直線的一般式方程

直線的一般式方程課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的一般式.2.會(huì)進(jìn)行直線方程的五種形式間的轉(zhuǎn)化.通過(guò)學(xué)習(xí)直線的一般式方程，提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).新知探究同學(xué)們，前面我們學(xué)習(xí)了直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式方程，可以發(fā)現(xiàn)它們都是二元一次方程.現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們思考一下，在平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線是否都可以用一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程表示呢？問(wèn)題任何直線方程都能表示為一般式嗎？提示能.因?yàn)槠矫嫔先我庖粭l直線都可以用一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程表示.1.直線的一般式方程當(dāng)B≠0時(shí)，k＝－eq\f(A,B)；當(dāng)B＝0時(shí)，斜率不存在我們把關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程，簡(jiǎn)稱一般式.2.二元一次方程與直線的關(guān)系在平面直角坐標(biāo)系中，任意一個(gè)二元一次方程是直角坐標(biāo)平面上一條確定的直線；反之，直角坐標(biāo)平面上的任意一條直線可以用一個(gè)確定的二元一次方程表示.拓展深化[微判斷](1)直線x－y－3＝0的斜率為k＝1.(√)(2)當(dāng)A，B同時(shí)為零時(shí)，方程Ax＋By＋C＝0也可表示為一條直線.(×)提示當(dāng)A，B都同時(shí)為零時(shí)，若C＝0，則方程對(duì)任意的x，y都成立，故方程表示整個(gè)坐標(biāo)平面；若C≠0，則方程無(wú)解，故方程Ax＋By＋C＝0不表示任何圖形.(3)直線的一般式方程可以表示坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一條直線.(√)[微訓(xùn)練]1.與x軸平行且過(guò)點(diǎn)(0，6)的直線的一般式方程為()－6＝0 －6＝0＋y＝6 －y＝6答案B2.已知直線的方程為2x－y＋4＝0，則該直線的斜率為_(kāi)_______.答案23.直線2x＋y＋3＝0在y軸上的截距是________.解析令x＝0，得y＝－3.答案－3[微思考]直線方程的一般式化成另外四種形式需要哪些要求？提示直線方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)化成點(diǎn)斜式和斜截式需滿足條件B≠0，化成兩點(diǎn)式需滿足條件AB≠0，化成截距式需滿足條件ABC≠0.題型一求直線的一般式方程【例1】根據(jù)下列條件求直線的一般式方程.(1)直線的斜率為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，3)；(2)斜率為eq\r(3)，且在y軸上的截距為4；(3)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(2，－3)，B(－1，－5)；(4)在x，y軸上的截距分別為2，－4.解(1)因?yàn)閗＝2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，3)，由直線的點(diǎn)斜式方程可得y－3＝2(x－1)，整理可得2x－y＋1＝0，所以直線的一般式方程為2x－y＋1＝0.(2)由直線的斜率k＝eq\r(3)，且在y軸上的截距為4，得直線的斜截式方程為y＝eq\r(3)x＋4.整理可得直線的一般式方程為eq\r(3)x－y＋4＝0.(3)由直線的兩點(diǎn)式方程可得eq\f(y－（－3）,－5－（－3）)＝eq\f(x－2,－1－2)，整理得直線的一般式方程為2x－3y－13＝0.(4)由直線的截距式方程可得eq\f(x,2)＋eq\f(y,－4)＝1，整理得直線的一般式方程為2x－y－4＝0.規(guī)律方法求直線的一般式方程的策略(1)當(dāng)A≠0時(shí)，方程可化為x＋eq\f(B,A)y＋eq\f(C,A)＝0，只需求eq\f(B,A)，eq\f(C,A)的值；若B≠0，則方程化為eq\f(A,B)x＋y＋eq\f(C,B)＝0，只需確定eq\f(A,B)，eq\f(C,B)的值.因此，只要給出兩個(gè)條件，就可以求出直線方程.(2)在求直線方程時(shí)，設(shè)一般式方程有時(shí)并不簡(jiǎn)單，常用的還是根據(jù)給定條件選用四種特殊形式之一求方程，然后可以轉(zhuǎn)化為一般式.【訓(xùn)練1】(1)下列直線中，斜率為－eq\f(4,3)，且不經(jīng)過(guò)第一象限的是()＋4y＋7＝0 ＋3y＋7＝0＋3y－42＝0 ＋4y－42＝0(2)直線eq\r(3)x－5y＋9＝0在x軸上的截距等于()\r(3) B.－5\f(9,5) D.－3eq\r(3)解析(1)將一般式化為斜截式，斜率為－eq\f(4,3)的有B，C兩項(xiàng)，其中＝－eq\f(4,3)x－eq\f(7,3)，＝－eq\f(4,3)x＋14.又y＝－eq\f(4,3)x＋14過(guò)點(diǎn)(0，14)即直線過(guò)第一象限，所以只有B項(xiàng)滿足要求.(2)令y＝0，則x＝－3eq\r(3).答案(1)B(2)D題型二利用一般式解決直線的平行與垂直問(wèn)題【例2】已知直線l的方程為3x＋4y－12＝0，求滿足下列條件的直線l′的方程：(1)過(guò)點(diǎn)(－1，3)，且與l平行；(2)過(guò)點(diǎn)(－1，3)，且與l垂直.解法一l的方程可化為y＝－eq\f(3,4)x＋3，∴l(xiāng)的斜率為－eq\f(3,4).(1)∵l′與l平行，∴l(xiāng)′的斜率為－eq\f(3,4).又∵l′過(guò)點(diǎn)(－1，3)，∴由點(diǎn)斜式知方程為y－3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.(2)∵l′與l垂直，∴l(xiāng)′的斜率為eq\f(4,3)，又l′過(guò)點(diǎn)(－1，3)，∴由點(diǎn)斜式可得方程為y－3＝eq\f(4,3)(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.法二(1)由l′與l平行，可設(shè)l′的方程為3x＋4y＋m＝0.將點(diǎn)(－1，3)代入上式得m＝－9.∴所求直線的方程為3x＋4y－9＝0.(2)由l′與l垂直，可設(shè)l′的方程為4x－3y＋n＝0.將(－1，3)代入上式得n＝13.∴所求直線的方程為4x－3y＋13＝0.規(guī)律方法1.利用一般式解決直線平行與垂直問(wèn)題的策略已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時(shí)為0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時(shí)為0).(1)l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.(2)l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.2.過(guò)一點(diǎn)與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法(1)由已知直線求出斜率，再利用平行(垂直)的直線斜率之間的關(guān)系確定所求直線的斜率，由點(diǎn)斜式寫方程.(2)可利用如下待定系數(shù)法：與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直線所過(guò)的點(diǎn)確定C1；與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋C2＝0，再由直線所過(guò)的點(diǎn)確定C2.【訓(xùn)練2】判斷下列各對(duì)直線是平行還是垂直，并說(shuō)明理由.(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；(3)l1：x＝2，l2：x＝4；(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.解(1)法一將兩直線方程各化為斜截式：l1：y＝－eq\f(3,5)x＋eq\f(6,5)；l2：y＝－eq\f(3,5)x－eq\f(3,10).則k1＝－eq\f(3,5)，b1＝eq\f(6,5)，k2＝－eq\f(3,5)，b2＝－eq\f(3,10).∵k1＝k2，且b1≠b2，∴l(xiāng)1∥l2.法二∵3×10－5×6＝0且3×3－6×(－6)≠0，∴l(xiāng)1∥l2.(2)法一將兩直線方程各化為斜截式：l1：y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(7,3)；l2：y＝－2x＋2.則k1＝eq\f(1,2)，k2＝－2.∵k1·k2＝－1，故l1⊥l2.法二∵3×2＋(－6)×1＝0，∴l(xiāng)1⊥l2.(3)因?yàn)閘1：x＝2，l2：x＝4，且兩直線在x軸上的截距不相等，則l1∥l2.(4)由方程知l1⊥y軸，l2⊥x軸，則l1⊥l2.題型三直線一般式方程的應(yīng)用【例3】設(shè)直線l的方程為(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根據(jù)下列條件分別確定m的值：(1)l在x軸上的截距是－3；(2)l的斜率是－1.解(1)當(dāng)直線在x軸上的截距為－3時(shí)，有eq\f(2m－6,m2－2m－3)＝－3，且m2－2m－3≠0解得m＝－eq\f(5,3).(2)當(dāng)斜率為－1時(shí)，有－eq\f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝－1，且2m2＋m－1≠0解得m＝－2.規(guī)律方法已知含參的直線的一般式方程求參數(shù)的值或范圍的步驟【訓(xùn)練3】直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求a的值；(2)若l不經(jīng)過(guò)第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)①當(dāng)a＝－1時(shí)，直線l的方程為y＋3＝0，顯然不符合題意；②當(dāng)a≠－1時(shí)，令x＝0，則y＝a－2，令y＝0，則x＝eq\f(a－2,a＋1).∵l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，∴a－2＝eq\f(a－2,a＋1)，解得a＝2或a＝0.綜上，a的值為2或0.(2)直線l的方程可化為y＝－(a＋1)x＋a－2，故要使l不經(jīng)過(guò)第二象限，只需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－（a＋1）≥0，,a－2≤0，))解得a≤－1.∴a的取值范圍為(－∞，－1].一、素養(yǎng)落地1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).2.二元一次方程與直線的關(guān)系二元一次方程的每一組解都可以看成平面直角坐標(biāo)系中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，這個(gè)方程的全體解組成的集合，就是坐標(biāo)滿足二元一次方程的全體點(diǎn)的集合，這些點(diǎn)就組成了一條直線，二元一次方程與平面直角坐標(biāo)系中的直線是一一對(duì)應(yīng)的，因此直線的一般式方程可以表示坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一條直線.3.直線的一般式方程的結(jié)構(gòu)特征(1)方程是關(guān)于x，y的二元一次方程.(2)方程中等號(hào)的左側(cè)自左向右一般按x，y，常數(shù)的先后順序排列.(3)x的系數(shù)一般不為分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù).(4)雖然一般式直線方程有三個(gè)系數(shù)，但只需兩個(gè)獨(dú)立的條件即可求得直線的方程.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則A，B應(yīng)滿足的條件為()≠0 ≠0≠0 ＋B2≠0解析方程Ax＋By＋C＝0表示直線的條件為A，B不能同時(shí)為0，即A2＋B2≠0.答案D2.已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，1)，且與直線2x－y＋2＝0平行，那么直線l的方程是()－y－3＝0 ＋2y－4＝0－y－4＝0 －2y－4＝0解析由題意可設(shè)所求的方程為2x－y＋c＝0(c≠2)，代入已知點(diǎn)(2，1)，可得4－1＋c＝0，即c＝－3，故所求直線的方程為2x－y－3＝0，故選A.答案A3.過(guò)點(diǎn)A(2，3)且垂直于直線2x＋y－5＝0的直線方程為()－2y＋4＝0 ＋y－7＝0－2y＋3＝0 －2y＋5＝0解析過(guò)點(diǎn)A(2，3)且垂直于直線2x＋y－5＝0的直線的斜率為eq\f(1,2)，由點(diǎn)斜式求得直線的方程為y－3＝eq\f(1,2)(x－2)，化簡(jiǎn)可得x－2y＋4＝0，故選A.答案A4.(多填題)設(shè)直線l1：(a＋1)x＋3y＋2＝0，直線l2：x＋2y＋1＝0.若l1∥l2，則a＝________；若l1⊥l2，則a＝________.解析直線l1：(a＋1)x＋3y＋2＝0，直線l2：x＋2y＋1＝0，分別化為：y＝－eq\f(a＋1,3)x－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,2)x－eq\f(1,2).若l1∥l2，則－eq\f(a＋1,3)＝－eq\f(1,2)，解得a＝eq\f(1,2).若l1⊥l2，則－eq\f(a＋1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，解得a＝－7.答案eq\f(1,2)－75.設(shè)直線l的方程為2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根據(jù)下列條件分別確定k的值：(1)直線l的斜率為－1；(2)直線l在x軸、y軸上的截距之和等于0.解(1)因?yàn)橹本€l的斜率存在，所以直線l的方程可化為y＝－eq\f(2,k－3)x＋2，由題意得－eq\f(2,k－3)＝－1，解得k＝5.(2)直線l的方程可化為eq\f(x,k－3)＋eq\f(y,2)＝1，由題意得k－3＋2＝0，解得k＝1.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1.過(guò)點(diǎn)(－3，0)和(0，4)的直線的一般式方程為()＋3y＋12＝0 ＋3y－12＝0－3y＋12＝0 －3y－12＝0解析由截距式得直線方程為eq\f(x,－3)＋eq\f(y,4)＝1，整理得4x－3y＋12＝0.答案C2.過(guò)點(diǎn)(5，0)且與x＋2y－2＝0平行的直線方程是()＋y＋5＝0 ＋y－5＝0＋2y－5＝0 ＋2y＋5＝0解析由題意可設(shè)所求直線方程為x＋2y＋c＝0(c≠2).因?yàn)?5，0)在該直線上，所以5＋2×0＋c＝0，得c＝－5，故該直線方程為x＋2y－5＝0.答案C3.若直線x－2y＋5＝0與直線2x＋my－6＝0互相垂直，則實(shí)數(shù)m等于()A.－1 \f(1,2) D.－eq\f(1,2)解析由兩直線垂直，得1×2＋(－2)m＝0，解得m＝1.答案B4.直線l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐標(biāo)系中的圖形大致是()解析將l1與l2的方程化為斜截式得：y＝ax＋b，y＝bx＋a，根據(jù)斜率和截距的符號(hào)可得選C.答案C5.若直線(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的傾斜角為45°，則m的值為()A.－2 C.－3 解析∵直線(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的傾斜角為45°，∴eq\f(2m2－5m＋2,m2－4)＝tan45°＝1，解得m＝3或m＝2(舍去).故選D.答案D二、填空題6.若直線ax＋2y＋1＝0與直線x＋y－2＝0互相平行，那么a的值等于________.解析∵直線ax＋2y＋1＝0與直線x＋y－2＝0可分別化為y＝－eq\f(a,2)x－eq\f(1,2)，y＝－x＋2，∴－eq\f(a,2)＝－1，解得a＝2.答案27.斜率為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，3)的直線的一般式方程為_(kāi)_______.解析直線的點(diǎn)斜式方程為y－3＝2(x－1)，整理可得直線的一般式方程為2x－y＋1＝0.答案2x－y＋1＝08.已知過(guò)點(diǎn)A(－2，m)，B(m，4)的直線與直線2x＋y－1＝0互相垂直，則m＝________.解析因?yàn)閮蓷l直線垂直，直線2x＋y－1＝0的斜率為－2，所以過(guò)點(diǎn)A(－2，m)，B(m，4)的直線的斜率eq\f(4－m,m＋2)＝eq\f(1,2)，解得m＝2.答案2三、解答題9.若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直線.(1)求實(shí)數(shù)m需滿足的條件；(2)若該直線的斜率k＝1，求實(shí)數(shù)m的值.解(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－3m＋2＝0，,m－2＝0，))解得m＝2.又方程表示直線時(shí)，m2－3m＋2與m－2不同時(shí)為0，故m≠2.(2)由題意知，m≠2，由－eq\f(m2－3m＋2,m－2)＝1，解得m＝0.10.直線方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)的系數(shù)A，B，C滿足什么條件時(shí)，這條直線具有如下性質(zhì)？(1)與x軸垂直；(2)與y軸垂直；(3)與x軸和y軸都相交；(4)過(guò)原點(diǎn).解(1)∵與x軸垂直的直線方程為x＝a，即x－a＝0，它缺少y的一次項(xiàng)，∴B＝0.故當(dāng)B＝0且A≠0時(shí)，直線Ax＋By＋C＝0與x軸垂直.(2)類似于(1)可知：當(dāng)A＝0且B≠0時(shí)，直線Ax＋By＋C＝0與y軸垂直.(3)要使直線與x，y軸都相交，則它與兩軸都不垂直，由(1)(2)可知：當(dāng)A≠0且B≠0時(shí)，直線Ax＋By＋C＝0與x軸和y軸都相交.(4)將x＝0，y＝0代入Ax＋By＋C＝0，得C＝0.故當(dāng)C＝0時(shí)，直線Ax＋By＋C＝0過(guò)原點(diǎn).能力提升11.已知兩條直線a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都過(guò)點(diǎn)A(2，3)，則過(guò)兩點(diǎn)P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直線方程為_(kāi)_______________.解析由條件知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a1＋3b1＋4＝0，,2a2＋3b2＋4＝0，))易知兩點(diǎn)P1(a1，b1)，P2(a2，b2)都在直線2x＋3y＋4＝0上，即2x＋3y＋4＝0為所求.答案2x＋3y＋4＝012.已知直線l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求證：不