現(xiàn)代控制工程-第7章最優(yōu)控制

第7章最優(yōu)控制教材：王萬(wàn)良，現(xiàn)代控制工程，高等教育出版社，2011如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則總可以設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋矩陣，使系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)等于期望極點(diǎn)，以達(dá)到預(yù)期的動(dòng)態(tài)特性要求。在實(shí)際控制問(wèn)題中，常常希望在控制過(guò)程中使一些指標(biāo)最小，或者最大。例如，控制過(guò)程中，要求系統(tǒng)消耗的能量最少、時(shí)間最少等，或者達(dá)到最大的產(chǎn)量、最好的經(jīng)濟(jì)效益等。最優(yōu)控制是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的一種方法，它研究的中心問(wèn)題是如何選擇控制信號(hào)，使控制系統(tǒng)的性能在某種意義上是最優(yōu)的。下面首先介紹最優(yōu)控制的概念，然后介紹用變分法求解最優(yōu)控制問(wèn)題的方法，和龐德里亞金的極小值原理，最后著重討論線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題。第7章最優(yōu)控制2第7章最優(yōu)控制7.1最優(yōu)控制的概念7.2變分法與泛函的極值條件7.3變分法求解無(wú)約束最優(yōu)控制問(wèn)題7.4極小值原理7.5線性二次型最優(yōu)控制37.1最優(yōu)控制的概念設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為最優(yōu)性能指標(biāo)所謂最優(yōu)控制，就是要確定在中的最優(yōu)控制，將系統(tǒng)的狀態(tài)從轉(zhuǎn)移到，或者的一個(gè)集合，并使性能指標(biāo)最優(yōu)。最優(yōu)控制問(wèn)題從數(shù)學(xué)上看，就是求解一類帶有約束條件的條件泛函極值問(wèn)題，可以用變分法求解。工程中很多控制問(wèn)題的控制信號(hào)是受限制的，例如，任何系統(tǒng)中能夠得到的燃料、電壓、允許的溫度等都是有限制的，不可能取任意大的值?？刂菩盘?hào)受限的最優(yōu)控制問(wèn)題不能用變分法求解，而需要用龐德里亞金極小值原理或者貝爾曼的動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解。41.泛函的概念如果對(duì)于自變量t，存在一類函數(shù)，對(duì)于每個(gè)函數(shù)，有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，則變量稱為依賴于函數(shù)的泛函數(shù)，簡(jiǎn)稱為泛函，記作。如果泛函滿足下列關(guān)系，則泛函是線性泛函。7.2變分法與泛函的極值條件2.泛函的變分泛函的變量的變分，定義為，其中，為一標(biāo)稱函數(shù)（即最優(yōu)控制中的最優(yōu)軌線），為鄰域內(nèi)與屬于同一函數(shù)類的某一函數(shù)。57.2變分法與泛函的極值條件如果泛函的增量可以表示為其中，是的線性泛函，且當(dāng)時(shí)，則線性泛函稱為泛函的變分（一階變分），記作。由變分的定義可以看出，泛函的變分是一種線性映射，它的運(yùn)算規(guī)則類似于函數(shù)的線性運(yùn)算，有如下的變分規(guī)則：63.泛函的極值若泛函在附近的任一曲線上的值不小于，即，則泛函在曲線上達(dá)到極小值。泛函在曲線上達(dá)到極小值的必要條件為（證明略）7.2變分法與泛函的極值條件在實(shí)際問(wèn)題中，泛函極值問(wèn)題的最優(yōu)軌線通常是受到各種約束的。例如，最優(yōu)控制性能指標(biāo)（7.2）中的u和x的選擇，要滿足狀態(tài)方程（7.1），這是一個(gè)等式約束。在等式約束下的泛函極值問(wèn)題，稱為條件泛函極值問(wèn)題。用拉格朗日乘子法將條件泛函極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束條件極值問(wèn)題。最優(yōu)控制問(wèn)題就是一類帶有約束條件的條件泛函極值問(wèn)題。7*7.3變分法求解無(wú)約束最優(yōu)控制問(wèn)題設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為性能指標(biāo)為上面的最優(yōu)控制問(wèn)題中，因?yàn)閷?duì)控制變量沒(méi)有約束，所以通常稱為無(wú)約束最優(yōu)控制問(wèn)題。無(wú)約束最優(yōu)控制問(wèn)題是一個(gè)求有等式約束的泛函極值問(wèn)題，可以用拉格朗日乘子法把有約束條件問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束條件問(wèn)題。構(gòu)造增廣泛函為構(gòu)造哈密頓函數(shù)為則增廣泛函為設(shè)初始時(shí)刻及其狀態(tài)給定為。根據(jù)終端狀態(tài)邊界條件，可按以下幾種情況討論。8*7.3變分法求解無(wú)約束最優(yōu)控制問(wèn)題1.給定，終端自由，即任意增廣泛函為取一階變分并令其為零，得由于9*7.3變分法求解無(wú)約束最優(yōu)控制問(wèn)題最優(yōu)控制問(wèn)題（7.7），（7.8）取極值的必要條件為狀態(tài)方程伴隨方程控制方程橫截條件聯(lián)立求解上述正則方程和控制方程，就可求得性能指標(biāo)達(dá)到極值時(shí)的最優(yōu)控制、最優(yōu)狀態(tài)軌線及最優(yōu)協(xié)態(tài)軌線。10*7.3變分法求解無(wú)約束最優(yōu)控制問(wèn)題例7.1已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為初始條件為性能指標(biāo)解本題為給定、終端自由的最優(yōu)控制問(wèn)題。由于控制變量不受約束，所以，可以用變分法求解。構(gòu)造哈密頓函數(shù)為由伴隨方程得因此，常數(shù)。由橫截條件得由控制方程得即代入狀態(tài)方程，得上面這個(gè)微分方程的解為11*7.3變分法求解無(wú)約束最優(yōu)控制問(wèn)題當(dāng)時(shí)，有最優(yōu)控制為最優(yōu)性能指標(biāo)為12*7.3變分法求解無(wú)約束最優(yōu)控制問(wèn)題2.給定，終端約束設(shè)終端約束為構(gòu)造增廣泛函為對(duì)增廣泛函取一階變分并令其為零，經(jīng)過(guò)與上面類似的推導(dǎo)，得13*7.3變分法求解無(wú)約束最優(yōu)控制問(wèn)題最優(yōu)控制問(wèn)題（7.7），（7.8）取極值的必要條件為狀態(tài)方程伴隨方程控制方程橫截條件聯(lián)立求解上述方程，就可求得性能指標(biāo)達(dá)到極值時(shí)的最優(yōu)控制、最優(yōu)狀態(tài)軌線及最優(yōu)協(xié)態(tài)軌線。邊界條件14*7.3變分法求解無(wú)約束最優(yōu)控制問(wèn)題例7.2已知系統(tǒng)初始條件為性能指標(biāo)解本題為給定、終端受約束的最優(yōu)控制問(wèn)題。由于控制變量不受約束，所以，可以用變分法求解。構(gòu)造哈密頓函數(shù)為由于終端約束條件為15所以*7.3變分法求解無(wú)約束最優(yōu)控制問(wèn)題由初始條件得因?yàn)橛蓹M截條件得將和代入上式，得16*7.3變分法求解無(wú)約束最優(yōu)控制問(wèn)題求解以作為未知數(shù)的聯(lián)立方程組

可得則所求最優(yōu)控制為17*7.4極小值原理利用變分法求解最優(yōu)控制問(wèn)題時(shí)，要使極值條件有意義，需要假定控制是不受約束的，其變分是任意的。因此，在無(wú)約束最優(yōu)控制問(wèn)題中，要求控制變量不受任何限制，但是，在實(shí)際控制工程中，控制變量往往受到一定限制。例如，電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩、閥門開(kāi)度等都有上限?？刂谱兞恐荒茉谀硞€(gè)有界的閉域里取值?？刂谱兞渴艿较拗茣r(shí)的最優(yōu)控制問(wèn)題，通常稱為有約束最優(yōu)控制問(wèn)題。對(duì)于有約束最優(yōu)控制問(wèn)題，不能應(yīng)用變分法求解，而需要采用本節(jié)所介紹的極小值原理求解。極小值原理是由前蘇聯(lián)學(xué)者龐德里亞金1956年提出的。由于極大和極小可以認(rèn)為只差一個(gè)負(fù)號(hào)，所以龐德里亞金極小值原理又稱為極大值原理。由于極小值原理是由變分法引申而來(lái)，因此，它的結(jié)論與變分法的結(jié)果有許多相似之處。但由于它能求解控制變量受到邊界限制的最優(yōu)控制問(wèn)題，并且不要求哈密頓函數(shù)對(duì)控制量可微，所以獲得了廣泛的應(yīng)用。18設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為7.4.1連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理不等式約束為要求終端狀態(tài)滿足等式約束性能指標(biāo)為則最優(yōu)控制、最優(yōu)軌跡和最優(yōu)伴隨向量必須滿足下列條件：設(shè)哈密頓函數(shù)為（1）沿最優(yōu)軌線滿足正則方程（2）橫截條件和邊界條件（3）在最優(yōu)軌跡上與最優(yōu)控制相對(duì)應(yīng)的函數(shù)取絕對(duì)極小值，即197.4.1連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理例7.4已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：初始狀態(tài)和終端狀態(tài)分別為控制量受到不等式的約束求最優(yōu)控制，使系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)的時(shí)間最短。解這是最短時(shí)間的最優(yōu)控制問(wèn)題，因此，系統(tǒng)的性能指標(biāo)為解得207.4.1連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理由于控制是受約束的，所以要用極小值原理求解。哈密頓函數(shù)為由于，當(dāng)并且的符號(hào)與相反時(shí)，可使H為最小，所以最優(yōu)控制為217.4.2離散系統(tǒng)的極小值原理求解離散系統(tǒng)的最優(yōu)控制的方法，與上述連續(xù)系統(tǒng)的方法相似。離散系統(tǒng)極小值原理與連續(xù)系統(tǒng)極小值原理的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表7.2所示。227.5線性二次型最優(yōu)控制在最優(yōu)控制問(wèn)題中，若系統(tǒng)是線性的，且性能指標(biāo)為二次型函數(shù)，則稱為線性二次型調(diào)節(jié)器問(wèn)題，簡(jiǎn)稱LQR(LinearQuadraticRegulator)問(wèn)題。由于二次型性能指標(biāo)具有鮮明的物理意義，代表了大量工程實(shí)際問(wèn)題中提出的性能指標(biāo)要求，并且在數(shù)學(xué)上容易處理，而且可以得到線性狀態(tài)反饋的最優(yōu)控制律，易于工程實(shí)現(xiàn)，因而在實(shí)際工程問(wèn)題中得到了廣泛的應(yīng)用。237.5.1線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題設(shè)線性系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的最優(yōu)控制的性能指標(biāo)為狀態(tài)向量和控制向量的二次型函數(shù)上述問(wèn)題稱為線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題。線性二次型調(diào)節(jié)器問(wèn)題的提法具有普遍的意義。例如，在化工過(guò)程控制中，給定一個(gè)設(shè)計(jì)的操作工況，希望設(shè)計(jì)一個(gè)控制系統(tǒng)，使生產(chǎn)過(guò)程恒定在該工況下，這就是所謂的定值調(diào)節(jié)系統(tǒng)。LQR調(diào)節(jié)器問(wèn)題的物理概念與定值調(diào)節(jié)的概念是一致的，若系統(tǒng)受外界擾動(dòng)，偏離平衡點(diǎn)(不失一般性，可假定平衡點(diǎn)為零狀態(tài))到某一初始狀態(tài)，LQR調(diào)節(jié)器問(wèn)題就是設(shè)計(jì)一控制律使系統(tǒng)狀態(tài)回到零狀態(tài)附近，并滿足二次型目標(biāo)函數(shù)為最小。247.5.2連續(xù)系統(tǒng)有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器定理：設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為二次型性能指標(biāo)為則最優(yōu)控制存在且唯一，并由下式確定25例7.6設(shè)被控系統(tǒng)為

7.5.2連續(xù)系統(tǒng)有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器性能指標(biāo)為求系統(tǒng)的最優(yōu)控制律。解設(shè)正定對(duì)稱矩陣滿足黎卡提矩陣微分方程：26得到下列線性代數(shù)方程組：7.5.2連續(xù)系統(tǒng)有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器

利用計(jì)算機(jī)解上述微分方程，可以得到從到的的值，從而得到最優(yōu)控制為由于狀態(tài)反饋系數(shù)是時(shí)變的，所以在設(shè)計(jì)最優(yōu)控制系統(tǒng)時(shí)需要先求出和的值，并存儲(chǔ)在計(jì)算機(jī)中，在控制時(shí)再取出所需要的和的值。277.5.3連續(xù)系統(tǒng)無(wú)限時(shí)間定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)完全可控，狀態(tài)向量，控制向量不受約束，性能指標(biāo)為則最優(yōu)控制存在且唯一，并由下式確定其中，K為正定對(duì)稱矩陣，是下列黎卡提矩陣代數(shù)方程的唯一解而最優(yōu)狀態(tài)則是下列線性微分方程的解性能指標(biāo)的最小值為28例7.7設(shè)7.5.3連續(xù)系統(tǒng)無(wú)限時(shí)間定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器確定最優(yōu)控制。解系統(tǒng)可控性判別矩陣為所以，系統(tǒng)完全可控。設(shè)K矩陣為由矩陣K是正定的要求得即將K代入黎卡提矩陣代數(shù)方程，得29系統(tǒng)的最優(yōu)控制為7.5.3連續(xù)系統(tǒng)無(wú)限時(shí)間定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器解得30設(shè)線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為7.5.4線性離散系統(tǒng)狀態(tài)調(diào)節(jié)器1.有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器的二次型性能指標(biāo)為最優(yōu)控制規(guī)律為31離散系統(tǒng)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的結(jié)構(gòu)圖如圖7.5所示。7.5.4線性離散系統(tǒng)狀態(tài)調(diào)節(jié)器327.5.4線性