八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)-第13章-軸對(duì)稱-13.1-軸對(duì)稱-13.1.2-線段的垂直平分線的性質(zhì)課件1-(新版)新人教版

13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)AB學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．理解線段垂直平分線的性質(zhì)和判定．

2．能運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)和判定解決實(shí)際問(wèn)題．

3．會(huì)用尺規(guī)經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線，了解作圖的道理．學(xué)習(xí)重點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì)．課件說(shuō)明知識(shí)回顧線段是軸對(duì)稱圖形嗎？它的對(duì)稱軸是什么？什么叫線段的垂直平分線？你能用不同的方法驗(yàn)證這一結(jié)論嗎？知識(shí)點(diǎn)一：線段垂直平分線的性質(zhì)探究：如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3，…是l上的點(diǎn)，請(qǐng)猜想點(diǎn)P1，P2，P3，…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之間的數(shù)量關(guān)系．相等．ABlP1P2P3已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點(diǎn)P在l上．求證：PA=PB．命題：“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等．”ABPCl用符號(hào)語(yǔ)言表示為：∵CA=CB，l⊥AB，∴直線l是線段AB的垂直平分線∴PA=PB．ABPCl

證明：∵l⊥AB，∴

∠PCA=∠PCB=90°

．

在△APC與△BPC中PC=PC（公共邊）∠PCA=∠PCB（已證）

AC=BC（已知）∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴

PA=PB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)．已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點(diǎn)P在l上．求證：PA=PB．線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．提示:這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來(lái)證明兩條線段相等的根據(jù)之一.用符號(hào)語(yǔ)言表示為：∵CA=CB，l⊥AB，∴直線l是線段AB的垂直平分線∴PA=PB．小結(jié)：線段垂直平分線的性質(zhì)：2、線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等1、垂直線段，平分線段。8課堂練習(xí)練習(xí)1如圖，在△ABC中，BC=8，AB的中垂線交BC于D，AC的中垂線交BC與E，則△ADE的周長(zhǎng)等于______．ABCDE2、如圖，在△ABC中，ED垂直平分AB，1)若BD＝10，則AD=

。2)若∠A＝50°，則∠ABD＝

。3)若AC＝14，△BCD的周長(zhǎng)為24，則BC=

。1050°10PABC已知：如圖，PA=PB．求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．證明：如圖作PC⊥AB于點(diǎn)C

則∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∴

Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴

AC=BC．又

PC⊥AB，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上

PA=PB，

PC=PC，

反過(guò)來(lái)，如果PA=PB，那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢？點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．知識(shí)點(diǎn)二：線段垂直平分線的判定用幾何語(yǔ)言表示為：PABC

線段垂直平分線的判定與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．∵

PA=PB，∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上．這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形？

你能再找一些到線段AB兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)嗎？能找到多少個(gè)到線段AB兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)？

在線段AB的垂直平分線l上的點(diǎn)與A，B的距離都相等；反過(guò)來(lái)，與A，B的距離相等的點(diǎn)都在直線l上，所以直線l可以看成與兩點(diǎn)A、B的距離相等的所有點(diǎn)的集合．PABC小結(jié)：線段垂直平分線的判定方法：1、定義法2、與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD是BC的垂直平分線，∴AB=AC．∵點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，∴AC=CE．課堂練習(xí)練習(xí)3如圖，AD⊥BC，BD=DC，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？AB+BD與DE有什么關(guān)系？ABCDE

∴AB=AC=CE．∵

AB=CE，BD=DC，∴AB+BD=CD+CE．即AB+BD=DE．解：∵AB=AC，∴點(diǎn)A在BC的垂直平分線．∵

MB=MC，∵點(diǎn)M在BC的垂直平分線上∴直線AM是線段BC的垂直平分線．練習(xí)4如圖，AB=AC，MB=MC．直線AM是線段BC的垂直平分線嗎？ABCDM練習(xí)5、如圖PA=PB，則直線MN是線段AB的垂直平分線。（1）任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K與點(diǎn)C在直線AB兩旁.尺規(guī)作圖經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線。（2）以點(diǎn)C為圓心，CK為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E.

（4）作直線CF，直線CF就是所求作的垂線。CABKFDE已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C求作：AB的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.做法：（3）分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F.

如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，其對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．因此，只要找到任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對(duì)稱軸．如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，怎樣作出圖形的對(duì)軸？這種作法的依據(jù)是什么？知識(shí)點(diǎn)三：作線段的垂直平分線ABCD作法：（1）分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點(diǎn)；（2）作直線CD．

CD就是所求作的直線．這種作圖方法還有哪些作用？確定線段的中點(diǎn)．作已知線段的垂線。

線段垂直平分線的判定

如圖，已知線段AB，用直尺和圓規(guī)作AB的垂直平分線.AB⑴分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點(diǎn)；⑵作直線CD.CD即為所求的直線.CD再一次鞏固尺規(guī)作圖結(jié)論：對(duì)于軸對(duì)稱圖形，只要找到任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對(duì)稱軸.1.下圖中的五角星有幾條對(duì)稱軸？作出這些對(duì)稱軸．AB作法：（1）找出五角星的一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)A和B，連接AB．（2）作出線段AB的垂直平分線n．則n就是這個(gè)五角星的一條對(duì)稱軸．n用同樣的方法，可以找出五條對(duì)稱軸，所以五角星有五條對(duì)稱軸．

【跟蹤訓(xùn)練】課堂練習(xí)練習(xí)1作出下列圖形的一條對(duì)稱軸，和同學(xué)比較一下，你們作出的對(duì)稱軸一樣嗎？課堂練習(xí)練習(xí)2如圖，角是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？課堂練習(xí)練習(xí)3如圖，與圖形A成軸對(duì)稱的是哪個(gè)圖形？畫出它的對(duì)稱軸．ABCD性質(zhì)：在線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離都相等。判定：與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)都在線段的垂直平分線上。線段垂直平分線的集合定義：線段垂直平分線可以看作是與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。課堂小結(jié)線段垂直平分線的性質(zhì)與判定定理的區(qū)別二者是互逆定理，線段垂直平分線的性質(zhì)定理的已知條件是線段垂直平分線，結(jié)論是垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩端點(diǎn)的距離相等．線段垂直平分線的判定定理的已知條件是一個(gè)點(diǎn)與一線段兩端點(diǎn)的距離相等，結(jié)論是這個(gè)點(diǎn)在線段的垂直平分線上．線段垂直平分線的性質(zhì)是解決線段相等問(wèn)題的一種重要方法；線段垂直平分線的判定可用來(lái)證明兩線的位置關(guān)系（垂直平分）．知識(shí)反饋1、∵

，∴AB＝AC（_______________________

）

2、∵_(dá)______________________

，∴

A在線段BC的中垂線上（____________________________

）AD為BC的中垂線AB＝AC線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。BCAD3、如圖，NM是線段AB的中垂線,下列說(shuō)法正確的有：。①AB⊥MN,②AD=DB，③MN⊥AB，④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分線ABMND①②③

在⊿ABC中，PD，PE分別是AB，AC的垂直平分線，并相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P也在BC的垂直平分線上。知識(shí)應(yīng)用PDEABC∴點(diǎn)P在BC的垂直平分線上。（和一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。）ABCPD證明：連結(jié)PB。∵

PD是AB的垂直平分線（已知）

∴

PA=PB（線段的垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）∵

PA=PC（已知）

∴

PB=PC（等量代換）已知：△ABC中，邊AB、BC的垂直平分線交于點(diǎn)P。求證：PA=PB=PC.PABC結(jié)論：三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。高速公路AB

在某高速公路L的同側(cè)，有兩個(gè)工廠A、B，為了便于兩廠的工人看病，市政府計(jì)劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得兩個(gè)工廠的工人都沒(méi)意見(jiàn)，問(wèn)醫(yī)院的院址應(yīng)選在何處？你的方案是什么?生活中的數(shù)學(xué)L·

某區(qū)政府為了方便居民的生活，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個(gè)購(gòu)物中心，試問(wèn)，該購(gòu)物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等。ABC思考：生活中的數(shù)學(xué)如圖，A、B表示兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)，要在A、B一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置？說(shuō)說(shuō)理由.碼頭應(yīng)建在線段的垂直平分線與A，B一側(cè)的河岸邊的交點(diǎn)上．理由是線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．應(yīng)用新知，解決問(wèn)題如圖，A，B是路邊兩個(gè)新建小區(qū)，要在公路邊增設(shè)一個(gè)公共汽車站.使兩個(gè)小區(qū)到車站的路程一樣長(zhǎng)，該公共汽車站應(yīng)建在什么地方？【提示】連接AB，作AB的垂直平分線，則與公路的交點(diǎn)就是要建的公共汽車站.有A，B，C三個(gè)村莊，現(xiàn)準(zhǔn)備要建一所學(xué)校，要求學(xué)校到三個(gè)村莊的距離相等，請(qǐng)你確定學(xué)校的位置.ABC【提示】學(xué)校在連接任意兩點(diǎn)的兩條線段的垂直平分線的交點(diǎn)處.1.正方形ABCD邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)分別作AD，AB的平行線，如圖所示，則圖中陰影部分的面積之和等于

．【解析】運(yùn)用軸對(duì)稱、轉(zhuǎn)化的思想，陰影部分面積等于正方形面積的一半，即.答案：2.如圖，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分線交AB于E，交AC于D，求△BCD的周長(zhǎng).DCBEA【解析】∵ED是線段AB的垂直平分線，∴∵△BCD的周長(zhǎng)=BD+DC+BC∴△BCD的周長(zhǎng)===BD=AD，