概率統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)

概率論復(fù)習(xí)第一章1.基本概念：隨機(jī)事件，隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)、統(tǒng)計(jì)規(guī)律性、樣本點(diǎn)樣本空間、不可能事件、基本事件、隨機(jī)事件、必然事件S。2.事件的關(guān)系與運(yùn)算A∪B發(fā)生事件A與事件B

中至少有一個(gè)發(fā)生A∩B發(fā)生事件A與事件B

同時(shí)發(fā)生A－B

發(fā)生事件A發(fā)生，但事件B

不發(fā)生事件A與事件B互不相容（互斥）事件A與事件B互為逆事件注：“A

與B

互相對(duì)立”與“A

與B

互斥”是不同的概念對(duì)偶律

注:(1)A,B互不相容（互斥）3.概率的定義和性質(zhì)(4)若A和B相互獨(dú)立，則有則A未必是不可能事件.則A未必是必然事件.(5)思考：什么條件下，

（6）思考：若A與B相互獨(dú)立，則P(A∪B)=?P(AB)=0，則AB未必為4.古典概型（1）拿球模型10個(gè)球中有4個(gè)白球，6個(gè)黑球，從中任取5個(gè)，其中2個(gè)白球，3個(gè)黑球的概率為多少？（2）生日問題一個(gè)宿舍有4個(gè)學(xué)生，只有1人生日在12月份；4個(gè)人的生日在同一個(gè)月份；4個(gè)人的生日不在同一個(gè)月份；4人的生日在不同月份；4人中至少有2人生日在同一個(gè)月份；5.條件概率與乘法定理6.全概率公式與貝葉斯公式7.事件的獨(dú)立性事件與相互獨(dú)立8.n重貝努利試驗(yàn)，1、已知(1)當(dāng)A、B互不相容時(shí)，(2)當(dāng)A、B相互獨(dú)立時(shí)，(3)當(dāng)時(shí)，練習(xí)：2、設(shè)三次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率相等，若已知A至少出現(xiàn)一次的概率為，則在一次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率為

。3.兩個(gè)學(xué)生參加某個(gè)公司的招聘會(huì)，被聘用的概率分別為0.6和0.7，則兩個(gè)學(xué)生至少有一人被該公司聘用的概率為

．4.設(shè)

則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）(A)事件A與B互不相容；(B)(C)(D)(1)甲、乙兩人同時(shí)命中目標(biāo)的概率；

(2)恰有一人命中目標(biāo)的概率；

(3)目標(biāo)被命中的概率。三、計(jì)算題：１、甲、乙兩人各自向同一目標(biāo)射擊，已知甲命中目標(biāo)的概率為0.7，乙命中目標(biāo)的概率為0.8求：解:設(shè)分別表示甲乙命中目標(biāo)。則2、市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場(chǎng)占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為2％、1％、3％，試求市場(chǎng)上該品牌產(chǎn)品的次品率。第二章1．離散型隨機(jī)變量的分布律及其性質(zhì)注：求r.v分布律的步驟(1)列出X的所有可能取值；

(2)求出X的對(duì)應(yīng)取值的概率；(3)列表（1）離散型隨機(jī)變量的分布律例1.

一個(gè)口袋中有5個(gè)球，2個(gè)白球，3個(gè)紅球，從中任取三個(gè)球，以X表示取到的白球的個(gè)數(shù)，求其分布律.例2.

從編號(hào)為1，2，3，4，5的5個(gè)球中任取3個(gè)，記X為3個(gè)球中的最大號(hào)碼，求隨機(jī)變量X的分布律。(2)三個(gè)常用的離散型隨機(jī)變量（0-1）分布，二項(xiàng)分布，泊松分布（熟記分布律，數(shù)學(xué)期望和方差）2．分布函數(shù)的定義與性質(zhì)注意:（1）（2）若分別為隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則不是任何隨機(jī)變量的分布函數(shù)。因?yàn)?．連續(xù)型隨機(jī)變量的分布律及其性質(zhì)（1）連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度對(duì)于任何實(shí)數(shù)a,注意：對(duì)連續(xù)性隨機(jī)變量，有（2）三個(gè)常用的連續(xù)型隨機(jī)變量均勻分布，指數(shù)分布（參數(shù)為），正態(tài)分布（熟記概率密度，數(shù)學(xué)期望和方差）（3）正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)若，則例3.已知例4.

設(shè)某種零件的長(zhǎng)度服從參數(shù)為求這種零件的合格率；的正態(tài)分布，規(guī)定長(zhǎng)度誤差在±0.02范圍內(nèi)的為合格品，若任意抽取20個(gè)這種零件，問其中不合格品不超過2個(gè)的概率是多少？3．隨機(jī)變量函數(shù)的分布（1）離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量取值從小到大排列，相同值對(duì)應(yīng)概率相加。（2）連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布若不單調(diào)，則先求隨機(jī)變量的分布函數(shù)再求出隨機(jī)變量的概率密度若單調(diào)，則利用如下公式求其中h(y)是g(x)的反函數(shù)，（具體的請(qǐng)參照教材P56）（3）正態(tài)分布的線性函數(shù)仍服從正態(tài)分布第三章1．二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布，邊緣分布，獨(dú)立性（1）二維隨機(jī)變量關(guān)于X,Y的邊緣分布函數(shù)分別為X和Y相互獨(dú)立，則（2）二維離散型隨機(jī)變量關(guān)于X,Y

的邊緣分布律分別為X和Y相互獨(dú)立，則（3）二維連續(xù)型隨機(jī)變量關(guān)于X,Y的邊緣概率密度分別為X和Y相互獨(dú)立，則（4）兩個(gè)常用的二維連續(xù)型隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量（X,Y）在區(qū)域G上服從均勻分布，則其概率密度為其中A為G的面積.若，則X和Y相互獨(dú)立（5）兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布一般，且X和Y相互獨(dú)立,則

有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布結(jié)論：例1.

二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為試求(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度，并判斷獨(dú)立性例2.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X~N(0,1),Y在區(qū)間(0,2)上服從均勻分布，求(X,Y)的概率密度第四章1．?dāng)?shù)學(xué)期望的概念，性質(zhì)和計(jì)算（1）離散型隨機(jī)變量

二維一維（2）連續(xù)型隨機(jī)變量

,二維

,（3）一維2．方差的概念，性質(zhì)和計(jì)算（1）（2）（3）X

與Y

相互獨(dú)立3．協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念，性質(zhì)和計(jì)算(1)（2）例1.

長(zhǎng)度為的細(xì)棒隨意折成兩段，長(zhǎng)度分別為X,Y,則（3）（4）但是，若(X,Y)~N(1,2,12,22,),則，即若(X,Y)~N(1,2,12,22,),則X,Y

相互獨(dú)立X,Y不相關(guān)例2.

設(shè)在區(qū)域上服從均勻分布，寫出的聯(lián)合概率密度，并求關(guān)于的邊緣概率密度，判斷是否相互獨(dú)立；又是否互不相關(guān)?第五章1．大數(shù)定律（了解）2．中心極限定理（1）獨(dú)立同分布下的中心極限定理設(shè)且相互獨(dú)立，則近似服從近似服從（2）德莫佛－拉普拉斯中心極限定理設(shè)，則X近似服從２．二項(xiàng)分布的正態(tài)近似與二項(xiàng)分布的泊松近似，兩者相比，一般在ｐ較小時(shí)，用泊松分布近似較好；而在和時(shí)，用正態(tài)分布近似較好．注：１．泊松分布也可作為二項(xiàng)分布的近似分布．當(dāng)ｎ很大，ｐ很小，其中例1.

射擊不斷進(jìn)行，設(shè)每次射中的概率為0.1。試求500次射擊中，射中的次數(shù)在區(qū)間[49，55]之間的概率。數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)第六章1．基本概念個(gè)體，總體，樣本（簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本），樣本容量，樣本的聯(lián)合分布，統(tǒng)計(jì)量2．樣本均值性質(zhì)：樣本方差性質(zhì)：注意：必須學(xué)會(huì)用計(jì)算器計(jì)算樣本均值考試時(shí)在沒有得到監(jiān)考教師允許時(shí)使用他人的計(jì)算器可視為作弊，因此考試時(shí)務(wù)必帶好計(jì)算器。3.分布、分布、分布的定義、及性質(zhì)上α分位點(diǎn)以及查表4．抽樣分布定理定理1定理2、3、4（教材P134）第七章1．矩估計(jì)法（用樣本的矩作為總體的矩的估計(jì)）（1）樣本均值是總體均值的矩估計(jì)（2）是總體方差的矩估計(jì)注意：樣本方差不是總體方差的矩估計(jì)2．極大似然估計(jì)法極大似然估計(jì)法的步驟：（1）寫出似然函數(shù)或（2）似然函數(shù)取對(duì)數(shù)，化簡(jiǎn)（3）求導(dǎo)數(shù)（4）令，解得參數(shù)的極大似然估計(jì)，其中為待估參數(shù)，是取自總體X

的樣本值，例1.

設(shè)總體X的概率密度為的矩估計(jì)值和最大似然估計(jì)值.求參數(shù)3．估計(jì)的無(wú)偏性和有效性（1）樣本均值是總體均值的無(wú)偏估計(jì)（2）樣本方差是總體方差的無(wú)偏估計(jì)注意：不是總體方差的無(wú)偏估計(jì)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差不是總體標(biāo)準(zhǔn)差的無(wú)偏估計(jì)（2）試判斷g1和g2哪一個(gè)更有效？例2.已知總體的數(shù)學(xué)期望和方差都存在，X1，X2，X3是總體的樣本.設(shè)（1）證明g1和g2都是的無(wú)偏估計(jì)4．參數(shù)的區(qū)間估計(jì)單個(gè)正態(tài)總體均值的置信區(qū)間（①方差已知，②方差未知）單個(gè)正態(tài)總體方差的置信區(qū)間（③均值未知）兩個(gè)正態(tài)總體均值之差的置信區(qū)間（④方差已知，⑤方差未知但）

上述5種置信區(qū)間的公式附在試卷上，重點(diǎn)訓(xùn)練如何選擇正確的公式例1.用一個(gè)儀表測(cè)量某一物理量9次，得樣本均值樣本標(biāo)準(zhǔn)差假設(shè)測(cè)量值X服從正態(tài)分布，試求均值的0.95置信區(qū)間.第八章1．假設(shè)檢驗(yàn)的原理及其含義，兩類錯(cuò)誤2．（1）方差未知時(shí)，單個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)，

①

②，

③（2）方差未知但時(shí)兩個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)④⑤⑥（3）均值未知時(shí)兩個(gè)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)⑦⑧⑨拒絕域附在試卷上，上述9種假設(shè)檢驗(yàn)的原假設(shè)，備擇假設(shè)及其相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量，重點(diǎn)訓(xùn)練如何選擇正確的公式注意：（1）根據(jù)題意選擇雙邊或單邊檢驗(yàn)（2）在單邊檢驗(yàn)中，應(yīng)選擇與事實(shí)一致的作為備擇假設(shè)，然后再確定原假設(shè)，也就是說應(yīng)該選擇與事實(shí)相反的作為原假設(shè)

例1.一臺(tái)機(jī)床加工軸的橢圓度X服從正態(tài)分布N(0.095,0.022）（單位：mm)。機(jī)床經(jīng)調(diào)整后隨機(jī)取20根測(cè)量其橢圓度，算得mm。已知總體方差不變，問調(diào)整后機(jī)床加工軸的橢圓度的均值有無(wú)顯著降低？例2.測(cè)得兩批小學(xué)生的身高（單位：厘米）為：第一批：140，138，14