小學(xué)生數(shù)學(xué)解題中的思維訓(xùn)練

小學(xué)生數(shù)學(xué)解題中的思維訓(xùn)練第一頁，共二十六頁，2022年，8月28日

四、結(jié)合例題講解數(shù)學(xué)思想方法的運用（數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練）易錯的典型題例及分析第二頁，共二十六頁，2022年，8月28日【例題一】

有兩根同樣長的鋼管，第一根用去3/10米，第二根用去3/10，兩根相比（）。①第一根用去的多②第二根用去的多③無法比較（一）類比法：1、解決“分率與分?jǐn)?shù)易混淆”的問題：分析與解：這道題無法直接比較，它需要討論：

當(dāng)長度為1米時，兩根用去的長度相等；當(dāng)長度大于1米時，第二根的3/10>3/10米；當(dāng)長度小于1米時，第二根的3/10<3/10米，因此選擇③無法比較

第三頁，共二十六頁，2022年，8月28日

【例題二】

一根鋼管兩次用完，第一次用去3/10米，第二次用去全長的3/10，兩次相比（）①第一次用去的多②第二次用去的多③無法比較

分析與解：因為第二次用去全長的3/10，那么第一次用去了全長的（1-3/10）=7/10，大于全長的3/10，因此選擇①

第四頁，共二十六頁，2022年，8月28日

2、解決單位“1”發(fā)生變化時容易混淆的問題：【例題三】一種商品先提價1/10，再降價1/10?，F(xiàn)價與原價相比（）①與原價相等②比原價高③比原價低分析與解：

一般學(xué)生會認(rèn)為是與原價相等，實際兩次單位“1”不同，所以提的價不等于降的價?？梢约僭O(shè)原價為100元，提價1/10后為:100×（1+1/10）=110元，而降低了1/10是110元的1/10，現(xiàn)價是：110×(1-1/10)=99(元），因此選擇③比原價低。且永遠(yuǎn)現(xiàn)價是原價的:（1+1/10）×（1-1/10）=11/10×9/10=99/100第五頁，共二十六頁，2022年，8月28日

【例題四】

一種商品先降價1/10，再提價1/10?，F(xiàn)價與原價相比（）①與原價相等②比原價高③比原價低分析與解：

可以假設(shè)原價為100元，降低100元的1/10后為90元，提價了90元的1/10（90×1/10=9元）后是99元，因此還是選擇③比原價低。且永遠(yuǎn)現(xiàn)價是原價的:（1-1/10）×（1+1/10）=9/10×11/10=99/100）第六頁，共二十六頁，2022年，8月28日

（二）假設(shè)法：3、等式中的假設(shè)【例題五】甲數(shù)的2/5與乙數(shù)的1/2相等，則甲數(shù)與乙數(shù)的最簡比是（）分析與解：把相等的量設(shè)為單位“1”

甲數(shù)為：1÷2/5=5/2；乙數(shù)為：1÷1/2=2

甲數(shù)︰乙數(shù)=5/2︰2=5︰4第七頁，共二十六頁，2022年，8月28日

【例題六】雞的只數(shù)是鴨的1/2，鵝的只數(shù)是雞的1/3，鵝的只數(shù)與鴨的只數(shù)的比（）。分析與解：這道題把誰為標(biāo)準(zhǔn)量:(1)以鴨為標(biāo)準(zhǔn)量“1”，雞就是1/2，鵝就是1/2×1/3=1/6；鵝︰鴨=1/6︰1=1︰6(2)以雞為標(biāo)準(zhǔn)量“1“，鵝就是1/3，鴨就是1÷1/2=2，鵝︰鴨=1/3︰2=1︰6(3)可以假設(shè)雞為3份，那鵝就是1份，鴨為6份，鵝︰鴨=1︰6第八頁，共二十六頁，2022年，8月28日

【例題七】在2008年春季的一個月中，統(tǒng)計的晴、雨、陰天的狀況為：雨天比晴天少1/3,陰天比晴天少3/5,這個月晴天有多少天?

分析與解：①因為，雨天與晴天的比為2︰3，陰天與晴天的比為2︰5；如果把晴天設(shè)為3和5的最小公倍數(shù)15，那么，雨天為10天，陰天6天，晴天15天，合計31天，符合生活實際；②用通比也能得出結(jié)論：雨天︰晴天︰陰天2︰35︰210︰15︰6合計：10+15+6=31（天）第九頁，共二十六頁，2022年，8月28日

【例題八】

把右圖做成一個圓錐（接頭處不計），再將這個圓錐沿高從頂點往下直切成兩等份，切面是（）。

A、直角三角形B、正三角形C、鈍角等腰三角形D無法確定

分析與解：假設(shè)扇形的弧長為3.14厘米，則其半徑（圓錐的母線L）為1厘米，因為扇形的弧長為3.14厘米，所以底部圓的周長也是3.14厘米，推導(dǎo)出底部圓的直徑：3.14÷3.14=1厘米因此切面為等邊（正）三角形。第十頁，共二十六頁，2022年，8月28日

（三）替換法：4、圖形中的條件轉(zhuǎn)換【例題九】已知下圖中陰影部分三角形面積為5平方米，求圓的面積。分析與解：①r×r=5(平方米)；3.14×5=15.7(平方米)②這里運用到一個“常數(shù)”的知識，圓與內(nèi)切正方形面積的比是157/100，因此用5×2÷100/157=15.7(平方米)

第十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日

【例題十】一張小圓桌的周長是3.14米,把四邊撐開的部分折疊起來就成了一張方桌,求方桌的桌面是多少平方米?

分析與解：①圓的直徑：3.14÷3.14=1（米）1×0.5÷2×2=0.5（平方米）②這里也可以運用圓與內(nèi)切正方形的面積比是157/100這一知識點進(jìn)行解答，2圓面積=3.14×（3.14÷3.14÷2）×100/157=0.5（平方米）第十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日

【例題十一】如圖兩個正方形之間陰影部分的面積是20平方厘米，求圓環(huán)的面積。分析與解：設(shè)內(nèi)圓半徑為r,外圓半徑為R，從圖上可以看出：R的平方-r的平方=20（平方厘米）圓環(huán)的面積=3.14×（R的平方-r的平方）=3.14×20=62.8（平方厘米）第十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日

【例題十二】26名同學(xué)一起去春游,每人只買一瓶飲料,如果3個空瓶可以換回1瓶飲料,他們最多可以喝到幾瓶飲料？分析與解：①學(xué)生會用圖示法進(jìn)行分析，得出最多可以喝到38瓶飲料還剩下2個空瓶，缺乏借一個空瓶再置換一瓶汽水后喝完還回空瓶的策略。此題還可以轉(zhuǎn)化為每2個空瓶就能有一瓶飲料的思路，因此用26+26÷2=39瓶，成為運用簡單置換策略解決問題的典型題例。

第十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日

（四）假設(shè)與圖解：【例題十三】有三堆棋子，每堆棋子一樣多，并且都只有黑、白兩種顏色。第一堆里的黑子和第二堆里的白子一樣多，第三堆里的黑子占全部黑子的2/5。把三堆棋子集中在一起，白子占全部棋子的幾分之幾？

分析與解：假設(shè)黑子有5顆，則第三堆黑子有2顆，第一、二堆黑子共有3顆，而第一堆里的黑子和第二堆里的白子一樣多，所以每堆有3顆棋子，畫圖如下：第一堆第二堆第三堆○○○○4÷9=4/9第十五頁，共二十六頁，2022年，8月28日

（五）還原法：【例題十四】甲、乙、丙三個水桶中各裝有一些水，共72升。先將甲桶中1/3的水倒入乙桶，再將乙桶中現(xiàn)有水的1/5倒入丙桶，最后將丙桶中現(xiàn)有水的1/7倒回甲桶，這時三個水桶中的水同樣多。三個水桶原來各有水多少升？分析與解：首先根據(jù)“這時三個水桶中的水同樣多”，得出每個水桶中的水為72÷3=24升，再列表如下：甲乙丙現(xiàn)在242424第三次操作前24-4=202424÷（1-1/7）=28

第二次操作前2024÷（1-1/5）=30

28-6=22第二次操作前（原來）20÷（1-1/3）=30

30-10=2022第十六頁，共二十六頁，2022年，8月28日

（六）抓住不變量：【例題十五】有含水量為90%的鹽水500克，加熱后變成了含水量為75%的鹽水。蒸發(fā)了多少克的水？

分析與解：這道題鹽的質(zhì)量不變。先求出鹽的質(zhì)量：500×（1－90%）=50（克）再求出加熱后鹽水的質(zhì)量：50÷（1－75%）=200（克）最后求出蒸發(fā)了的水的質(zhì)量：500－200=300（克）基本數(shù)量關(guān)系：鹽+水=鹽水鹽水×含鹽率=鹽；鹽水×含水率=水第十七頁，共二十六頁，2022年，8月28日

【例題十六】

配制20%的糖水1000克，需要用濃度為18%和23%的糖水各多少克？分析與解：這道題糖的質(zhì)量是不變量：1000×20%=200(克)設(shè)18%的糖水為x克，則23%糖水為（1000-x）克18%x+23%×（1000-x）=2000.18x+230-0.23x=2000.05x=30X=600——(18%的糖水)1000-600=400——（23%的糖水）第十八頁，共二十六頁，2022年，8月28日

【例題十七】甲容器中有8%的鹽水300克，乙容器中有12.5%的鹽水120克。往甲、乙兩個容器中倒入等量的水，使兩個容器中鹽水的濃度一樣，求每個容器應(yīng)倒入水多少克？分析與解：這道題抓住鹽的質(zhì)量不變。300×8%=24（克）120×12.5%=15（克）

2415=300+x120+x15×(300+x)=24×(120+x)4500+15x=2880+24x24x-15x=4500-28809x=1620X=180（克）第十九頁，共二十六頁，2022年，8月28日

1111【例題十八】計算＋＋＋24816分析與解：這道題學(xué)生只會想到“可以先通分轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)后再相加”；或?qū)ⅰ胺謹(jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)求和”進(jìn)行計算；其實，化小數(shù)計算反而麻煩。如果給這題再添上一個加數(shù)，加一個1/32，再加1/64呢？如果這樣加下去，一直加到1/1024呢？通分算還簡便嗎？

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＋+++……248163264132第二十頁，共二十六頁，2022年，8月28日

這里教師把加數(shù)增多，讓學(xué)生在無法用通分來解決此題的過程中生成策略上的內(nèi)需，然后出示下圖：在直觀圖形的啟發(fā)下，獨立探索轉(zhuǎn)化的方法通過數(shù)形結(jié)合解釋圖意，圖中的正方形表示1，1/2+1/4+1/8+1/16的和，就是正方形里涂色部分的大小。重點突出了算式轉(zhuǎn)化是根據(jù)“涂色部分的大小等于1減空白部分的差”進(jìn)行的。讓學(xué)生充分體會把原題這樣轉(zhuǎn)化，使計算簡便了。第二十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日

八、概率問題：【例題十九】箱內(nèi)不規(guī)則地散放著式樣、尺碼相同的黑球鞋和白球鞋各4雙，未加分辨地從中隨即取出2只，恰好得到同色且左右配好對的一雙鞋的概率是多少？

分析與解：8雙鞋共16只，先任意取一只，再取下一只的時候有15種不同的取法。任取的這只鞋子肯定有顏色（黑或白），與它同色且左右配對的有4只，取這4只中的任意一只都符合題意，所以是4/15。第二十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日【例題二十】

李醫(yī)生定期去甲、乙、丙三位病人家巡診。按計劃他每三天（中間空2天）去甲家一次，每4天去乙家一次，每6天去丙家一次。4月30日那天，連續(xù)去了甲、乙、丙三家，那么從5月1日到12月31日，李醫(yī)生應(yīng)該去巡診的天數(shù)是多少？九、周期（推理）：分析