積木箱”中的積木－－各種金融工具（主要是衍生金融工具），來解決金融的現(xiàn)實問題。積木分析法主要以圖形來分析收益/風(fēng)險關(guān)系以及金融工具之間的組合/分解關(guān)系。2023/2/20KST+-損益多頭頭寸0KST+-損益空頭頭寸2023/2/2SX＋ＣX０損益－Ｃ多頭看漲期權(quán)

SX＋ＣX０損益＋Ｃ空頭看漲期權(quán)

2023/2/2SＫ－ＣＫ０損益＋Ｐ空頭看跌期權(quán)

SＫ－ＣＫ０損益－Ｐ多頭看跌期權(quán)

2023/2/2合成多頭看漲期權(quán)

SＫ－ＣＫ0損益－Ｐ現(xiàn)貨多頭

多頭看跌期權(quán)

SＫ＋ＰＫ0損益－Ｐ多頭看漲期權(quán)

2023/2/2合成多頭

SＫ＋ＣＫ0損益－Ｃ＋ＣＫ－ＣSＫ0損益2023/2/2

在利率互換交易中，如果稱收取浮動利率利息、支付固定利率利息的一方為買方，另一方就為賣方。我們可以用圖3.1所示的現(xiàn)金流來描述買方和賣方的未來收益／支出。

012nt…賣方012nt…買方圖3.1利率互換的現(xiàn)金流下面先利用積木分析法為標準利率互換定價2023/2/2

利率互換的定價就是要定出與浮動利率互換的固定利率的大小，即所謂“浮動利率的固定利率價格”。所以利率互換協(xié)議的買方是用固定利率購買浮動利率。利率互換報價資料常見于英國《金融時報》上，其期限最長可達30年，且買進價低于賣出價。2023/2/2

為了對利率互換定價，先考慮帶息票債券（如中長期國庫券）的定價。帶息票債券是固定利率債券，定期憑息票領(lǐng)取固定數(shù)額的利息，到期償還以面值par計算的本金。現(xiàn)金流如圖3.2所示圖3.2帶息票債券的現(xiàn)金流012nt…p02023/2/2如果對于這種債券市場根據(jù)它的風(fēng)險狀況所要求的折現(xiàn)率（資金成本）為r，則有凈現(xiàn)值關(guān)系：如果息票利率i和資金成本r相等，即，該債券就是平價債券，有2023/2/2

假如：我們用浮動利率籌措一筆數(shù)額等于一項平價債券的面值par的資金，籌措的資金就用來投資于這項平價債券。假定籌資和投資的付息期是嚴格匹配的，這兩件事的現(xiàn)金流如圖3.3的左側(cè)。2023/2/2012nt…012nt…投資現(xiàn)金流籌資現(xiàn)金流012nt…圖3.32023/2/2所以，一個利率互換的空頭（即賣方頭寸）就等價于用浮動利率籌資的頭寸和投資于一項平價債券的頭寸的組合，而互換的定價就變成定出平價債券的息票利率。這是金融工程組合分解技術(shù)的典型運用。當然，這里平價債券的風(fēng)險必須與對應(yīng)的浮動利率的風(fēng)險相匹配。對于最普通的利率互換來說，浮動利率應(yīng)該是市場無風(fēng)險利率。未來無風(fēng)險利率的預(yù)期值就是遠期利率。于是，采用作為浮動利率未來預(yù)期值的遠期利率作為平價債券的折現(xiàn)率（即平價債券的預(yù)期收益率），使平價債券的凈現(xiàn)值為零來定出其收益率。注意：折現(xiàn)率將是隨時間變化的。2023/2/2由無套利原理知，應(yīng)有ＮＰＶ＝０，由此解得：這種定價方法稱為零息票定價技術(shù)。若以記相應(yīng)于浮動利率的遠期利率。則易換算出“零息票利率集”用這一零息票利率集作為折現(xiàn)率，對平價債券折現(xiàn)，有2023/2/2再來看貨幣互換的定價

012nt…圖3.4012nt…首先，注意到圖3.3左上方的籌資現(xiàn)金流可以分解為下圖3.4所示的兩個圖的組合：2023/2/2根據(jù)無套利原理，這兩個現(xiàn)金流組合到一起時的凈現(xiàn)值為零。所以支付浮動利率的現(xiàn)金流（圖3.4左）和圖3.5是等價的。從而在設(shè)計時，我們可以用這個簡單的現(xiàn)金流圖來代替原來比較復(fù)雜的現(xiàn)金流圖。（這種代替僅僅是為了計算和估值的目的，在利率互換中從不